統(tǒng)計學原理：第3章綜合指標2

第三節(jié)平均指標

1.概念

平均指標是指在同質總體內將各單位某一數量標志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

一、平均指標的意義和作用

數據集中區(qū)變量x

-比較作用

a.同類現象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

2.作用

-比較作用

a.同類現象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標可以分析現象之間的依存關系

-利用平均指標可以進行數量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數量標準或參考3.種類

算術平均數

數值平均數 調和平均數幾何平均數 眾數

位置平均數

中位數1.算術平均數的基本公式二、算術平均數

式中：——

算術平均數

X——

各單位的標志值

n——

總體單位數

——

總和符號2.簡單算術平均數式中：——

算術平均數

X——

各組數值

f——

各組數值出現的次數(即權數)3.加權算術平均數設某廠職工按日產量分組后所得組距數列如下，據此求平均日產量。按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權數的情況下，可以直接利用權數系數來求加權算術平均數，其公式為：按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權算術平均數受兩因素的影響：

變量值大小的影響。次數多少的影響。

而簡單算術平均數只反映變量值大小這一因素的影響。加權算術平均數與簡單算術平均數不同在于：△算術平均數的特點算術平均數適合用代數方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當組距數列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。

調和平均數是各個變量值倒數的算術平均數的倒數。三、調和平均數(又稱“倒數平均數”)

某商品在三個集市貿易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)銷售額(元)甲1.0030000乙1.5030000丙1.4035000合計-95000求總平均價格其計算方法如下：在社會經濟統(tǒng)計學中經常用到的僅是一種特定權數的加權調和平均數。即有以下數學關系式成立：m是一種特定權數，它不是各組變量值出現的次數，而是各組標志值總量。已知某商品在三個集市貿易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數計算平均數時調和平均數法的應用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產值(萬元)m=Xf實際產值÷計劃完成程度(%)(即計劃產值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數計算平均數時調和平均數法的應用：例△調和平均數的特點如果數列中有一標志值等于零，則無法計算；較之算術平均數，受極端值的影響要小。1.簡單幾何平均數四、幾何平均數(又稱“對數平均數”)它適用于反映特定現象的平均水平，即現象的總標志值是各單位標志值的連乘積。常用于求比率的平均數例

某機械廠有鑄造車間、機加工車間、裝配車間三個連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這三個車間產品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產品合格率。解：這說明該廠車間產品平均合格率為92.31%2.加權幾何平均數例假定某地儲蓄年利率（按復利計算）：5%持續(xù)1.5年，3%持續(xù)2.5年，2.2%持續(xù)1年。請問此5年內該地平均儲蓄年利率。該地平均儲蓄年利率：平均發(fā)展速度反映現象在一定時期內逐期發(fā)展變化的一般程度，這個指標在國民經濟管理和統(tǒng)計分析中有廣泛的應用，是編制和檢查計劃的重要依據。還可以用于一個國家或地區(qū)不同階段發(fā)展狀況的比較，以及同一時期不同國家或地區(qū)發(fā)展狀況的比較。主要用途：計算平均發(fā)展速度2000年我國國內生產總值為89404億元，2001年我國國內生產總值為95533億元，如果2000年選作基期，則2001的國內生產總值與2000年的國內生產總值對比，得出動態(tài)相對指標為106.9%，它說明在2000年基礎上2001年國內生產總值的發(fā)展速度。

某地區(qū)國民生產總值GNP在1988~1989年平均每年遞增15%，1990~1992年平均遞增12%，1993~1997年平均每年遞增9%，試計算：該地區(qū)國民生產總值這十年平均發(fā)展速度及平均增長速度？10年發(fā)展速度：平均發(fā)展速度：平均增長速度：例△幾何平均數的特點如果數列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和??；

我們公司1/3人工資都是1100元。我的工資是1200元，在公司算中等收入。職員C職員D

該公司員工的月薪如下：員工經理副經理職員A職員B職員C職員D職員E職員F職員G月薪（元）60004000170013001200110011001100500中位數眾數1.概念：眾數是在總體中出現次數最多的那個標志值

五、眾數M0例：一家鞋店在一段時間內銷售了某種女鞋30雙，各種尺碼鞋的銷售量如下表所示：

你能根據上面的數據為這家鞋店提供進貨建議嗎?

尺碼/厘米2222.52323.52424.525銷售量/雙12511731M0M0M0M0M0若有兩個次數相等的眾數，則稱復眾數。①只有總體單位數比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數。眾數存在的條件：下三圖無眾數：②在單位數很少，或單位數雖多但無明顯集中趨勢時，

計算眾數是沒有意義的。①根據單項數列確定眾數；價格(元)銷售數量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數M0=3.00(元)2.眾數的計算方法例觀察次數②根據組距數列確定眾數⑵利用比例插值法推算眾數的近似值。⑴由最多次數來確定眾數所在組；按日產量分組(千克)工人人數(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數所在組。例計算眾數的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產量眾數由上限公式，日產量眾數△眾數的特點

眾數是一個位置平均數，它只考慮總體分布中最頻繁出現的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數列的影響。

眾數是一個不容易確定的平均指標，當分布數列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數可言；當變量數列是不等距分組時，眾數的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數2.中位數的計算方法1.概念：將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數。六、中位數Me⑴n為奇數時，則居于中間位置的那個標志值

就是中位數。例⑵n為偶數時，則中間位置的兩個標志值的算術

平均數為中位數。②由單項數列確定中位數某企業(yè)按日產零件分組如下：按日產零件分組（件）工人數（人）向上累計向下累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數列確定中位數

按日產量分組(千克)工人數(人)向上累計向下累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--下限公式（向上累計時用）：上限公式（向下累計時用）：①中位數不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標志值與中位數離差的絕對值之和是個最小值。3.中位數的特點（一）三者的關系表示為：七、各種平均數之間的相互關系例f如圖：(二）三者的關系1.當總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱一組工人的月收入眾數為700元，月收入的算術平均數為1000元，則月收入的中位數近似值是：例根據卡爾·皮爾遜經驗公式，還可以推算出：1.平均指標只能適用于同質總體。2.用組平均數補充說明總平均數。八、平均指標的運用原則

某生產小組基期有工人15人，報告期人數增加到30人，兩時期各技術等級的工人數和工資總額如下：級別基期報告期工人數(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)工人數(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)二級工213.310005001653.39600600四級工853.372009001033.3100001000七級工533.475001500413.468001700合計15100.015700104730100.026400880例某工業(yè)部門100個企業(yè)年度利潤計劃完成程度資料如下：按計劃完成程度分組(%)企業(yè)數85-89.9290-94.9895-99.910100-104.940105-109.930110-114.910合計100經計算，100個企業(yè)年度平均利潤計劃完成程度為103.35％。3.用分配數列補充說明平均數例①標志變動度是評價平均數代表性的依據。第四節(jié)標志變動度2.作用：1.概念：標志變動度是指總體中各單位標志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學生某次考試成績列表語文數學物理化學政治英語甲959065707585乙1107095508075

甲、乙兩學生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數的程度卻不一樣。乙組數據的離散程度大，數據分布越分散，平均數的代表性就越差；甲組數據的離散程度小，數據分布越集中，平均數的代表性越大。例②標志變動度可用來反映社會生產和其他社會經濟活動過程的均衡性或協調性，以及產品質量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標準差、離散系數等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標準差 S.D.(σ)離散系數 Vσ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數列兩端數值差異，它是測定標志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。1.全距是總體各單位標志值最大值和最小值之差,2.全距的特點二、全距R1.概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后將數列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數，(其中第二個四分位數Q2就是數列的中位數Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.①根據未分組資料求Q.D.2.計算：例②根據分組資料求Q.D.

2)若單項數列，則Q1與Q3所在組的標志值就是Q1與Q3的數值；

若組距數列，確定了Q1與Q3所在組后，還要用以下公式求近似值：根據某車間工人日產零件分組資料，求Q.D.按日產零件分組(件)工人數(人)累計工人數(人)(較小制)5-10121210-15465815-20369420-256100合計100-例這表明有一半工人的日產量分布在11.41件至17.36件之間，且相差5.95件。①四分位差不受兩端各25%數值的影響，能對開口組數列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數的代表性高低；③四分位差不反映所有標志值的差異程度，它所描述的只是次數分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標。3.四分位差的特點

平均差是數列中各單位標志值與平均數之間絕對離差的平均數。1.概念和計算：四、平均差A.D.以某車間100個工人按日產量編成變量數列的資料：工人按日產量分組(千克)工人數(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計100-4200-660例平均差是根據全部標志值與平均數離差而計算出的變異指標，能全面反映標志值的差異程度。2.平均差的特點

標準差是離差平方平均數的平方根，故又稱“均方差”。1.概念和計算：五、標準差S.D.(σ)▼特點采用離差平方的方法消除正負離差，在數學處理上比平均差更為合理和優(yōu)越。對于同一資料，平均差一般小于標準差。未分組資料分組資料工人按日產量分組(千克)工人數(人)f組中值X50-601055-27.627628.64460-701965-17.625898.823670-805075-7.622903.918480-9036852.38203.918490-100279512.384138.1388100-1101410522.387012.