一維應(yīng)力波理論

材料動(dòng)態(tài)力學(xué)概論2.一維應(yīng)力波理論

本節(jié)討論波陣面在連續(xù)介質(zhì)中傳播時(shí)，波陣面前后各參量之間應(yīng)滿足的限制條件，即波陣面上的守恒條件：質(zhì)量守恒條件、動(dòng)量守恒條件和能量守恒條件。2.8波陣面上的守恒條件質(zhì)量守恒條件

設(shè)有平面波陣面以波速D向右傳播，波陣面上的任一物理量為，設(shè)波陣面之前和之后的ψ值分別表示為和，則波陣面前后參量的變化值表示為：

(2-8-1)

如果ψ在波陣面上連續(xù)，有，有間斷則，用表示物理量在波陣面前后的差值，即突躍值?？疾煳锢砹繉?duì)時(shí)間的變化率，即隨波微商有：

(2-8-2)

對(duì)和分別取隨波微商并相減，可得

(2-8-3)2.8波陣面上的守恒條件

對(duì)于一階奇異面（強(qiáng)間斷），ψ連續(xù)而一階導(dǎo)數(shù)發(fā)生間斷，有，(2-8-3)式變?yōu)椋?/p>

(2-8-4)此即著名的Maxwell定理。2.8波陣面上的守恒條件強(qiáng)間斷：如果位移函數(shù)u的一階導(dǎo)數(shù)間斷弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，但其二階導(dǎo)數(shù)等發(fā)生間斷

對(duì)于二階奇異面，用ψ的一階偏導(dǎo)數(shù)和代替(2-8-3)式中的ψ，有

ψ及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階導(dǎo)數(shù)間斷，有，，從而有：

(2-8-5)2.8波陣面上的守恒條件(2-8-3)-(2-8-5)式分別對(duì)應(yīng)于ψ本身、ψ的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)發(fā)生間斷情況下波陣面上運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件的通式。以此類推，還可得到更高階奇異面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件。如果是對(duì)于左行波，相應(yīng)的關(guān)系式只需用-D替代D即可。

2.8波陣面上的守恒條件

如果波陣面上運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件的通式中的ψ用位移u來(lái)代替，根據(jù)位移連續(xù)條件，顯然有

對(duì)于沖擊波（一階奇異面）波陣面，ψ用位移u來(lái)代替，(2-8-4)式整理可以變?yōu)椋?/p>

(2-8-6)

對(duì)于加速波波陣面（一階奇異面）

，ψ用位移u來(lái)代替，(2-8-5)式整理可以變?yōu)椋?/p>

(2-8-7)

2.8波陣面上的守恒條件沖擊波和加速波波陣面的運(yùn)動(dòng)學(xué)相容條件——質(zhì)量守恒條件動(dòng)量守恒條件

對(duì)于強(qiáng)間斷波，根據(jù)動(dòng)量定理，有：波速，兩邊除以dt，則上式變?yōu)椋?/p>

(2-8-8)圖2-8-12.8波陣面上的守恒條件

對(duì)于弱間斷波，有，，需要考察v和ε偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，把一維縱波的動(dòng)量守恒方程分別應(yīng)用于波陣面的前方和后方并相減可得：

(2-8-9)

(2-8-8)和(2-8-9)式分別為強(qiáng)間斷波與加速度波的動(dòng)量守恒條件。2.8波陣面上的守恒條件

對(duì)于沖擊波，由質(zhì)量守恒條件(2-8-6)式和動(dòng)量守恒條件(2-8-8)式可推得：

(2-8-10)

故沖擊波的波速可表示為：

(2-8-11)

對(duì)于加速度波，由質(zhì)量守恒條件(2-8-7)式和動(dòng)量守恒條件(2-8-9)式可推得：

(2-8-12)從而加速度波的波速可表示為：

(2-8-13)2.8波陣面上的守恒條件

討論：

（1）波陣面上運(yùn)動(dòng)學(xué)的相容條件和動(dòng)力學(xué)的相容條件，在推導(dǎo)時(shí)未涉及材料的物性，因此其結(jié)果對(duì)任何連續(xù)介質(zhì)中的表面波一概成立。2.8波陣面上的守恒條件2.8波陣面上的守恒條件

（2）弱間斷波的波速與強(qiáng)間斷波的波速是不同的，因?yàn)殛P(guān)系與關(guān)系是不同的，這涉及到材料的物性。根據(jù)應(yīng)變率無(wú)關(guān)理論，應(yīng)力是應(yīng)變的單值連續(xù)函數(shù)，對(duì)于弱間斷有

則波速形式變?yōu)椋?/p>

(2-8-14)

這樣加速度波的波速仍然是由材料本構(gòu)關(guān)系曲線的切線斜率所確定。若應(yīng)力與應(yīng)變滿足線性關(guān)系，則，此時(shí)加速度波與強(qiáng)間斷波的波速一致。沖擊波波陣面上的能量守恒條件

如圖，對(duì)于沖擊波，根據(jù)能量守恒定律，應(yīng)力波在dt時(shí)間內(nèi)，對(duì)dX微元內(nèi)介質(zhì)所做的功，一部分用來(lái)增加介質(zhì)的內(nèi)能，一部分變?yōu)榻橘|(zhì)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，即有：

式中e為介質(zhì)的比內(nèi)能（單位質(zhì)量的內(nèi)能）。圖2-8-12.8波陣面上的守恒條件整理可得(2-7-15)利用

和

將上式展開(kāi)整理可得：

（2-7-16）引入單位體積內(nèi)能E，有上式變?yōu)椋?（2-7-17）2.8波陣面上的守恒條件

沖擊波波陣面上的守恒條件統(tǒng)稱為沖擊突躍條件或Rankine-hugoniot關(guān)系：（2-8-18）或（2-8-19）2.8波陣面上的守恒條件

如果令沖擊波波陣面上的突躍值由有限值趨于無(wú)限小，波速用C來(lái)替代D，則相應(yīng)的守恒方程組變?yōu)椋海?-8-20）或（2-8-21）2.8波陣面上的守恒條件

從弱間斷波與強(qiáng)間斷波的波陣面上的相容條件的前兩式的形式可以看出，它與特征線上的相容關(guān)系正好符號(hào)相反。2.8波陣面上的守恒條件

這是因?yàn)椴嚸嫔系南嗳輻l件反映的是波陣面前方和后方狀態(tài)參量之間的關(guān)系，即跨過(guò)波陣面時(shí)狀態(tài)參量所應(yīng)滿足的關(guān)系，而特征線上相容條件是沿著特征線前進(jìn)時(shí)狀態(tài)參量之間所應(yīng)滿足的關(guān)系。擾動(dòng)沿著右行特征線傳播時(shí)將跨過(guò)一系列左行特征線，也就是要跨過(guò)一系列左行波的波陣面，反之則反，因此二者的相容關(guān)系正好反號(hào)。2.8波陣面上的守恒條件2-9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)前面幾節(jié)討論了一維應(yīng)力縱波的初等理論，這一理論忽略了桿中質(zhì)點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)慣性作用，即忽略了橫向慣性（包括收縮和膨脹）對(duì)動(dòng)能的影響，顯然這是一種粗糙的近似理論。下面在彈性波范圍內(nèi)考察橫向慣性的影響，以此來(lái)考察初等理論的局限性，以及初等理論在何種條件下才適用。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)2-9-1橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能（彈性桿）桿在軸向應(yīng)力作用下，除了有軸向應(yīng)變之外，還存在著因Poisson效應(yīng)引起的橫向變形（應(yīng)變），即對(duì)于縱向應(yīng)變有：（2-9-1）而對(duì)于橫向應(yīng)變有：（2-9-2）上式進(jìn)行積分，可以得到橫向位移為：（2-9-3）2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

取桿橫截面中心為橫向坐標(biāo)Y和Z的原點(diǎn)，可得橫向運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)速度和加速度分別為：（2-9-4）（2-9-5）2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

以上各式表明：只要桿的截面存在橫向質(zhì)點(diǎn)位移，就會(huì)存在橫向速度和橫向加速度，桿的截面將會(huì)發(fā)生變形，不再保持平截面，長(zhǎng)桿的應(yīng)力狀態(tài)不再是一維應(yīng)力狀態(tài)了，而是二維或者三維問(wèn)題了。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

從能量角度來(lái)看，忽略橫向慣性就是忽略橫向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。對(duì)于單位體積平均橫向動(dòng)能可由（2-9-4）式導(dǎo)出為：（2-9-6）式中為截面對(duì)X軸的回轉(zhuǎn)半徑： （2-9-7）2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)2-9-2橫向動(dòng)能對(duì)彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的影響圖2-9-1有：2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

圖中微元體兩側(cè)所受力，可分解為靜力平衡力和與微元體縱向慣性有關(guān)的非靜力平衡力。其中非靜力平衡力在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)微元體所做的功等于縱向動(dòng)能的增加率，即： （2-9-8）整理上式，所得正好是一維應(yīng)力縱波的運(yùn)動(dòng)方程，即2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

一對(duì)靜力平衡力對(duì)微元體所做的功，在初等理論中不考慮橫向慣性效應(yīng)，全部轉(zhuǎn)化為微元體的內(nèi)能，在彈性波情況下就轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥詰?yīng)變能：或

2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)，靜力平衡力所做的功，分為兩部分：一部分使微元體應(yīng)變能增加，一部分近似認(rèn)為轉(zhuǎn)變成橫向動(dòng)能。靜力平衡力在單位時(shí)間、單位體積所做的功為：橫向動(dòng)能

整理可得：（2-9-9）彈性應(yīng)變能2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

討論：（1）（2-9-9）式為考慮橫向慣性效應(yīng)時(shí)，桿在彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，其中第二項(xiàng)即為慣性效應(yīng)修正項(xiàng)，若忽略該項(xiàng)時(shí)，桿的本構(gòu)關(guān)系就簡(jiǎn)化為一維應(yīng)力下的本構(gòu)關(guān)系（Hooke定律）：（2）由于慣性修正項(xiàng)與成正比，因此只有當(dāng)施加的載荷隨時(shí)間有十分顯著的變化的情況下，這一修正才是必要的，否則就可忽略慣性效應(yīng)的影響。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)2-9-3橫向慣性效應(yīng)對(duì)波動(dòng)方程的影響將考慮橫向慣性效應(yīng)的本構(gòu)方程（2-9-9）式代入運(yùn)動(dòng)方程得

將代入上式整理可得（2-9-10）2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

討論：（1）（2-9-10）式即考慮了橫向慣性的影響之后的彈性波的波動(dòng)方程，與一維縱波的波動(dòng)方程相比，增加了反映慣性效應(yīng)的第二項(xiàng)。（2）由于存在橫向慣性效應(yīng)，桿中的彈性波將不再以恒速C0進(jìn)行傳播了，對(duì)于不同頻率（或波長(zhǎng)）的諧波將以不同的波速（相速）傳播。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)為了求解考慮橫向慣性效應(yīng)下的波速表達(dá)式，利用諧波解：

將其代入（2-9-10）式，可得（2-9-11）式中，u為位移，ω為圓頻率，,f為頻率，k為波數(shù)，

,為波長(zhǎng)。圓頻率為ω的諧波中任一相位的相速度C可表示為：則（2-9-11）式可變?yōu)椋海?-9-12）

2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)當(dāng)時(shí)，上式可近似變?yōu)椋海?-9-13）對(duì)于半徑為a的圓柱桿，，則（2-9-14）這是考慮到橫向慣性修正的近似解，稱為Rayleigh近似解。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

討論：（1）對(duì)于一般介質(zhì)，，則，當(dāng)桿的半徑（直徑）與波長(zhǎng)相比很小時(shí)，可忽略橫向慣性效應(yīng)的影響，此時(shí)。（2）研究表明，時(shí)，Rayleigh修正式能給出較好的結(jié)果，但相對(duì)波長(zhǎng)再短的波，該式就不夠精確了。（3）對(duì)于高頻波（短波）——f高，λ小，則就大，相速C就低；反過(guò)來(lái)，低頻波（長(zhǎng)波），相速高。不同頻率的波將各自按自己的相速傳播，于是應(yīng)力波在傳播過(guò)程中不再保持不變的波形了。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

（4）波的彌散現(xiàn)象：應(yīng)力波在傳播過(guò)程中波形發(fā)生散開(kāi)的現(xiàn)象，它包括有幾何彌散、非線性本構(gòu)彌散和粘性彌散等幾類。這里所討論的是由于幾何形狀所引起的，稱為幾何彌散。前面討論不同材料中波的傳播特點(diǎn)時(shí)，所描述的由應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的非線性所引起的彌散現(xiàn)象，稱為非線性本構(gòu)彌散。由材料的粘性效應(yīng)所引起的，稱為粘性彌散。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

（5）按照初等理論，兩桿相撞時(shí)（如在Hopkinson撞擊實(shí)驗(yàn)中），在彈性范圍內(nèi)，波形應(yīng)該為矩形。但是實(shí)測(cè)所得的波形總是或多或少地呈現(xiàn)出幾何彌散現(xiàn)象，見(jiàn)圖所示。包括波形的拉平、變長(zhǎng)，以及發(fā)生局部振蕩等，特別是包含高頻分量的強(qiáng)間斷波在桿中傳播時(shí)一般都難以保持其陡峭的前沿，這主要就是因?yàn)闂U中橫向慣性或多或少地存在著。圖2-9-2

2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)

（6）圓桿中的橫向慣性效應(yīng)具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)主要方面：

a）桿橫截面上應(yīng)力分布不均勻；

b）波形振蕩；

c）應(yīng)力脈沖前沿升時(shí)增大；

d）應(yīng)力脈沖峰值隨傳播距離發(fā)生衰減。2.9橫向慣性引起的彌散效應(yīng)2-10桿中的扭轉(zhuǎn)波前面討論的都是一維應(yīng)力縱波，這一節(jié)討論桿中的彈性扭轉(zhuǎn)波（橫波），作為長(zhǎng)桿中波的傳播問(wèn)題的補(bǔ)充內(nèi)容。2.10扭轉(zhuǎn)波2-10-1彈性扭轉(zhuǎn)波的控制方程研究對(duì)象：截面均勻的圓柱桿基本假定：圓桿平截面不變形加載性質(zhì)：純扭轉(zhuǎn)加載坐標(biāo)系：物質(zhì)坐標(biāo)系2.10扭轉(zhuǎn)波

參量說(shuō)明：M——扭矩，——扭轉(zhuǎn)角，ω——角速度，θ——單位扭轉(zhuǎn)角，τ——剪應(yīng)力，——剪應(yīng)變，I——單位長(zhǎng)度桿微元對(duì)扭轉(zhuǎn)軸X的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

補(bǔ)充說(shuō)明：與一維應(yīng)力狀態(tài)相比，可以把某些參量看成具有一定的相互對(duì)照關(guān)系，即，，，2.10扭轉(zhuǎn)波mm

OBA

基本關(guān)系式：，（2-10-1）（相對(duì)照：，）（2-10-2）（2-10-3）式中，r為桿截面上任一點(diǎn)距扭轉(zhuǎn)軸的的距離，m為線密度，即單位長(zhǎng)度圓桿的質(zhì)量，G為剪切模量。2.10扭轉(zhuǎn)波如圖所示，有（2-10-4）由（2-10-1）式，可得連續(xù)方程：（2-10-5）（相對(duì)照：）圖2-10-12.10扭轉(zhuǎn)波根據(jù)扭轉(zhuǎn)過(guò)程的角動(dòng)量守恒條件有：（2-10-6）由（2-10-4）式和（2-10-6）式，可得角動(dòng)量守恒方程為：（2-10-7）由（2-10-3）式和（2-10-7）式，可得角動(dòng)量守恒方程的另一種形式：（2-10-8）（對(duì)照：）

式中，CT稱為彈性扭轉(zhuǎn)波的波速，。2.10扭轉(zhuǎn)波

（2-10-5）式和（2-10-8）式就組成了以ω和θ為未知參量的一階偏微分方程組：（2-10-9）（對(duì)照：）2.10扭轉(zhuǎn)波

根據(jù)各參量之間的關(guān)系，同理可得到以ω和τ為未知參量的一階偏微分方程組：（2-10-10）（對(duì)照：）2.10扭轉(zhuǎn)波

將,代入（2-9-8）式，可得到以為未知參量的二階雙曲型偏微分方程，即扭轉(zhuǎn)波的波動(dòng)方程：（2-10-11）（對(duì)照：）2.10扭轉(zhuǎn)波

討論：（1）因剪切模量，而泊松比一般介于0~0.5之間，故G<E，，二者之比為：（2-10-12）介于之間。部分材料的剪切模量和扭轉(zhuǎn)波速見(jiàn)下表。

鋼銅鋁玻璃橡膠G（GPa）814526287.0×10-4CT（米/秒）3220225031003350272.10扭轉(zhuǎn)波

（2）對(duì)于平均半徑為a的薄壁管，設(shè)剪應(yīng)力在管截面上均勻分布，則（2-10-9）式保持不變，因?yàn)?/p>

而（2-10-10）式變?yōu)椋海?-10-13）2.10扭轉(zhuǎn)波2-10-2扭轉(zhuǎn)波的特征線方程和特征線上的相容關(guān)系對(duì)（2-10-13）式采用前面介紹的方向?qū)?shù)法來(lái)求解彈性扭轉(zhuǎn)波的特征線方程和特征線相容關(guān)系。2.10扭轉(zhuǎn)波解：對(duì)于所給的一階偏微分方程組，根據(jù)方向?qū)?shù)法的定義，（1）式及（2）式分別乘以λ1

，λ2并進(jìn)行線性組合可得：上式中