統(tǒng)計(jì)學(xué)原理：第4章 動(dòng)態(tài)數(shù)列

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第四章動(dòng)態(tài)數(shù)列1、了解時(shí)間數(shù)列的概念與編制原則，時(shí)間數(shù)列的種類(lèi)及其特點(diǎn)；2、掌握發(fā)展水平，增減水平，平均發(fā)展水平指標(biāo)的含義與計(jì)算公式；3、掌握發(fā)展速度，增長(zhǎng)速度，平均速度指標(biāo)的計(jì)算方法及其應(yīng)用；4、理解時(shí)間數(shù)列的影響因素，著重長(zhǎng)期趨勢(shì)分析，包括移動(dòng)平均法，指數(shù)平滑法，數(shù)學(xué)模型法的原理與具體計(jì)算，5、理解季節(jié)指數(shù)的兩種基本測(cè)定方法。教學(xué)內(nèi)容與要求

基本要素

現(xiàn)象所屬時(shí)間一定時(shí)間下的指標(biāo)值

將某一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在不同時(shí)間上的數(shù)值按時(shí)間先后順序排列形成的序列。某企業(yè)2001---2006年發(fā)展情況年份200120022003200420052006總產(chǎn)值（萬(wàn)元）101215182026年末職工人數(shù)（人）140150146142150155高級(jí)職稱(chēng)比重（%）1.62.52.42.82.93.1職工月人均工資（元/人）5896787958628841056一、動(dòng)態(tài)數(shù)列的概念4.1動(dòng)態(tài)數(shù)列的編制定義

1.計(jì)算各種水平和速度指標(biāo)，考察現(xiàn)象發(fā)展變化的方向、快慢，作動(dòng)態(tài)比較

2.建立數(shù)學(xué)模型，描述現(xiàn)象發(fā)展的趨勢(shì)，進(jìn)行預(yù)測(cè)

3.對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行回歸分析，提示現(xiàn)象相關(guān)特征及動(dòng)態(tài)演變作用二、動(dòng)態(tài)數(shù)列的種類(lèi)1、時(shí)期數(shù)列：說(shuō)明現(xiàn)象在各個(gè)時(shí)期內(nèi)的總量。（可相加、大小與時(shí)期長(zhǎng)短有關(guān)、連續(xù)登記）

2、時(shí)點(diǎn)數(shù)列：說(shuō)明現(xiàn)象在某一時(shí)點(diǎn)上的數(shù)量水平。（不可相加、大小與時(shí)期長(zhǎng)短無(wú)關(guān)、一次登記）（一）絕對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)列：將一系列同類(lèi)的總量指標(biāo)按時(shí)間先后順序排列。可比性指標(biāo)時(shí)間統(tǒng)一總體范圍統(tǒng)一經(jīng)濟(jì)內(nèi)容統(tǒng)一計(jì)算方法統(tǒng)一計(jì)價(jià)與單位統(tǒng)一三、動(dòng)態(tài)數(shù)列的編制原則（二）相對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)列：反映現(xiàn)象對(duì)比關(guān)系的發(fā)展變化情況。如比例關(guān)系、結(jié)構(gòu)、速度的發(fā)展變化過(guò)程。各指標(biāo)值不能相加。（三）平均數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)列：反映現(xiàn)象一般水平的發(fā)展趨勢(shì)。各指標(biāo)值不能相加。1、發(fā)展水平：一、發(fā)展水平和平均發(fā)展水平4.2動(dòng)態(tài)數(shù)列的水平分析指標(biāo)◆現(xiàn)象在一定時(shí)期或時(shí)點(diǎn)上數(shù)量的多少（具體數(shù)值）總量指標(biāo)—絕對(duì)水平：工業(yè)總產(chǎn)值，人口數(shù)等相對(duì)指標(biāo)—相對(duì)水平：工業(yè)占總產(chǎn)值比重平均指標(biāo)—平均水平：平均工資（1）分類(lèi)0a最初水平中間各項(xiàng)水平最末水平有動(dòng)態(tài)數(shù)列在對(duì)兩個(gè)時(shí)間的發(fā)展水平作動(dòng)態(tài)對(duì)比時(shí)，作為對(duì)比基礎(chǔ)的水平稱(chēng)為基期水平；作為研究時(shí)期的指標(biāo)水平稱(chēng)為報(bào)告期水平或計(jì)算期水平。（2）幾個(gè)概念：2、平均發(fā)展水平：◆將不同時(shí)期的發(fā)展水平加以平均而得到的平均數(shù)。是用一個(gè)數(shù)字代表某一階段的一般發(fā)展水平。發(fā)展水平從動(dòng)態(tài)上說(shuō)明其在某一段時(shí)間內(nèi)的一般發(fā)展水平，而一般平均數(shù)說(shuō)明某一歷史條件下一般水平。平均發(fā)展水平是同一現(xiàn)象不同時(shí)間上數(shù)量差異的抽象化，而一般平均數(shù)是同一時(shí)間內(nèi)某一標(biāo)志值差異抽象化。（1）與一般平均數(shù)的差異時(shí)期數(shù)列：時(shí)點(diǎn)數(shù)列：連續(xù)時(shí)點(diǎn)間隔時(shí)間時(shí)點(diǎn)數(shù)列計(jì)算是假定在某一時(shí)間間隔內(nèi)現(xiàn)象的增減變動(dòng)比較均勻的前提下計(jì)算的近似值。（2）由絕對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)☆

連續(xù)時(shí)點(diǎn)

逐日登記變動(dòng)登記

例：某單位今年5月份的職工人數(shù)變動(dòng)記錄如下:日期1-1011-1819-2223-31人數(shù)（人）406408401414數(shù)值持續(xù)不變的天數(shù)，以天數(shù)為權(quán)重

計(jì)算該單位5月份平均職工人數(shù):☆間隔時(shí)點(diǎn)間隔不等：間隔相等例：1、某銀行存款資料如下：時(shí)間1月初2月初3月初4月初銀行存款余額（億元）45506882該銀行第一季度的平均存款余額為：例：某企業(yè)去年擁有固定資產(chǎn)資料如下:時(shí)間1月初5月末10月初年末固定資產(chǎn)(萬(wàn)元）2210258035603848則該企業(yè)去年平均固定資產(chǎn)價(jià)值為：一般平均數(shù)：與相對(duì)數(shù)列方法一致序時(shí)平均數(shù)（總量）：算術(shù)平均法基本思想：分別計(jì)算形成分子數(shù)列和分母數(shù)列的動(dòng)態(tài)數(shù)列的序時(shí)平均數(shù)，然后加以對(duì)比。（4）由平均數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)（3）由相對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)[例]某商店某年第一季度商品流轉(zhuǎn)資料如下：計(jì)算第一季度月平均商品流轉(zhuǎn)次數(shù)。

月份1月2月3月商品流轉(zhuǎn)額（萬(wàn)元）200243272平均商品儲(chǔ)存額（萬(wàn)元）809085商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次）2.52.73.2

月份1月2月3月商品流轉(zhuǎn)額（萬(wàn)元）200243272平均商品儲(chǔ)存額（萬(wàn)元）809085商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次）2.52.73.2月平均流轉(zhuǎn)額=平均儲(chǔ)存額=月平均流轉(zhuǎn)次數(shù)=例：某工廠上半年總產(chǎn)值及工人人數(shù)資料如下：

時(shí)間1月2月3月4月5月6月總產(chǎn)值（萬(wàn)元）8092.296.896.9120.1115.2月初人數(shù)（人）196198210206208212計(jì)算該廠上半年月人均產(chǎn)值。（7月初工人數(shù)209人）[解](1)上半年月平均產(chǎn)值：

(2)上半年平均工人數(shù)：（萬(wàn)元）（人）(3)月人均產(chǎn)值：（萬(wàn)元/人、月）二、增長(zhǎng)量和平均增長(zhǎng)量1、增長(zhǎng)量：◆說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時(shí)期內(nèi)所增長(zhǎng)的絕對(duì)數(shù)量。增長(zhǎng)量＝報(bào)告期水平－基期水平逐期增長(zhǎng)量之和等于末期累計(jì)增長(zhǎng)量年距增長(zhǎng)量＝報(bào)告期發(fā)展水平–上年同期發(fā)展水平（1）逐期增長(zhǎng)量（2）累計(jì)增長(zhǎng)量（3）年距（同期）增長(zhǎng)量2、平均增長(zhǎng)量（逐期增長(zhǎng)量的平均值）：◆說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時(shí)期內(nèi)平均每期增長(zhǎng)的數(shù)量，是逐期增長(zhǎng)量動(dòng)態(tài)數(shù)列的序時(shí)平均數(shù)，反映平均增長(zhǎng)水平。n-1aaninni0),.....3,2,1(-==D=D?時(shí)間1月2月3月4月5月6月總產(chǎn)值（萬(wàn)元）逐月增長(zhǎng)量累計(jì)增長(zhǎng)量80------92.212.212.296.84.616.896.90.116.9120.123.240.1115.2-4.935.2月初人數(shù)（人）逐月增長(zhǎng)量累計(jì)增長(zhǎng)量196------198222101214206-410208212212416總產(chǎn)值月平均增長(zhǎng)量：工人數(shù)月平均增長(zhǎng)量：一、發(fā)展速度和增長(zhǎng)速度4.3動(dòng)態(tài)數(shù)列的速度分析指標(biāo)1、發(fā)展速度◆說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展變化程度。發(fā)展速度＝報(bào)告期水平/基期水平◆說(shuō)明從固定期到報(bào)告期這一期間內(nèi)總發(fā)展程度。定基發(fā)展速度＝報(bào)告期水平/某一固定時(shí)期水平◆說(shuō)明現(xiàn)象的逐期發(fā)展程度。環(huán)比發(fā)展速度＝報(bào)告期水平/前一期水平最末期定基發(fā)展速度=各期環(huán)比發(fā)展速度之積（1）定基發(fā)展速度（2）環(huán)比發(fā)展速度

2、增長(zhǎng)速度◆是指現(xiàn)象從基期到報(bào)告期增長(zhǎng)的相對(duì)程度。增長(zhǎng)速度＝增長(zhǎng)量/基期發(fā)展水平增長(zhǎng)速度=發(fā)展速度-1定基增長(zhǎng)速度：累計(jì)增長(zhǎng)量與某一固定基期水平相比定基增長(zhǎng)速度=定基發(fā)展速度-1環(huán)比增長(zhǎng)速度：逐期增長(zhǎng)量與前一期發(fā)展水平之比環(huán)比增長(zhǎng)速度=環(huán)比發(fā)展速度-1增長(zhǎng)速度和發(fā)展速度的關(guān)系時(shí)間1月2月3月4月5月6月總產(chǎn)值（萬(wàn)元）定基發(fā)展速度％環(huán)比發(fā)展速度％80------92.2115.25115.2596.8121100.696.9121.1100.1120.1150.1123.9115.214495.92定基增長(zhǎng)速度％環(huán)比增長(zhǎng)速度％------15.2515.25210.621.10.150.123.944-4.08二、平均發(fā)展速度和平均增長(zhǎng)速度1平均發(fā)展速度◆各期環(huán)比發(fā)展速度的序時(shí)平均數(shù)。計(jì)算方法有幾何平均法、方程法。2平均增長(zhǎng)速度◆各期環(huán)比增長(zhǎng)速度的序時(shí)平均數(shù)。表明現(xiàn)象在一定時(shí)期內(nèi)逐期平均增長(zhǎng)變化的程度。平均增長(zhǎng)速度＝平均發(fā)展速度－1

（1）幾何平均法計(jì)算平均發(fā)展速度

時(shí)間分段：掌握最初和最末水平掌握發(fā)展總水平

根據(jù)定基發(fā)展速度等于各環(huán)比發(fā)展速度的連乘積[例]

某商社營(yíng)業(yè)額2008-2010年平均發(fā)展速度是1.06，2011-2012年的平均發(fā)展速度是1.05，2013年比2012年增長(zhǎng)8％，計(jì)算2008—2013年該商社營(yíng)業(yè)額的年平均發(fā)展速度與增長(zhǎng)速度。

解：年平均發(fā)展速度：年平均增長(zhǎng)速度：105.99%-1=5.99％[例]某煤礦2005年煤炭產(chǎn)量為25萬(wàn)噸，（1）規(guī)定“十一五”期間每年平均增長(zhǎng)4％，以后每年平均增長(zhǎng)5%，到2015年煤炭產(chǎn)量是多少？（2）如果規(guī)定2015年煤炭產(chǎn)量是2000年的4倍，且

“十一五”期間每年平均增長(zhǎng)5％，以后每年平均增長(zhǎng)速度應(yīng)為多少才能達(dá)到預(yù)定的產(chǎn)量？

（2）解：（1）%67.25=y[例]（2）1982年我國(guó)人口數(shù)為10.1億人，1990年我國(guó)人口數(shù)為11.3億人，這期間我國(guó)人口年平均增長(zhǎng)速度是多少？如果按此速度發(fā)展，到2005年我國(guó)人口數(shù)將達(dá)到多少億？解：（1）[例]某工廠計(jì)劃工業(yè)總產(chǎn)值從2000年的400萬(wàn)元發(fā)展到2020年的800萬(wàn)元，計(jì)算:（1）工業(yè)總產(chǎn)值計(jì)劃平均每年遞增速度；（2）已知“十五”、“十一五”期間平均每年遞增5％，問(wèn)以后應(yīng)每年遞增多少才能達(dá)到預(yù)期水平？

（2）解：（1）

（2）方程式法（累計(jì)法）計(jì)算平均發(fā)展速度適用：當(dāng)關(guān)注計(jì)劃各期累計(jì)水平時(shí)。例：某地區(qū)第十一個(gè)五年計(jì)劃期間基本建設(shè)投資額資料如下：按累計(jì)法計(jì)算平均速度。年份投資額（億元）2005107.24“十一五”合計(jì)734.92006117.612007134.312008157.432009155.172010170.38[解](1)計(jì)算：(2)查表：累計(jì)法查對(duì)表（間隔期：1–5年）平均每年增長(zhǎng)（％）各年水平總和為基期的％1年2年3年4年5年…10.610.710.810.911.0……110.60110.70110.80110.90111.00……232.92233.24233.57233.89234.21……368.21368.90369.59370.28370.97……517.84519.07520.31521.54522.78……683.34685.32687.30689.29691.29…分析平均速度必須充分利用原始時(shí)間序列的其它信息進(jìn)行補(bǔ)充平均速度的計(jì)算方法要根據(jù)研究目的和研究對(duì)象的性質(zhì)進(jìn)行選擇幾何平均法適用于所有數(shù)列，方程式法只能用于時(shí)期數(shù)列幾何平均法計(jì)算平均速度應(yīng)與實(shí)際各期的環(huán)比速度結(jié)合幾何平均法

側(cè)重考察現(xiàn)象在最后一期的發(fā)展水平,方程式法重于研究現(xiàn)象在整個(gè)時(shí)期的發(fā)展總量3、計(jì)算與應(yīng)用平均速度應(yīng)注意的問(wèn)題一、對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)列的影響因素4.4長(zhǎng)期趨勢(shì)的測(cè)定與預(yù)測(cè)序列由于偶然性因素

的影響表現(xiàn)出的不規(guī)則變動(dòng)。長(zhǎng)期趨勢(shì)現(xiàn)象因某種本質(zhì)因素的作用在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)展現(xiàn)出的朝某個(gè)方向持續(xù)變化的趨勢(shì)季節(jié)變動(dòng)由季節(jié)性因素

的影響，序列隨季節(jié)更替呈現(xiàn)的周期性波動(dòng)。循環(huán)變動(dòng)由系統(tǒng)內(nèi)部因素

引起的使序列呈現(xiàn)較長(zhǎng)周期的榮衰更替的往復(fù)運(yùn)動(dòng)隨機(jī)變動(dòng)僅適用于時(shí)期數(shù)列擴(kuò)大的時(shí)距應(yīng)考慮數(shù)列本身的特點(diǎn)擴(kuò)大的時(shí)距應(yīng)相同[例]見(jiàn)教材P155二、長(zhǎng)期趨勢(shì)測(cè)定與預(yù)測(cè)的意義把握現(xiàn)象的趨勢(shì)變化從數(shù)量方面研究現(xiàn)象的發(fā)展規(guī)律，為預(yù)測(cè)作準(zhǔn)備消除長(zhǎng)期趨勢(shì)影響，更好的顯示和預(yù)測(cè)季節(jié)變動(dòng)意義三、間隔（時(shí)距）擴(kuò)大法：把時(shí)間數(shù)列中若干時(shí)期的數(shù)值合并成較長(zhǎng)時(shí)期的數(shù)值，消除較小時(shí)期內(nèi)偶然因素的影響。采用逐項(xiàng)遞推移動(dòng)方法，求一系列移動(dòng)的序時(shí)平均數(shù)，形成新的序時(shí)平均動(dòng)態(tài)數(shù)列，來(lái)代替原來(lái)的動(dòng)態(tài)數(shù)列。在新的數(shù)列中，短期的偶然因素被消弱，反映出明顯的長(zhǎng)期趨勢(shì)?！?7302522242620221815產(chǎn)量(件)10987654321日期----25.625.423.422.82220.2----5項(xiàng)移動(dòng)平均------2625.324.3232321.518.8---4項(xiàng)移動(dòng)平均----25.724.823.72322.320.1----4項(xiàng)移正平均四、移動(dòng)平均法特點(diǎn):

簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法適用于線性且較為平穩(wěn)的趨勢(shì)測(cè)定，采用奇數(shù)項(xiàng)移動(dòng)較為簡(jiǎn)單。

移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)N越大，修勻作用越強(qiáng)，對(duì)趨勢(shì)變化的反應(yīng)越弱；包含周期變動(dòng)的序列，移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)N應(yīng)等于周期長(zhǎng)度或其倍數(shù)，可消除周期波動(dòng)的影響；

移動(dòng)平均處理后會(huì)損失數(shù)據(jù)；數(shù)學(xué)模型法就是根據(jù)時(shí)間數(shù)列發(fā)展形態(tài)的特點(diǎn)，選擇一種合適的數(shù)學(xué)方程式，進(jìn)而以自變量x代表時(shí)間，y代表實(shí)際觀測(cè)值，然后依據(jù)此方程式來(lái)分析長(zhǎng)期趨勢(shì)的方法。基本思想：利用數(shù)學(xué)模型，對(duì)原有動(dòng)態(tài)數(shù)列配合一條適當(dāng)?shù)内厔?shì)線進(jìn)行修勻。趨勢(shì)線應(yīng)滿足為最小值。五、最小平方法（時(shí)序模型法）1、直線方程：（逐期增長(zhǎng)量基本相同）令

yc＝a＋bttbyattnyttynb-=-×-×=?????22)(因?yàn)?（y－yc）2為最小值時(shí)，

?（y－yc）＝0所以?（y－yc）2＝?（y－a－bt）2令Q=?（y－a－bt）2,若使Q為最小值，則使a、b的偏導(dǎo)數(shù)為0，整理得：?y＝na＋b?t

?ty＝a?t＋b?t2

為簡(jiǎn)化計(jì)算，可對(duì)t進(jìn)行修正，使?t＝0，即此時(shí)，?y＝na

?ty＝b?t2

n為偶數(shù)：…-3、-2、-1、0、1、2、3…..n為奇數(shù)：…-7、-5、-3、-1、1、3、5、7….

年份時(shí)間代碼(t)銷(xiāo)售量y（噸)2007118820082346200935182010468520115856合計(jì)152593t2t·y1188469291554162740254280559454tyt×+=5.1671.161.102165.1671.166=+=y1.10216

×1671.166=+=y

年份時(shí)間代碼(t)銷(xiāo)售量y（噸)2007-21882008-1346200905182010168520112856合計(jì)02593t2t·y4-3761-34600168541712101675簡(jiǎn)捷法計(jì)算：tyt×+=5.1676.5181.102135.1676.5186=×+=y總結(jié)：用數(shù)學(xué)模型法測(cè)定長(zhǎng)期趨勢(shì)，關(guān)鍵在于兩個(gè)方面：1是要科學(xué)的選擇模型。首先要判斷趨勢(shì)的形態(tài)。方法有兩種：散點(diǎn)圖法指標(biāo)法：即通過(guò)計(jì)算時(shí)間數(shù)列的動(dòng)態(tài)分析指標(biāo)來(lái)確定時(shí)間數(shù)列的類(lèi)型，①若時(shí)間數(shù)列的環(huán)比增長(zhǎng)量大體相等，則其趨勢(shì)線近似于一條直線；②若時(shí)間數(shù)列的二次增長(zhǎng)量大體相等（即逐期增長(zhǎng)量大體上呈等量遞增或遞減態(tài)勢(shì)），則其趨勢(shì)線近似于一條拋物線；③若時(shí)間數(shù)列的各期環(huán)比發(fā)展速度大體相等，則其趨勢(shì)線近似于一條指數(shù)曲線。取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線。2是確定模型中的參數(shù)。求解模型，實(shí)際上就是確定模型中的待定系數(shù)，即參數(shù)。從數(shù)學(xué)方法的角度看，最理想的方法就是“最小二乘法”。①根據(jù)各年月(季)的時(shí)間數(shù)列資料計(jì)算同月(季)的平均數(shù)②計(jì)算所有年份的總月(季)平均數(shù)③計(jì)算季節(jié)比率S.I.4.5季節(jié)變動(dòng)的測(cè)定與預(yù)測(cè)一、按月(季)平均法某廠最近5年來(lái)圍巾銷(xiāo)售量資料如下：計(jì)算各季的季節(jié)比率。

單位：箱

季度年份一二三四合計(jì)第一年1808530224519第二年1968834248566第三年21510642262625第四年24012550288703第五年27415664312806某廠最近5年來(lái)圍巾銷(xiāo)售量資料如下：計(jì)算各季的季節(jié)比率。

單位：箱

季度年份一二三四合計(jì)第一年1808530224519第二年1968834248566第三年21510642262625第四年24012550288703第五年27415664312806合計(jì)110556022013343219季平均數(shù)22111244266.8160.95季節(jié)比率(%)13