吉林省通榆縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試卷

通榆一中高三第四次質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)(理科)考生須知：本試卷滿分120分，考試時間為120分鐘.答題前，考生先將自己的“姓名”、“考號”、“考場”、“座位號”在答題卡上填寫清楚，將“條形碼”準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).請按照題號順序在答題卡各題目的區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效；在草稿紙上、試題紙上答案無效.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.保持卡面整潔，不要折疊、不要弄臟、弄皺，不準使用涂改液、刮紙刀.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的，則（）A．B．C．D．（為虛數(shù)單位），（）A．B．C．D．3.是的（）A.充分不必要條件C.充要條件，則（）A．B．C.D．5.若,則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C.D．6.如圖,在梯形中,,點在線段上,且,則（）A．B．C.D．7.已知正數(shù)滿足,則的最小值為（）A．B．C.D．8.的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因為,所以的所有正約數(shù)之和為.參照上述方法,可得的所有正約數(shù)之和為（）A．B．C.D．9.已知是奇函數(shù),且實數(shù)滿足,則的取值范圍是（）A．B．C.D．10.已知數(shù)列滿足,且,則當取得最大值時,（）A．B．C.D．11.在中,內(nèi)角的對邊分別為,且三邊互不相等,若,則的面積是（）A．B．C.D．12.已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),且滿足.若函數(shù)有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C.D．二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的圖象恒過定點,若點在直線上,其中,則的最大值為．14.若實數(shù)滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為．15.已知三棱錐中,,且,則三棱錐的體積與三棱錐的外接球的體積之比的最大值為．16.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為,則．三.解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù));以原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的長度單位建立極坐標系﹐直線的極坐標方程為求直線和曲線的直角坐標方程;設(shè)直線和曲線交于兩點,直線的斜率分別為,求證：中,其前項和為,且求數(shù)列的通項公式;設(shè),求數(shù)列的前項和19.如圖,在四棱錐中,,且求證:若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.20.已知在四邊形中,.求的長及四邊形的面積;點為四邊形所在平面上一點,若,求四邊形面積的最大值及此時點的位置.21.在數(shù)列中,.求證:數(shù)列是等比數(shù)列﹔若數(shù)列的前n項和為,且對任意正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍..討論的單調(diào)區(qū)間;當時,證明:通榆一中高三第四次質(zhì)量檢測試題·數(shù)學(xué)(理科)參考答案、提示及評分細則1.因為，所以故選2.因為所以故選3.記“”的解集為集合,則所以是的充分不必要條件故選4.故選5.當時,,故選項不正確;當時,,故選項不正確;因為,根據(jù)不等式性質(zhì)知,故選項正確;當時,,故選項不正確.故選6.因為，所以7.由題意，得，法一：當且僅當，即時，的最小值為，故選法二：由得則當且僅當，即時的最小值，故選8.類比的所有正約數(shù)之和的方法,有的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因為,所以的所有正約數(shù)之和為.可求得的所有正約數(shù)之和為故選9.因為是定義域為的奇函數(shù),所以,可得,此時易知在上為減函數(shù)又因為所以所以故選10.因為所以所以數(shù)列是等差數(shù)列，又聽以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以所以所以當時，取最大值故選11.因為所以化簡得又即兩式聯(lián)立消去得,因為三邊互不相等,解得（舍）或.又所以故選12.函數(shù)的定義域為由，得所以函數(shù)關(guān)于對稱，，根據(jù)曲線關(guān)于直線和對稱以及在區(qū)間上為減函數(shù)可畫出圖象的示意圖,如圖所示;考查函數(shù)可化為如圖所示，當時，曲線與無公共點當時，曲線與曲線只有一個交點當時，曲線與曲線有兩個交點當時，曲線與曲線無公共點綜上，當時，曲線與曲線有兩個交點.故選13.函數(shù)時,函數(shù)恒過定點點在直線上,即.根據(jù)基本不等式,得,即.當且僅當，時取等號,故的最大值為14.畫出可行域(如圖陰影部分),利用圖形可得,當直線過點時,取最小值,最小值為；當直線過點時,取最大值,最大值為l5.設(shè),則.所以取的中點連接由于,所以、故點為三棱錐的外接球的球心,外接球的半徑為.所以當三棱錐的體積最大時,三棱錐的體積與三棱錐的外接球的體積之比最大.當平面時,三棱錐的體積最大,此時,所以三棱錐16.令，則且所以原函數(shù)變?yōu)樵O(shè)則所以，所以因為是上的奇函數(shù),所以所以所以17.解:由,得則直線的直角坐標方程為曲線的直角坐標方程為證明:將代入,得由直線和曲線交于兩點且,得設(shè)方程的兩根分別為,則;而以表示曲線上的點與原點連線的斜率,所以，所以又直線的斜率為,所以18.解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意,得解得所以數(shù)列的通項公式是由知則式兩邊同乘以,得，得所以19.證明:如圖,取的中點,連接因為且為的中點.所以因為，所以且,又因為所以且是等邊三角形,又為的中點,所以又平面,所以平面又因為平面,所以解:由知,又因為平面平面,平面平面平面所以上平面,又平面,所以又由知所以以為坐標原點,分別以的方向為軸、軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示:則因為所以又因為所以所以則設(shè)平面的一個法向量為則取，得設(shè)直線與平面所成角為,則20.解:設(shè),在中,由余弦定理,得.同理在中,因為,所以所以,又,所以，所以.要使四邊形的面積最大,則點和點應(yīng)在的兩側(cè),且使得的面積最大.在中,，所以，當且僅當時,等號成立，即當時,.又，所以，所以四邊形面積的最大值為,此時為等邊三角形，即且點與點分居于的兩側(cè).21.證明:由,得則所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.解:由得當時，當時,適合.所以所以法一:因為是關(guān)于的遞增數(shù)列,且，所以也關(guān)于單調(diào)遞增﹐從而的最小值為，法二:因為所以也關(guān)于單調(diào)遞增﹐從而的最小值為，因為恒成立,所以,解得.即實數(shù)的取值范圍是.22.解:的定義域為，當時,則的增區(qū)間為無減區(qū)間.當時,由得.當時,當時,，所以的減區(qū)間為,增區(qū)間.證明;法一:要證明.由于當時,,只要證.設(shè),則.所以在上是增函數(shù).又，所以存在，使得即所以當時,;當時,，因此在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以有極小值,且極小值因此,即.綜上,當時，.法二:要證明只要證設(shè),則.當時,;當時,，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的極小值點,也是最小值點,且.令,則當時,;當時,，所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù)，所以是的極大值點,也是最大值點,且，所以當時，,即綜上