2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)2019選擇性試題3.1橢圓

橢圓一、單選題1．已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：．所以成立的充要條件是：．結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知：成立的充分不必要條件是，故選：B.2．阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，橢圓的面積為，且、、均為正數(shù)，即，解得，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上存在兩點(diǎn)、滿足，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，則為、的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點(diǎn)共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因?yàn)?，所以，在中，即，所以，離心率．故選：A.4．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得，∴，即橢圓，∴，直線方程為，∴，又，設(shè)，則，，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：C.5．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)分別是，焦點(diǎn)分別為，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由題意，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為，，，則，，因?yàn)榫褪桥c的夾角，所以與的夾角為鈍角，所以，即，又，所以，兩邊同時(shí)除以，得，即，解得或，又，所以，所以橢圓離心率的取值范圍為，故選：D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)B在橢圓上，則的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【解析】由題設(shè)知：為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，而B(niǎo)在橢圓上，所以，，由正弦定理邊角關(guān)系知：.故選：A7．已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：橢圓，所以為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，??三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.故選：A.8．已知橢圓為C的左?右焦點(diǎn)，為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心，若的面積為2b，則n的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由題意可得，的內(nèi)心到xP在橢圓C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故選：C.二、多選題9．（多選）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡可能是（

）A．圓 B．線段 C．橢圓 D．直線【答案】BC【解析】由題意知，定點(diǎn)，，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，可得的，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是橢圓．故選：BC．10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由橢圓的定義，可得．又，所以，．①當(dāng)點(diǎn)與，不共線時(shí)，在中，，即，所以．②當(dāng)點(diǎn)與，共線時(shí)，分析知，，所以，即，所以．綜上，橢圓的離心率的取值范圍是，故選：CD．11．某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面千米，并且三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為千米，設(shè)該橢圈的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，則A． B． C．D．【答案】ABD【解析】因?yàn)榈厍虻闹行氖菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，并且根據(jù)圖象可得，（*），故A正確；，故B正確；（*）兩式相加，可得，故C不正確；由（*）可得，兩式相乘可得，，故D正確.故選ABD12．已知橢圓上有一點(diǎn)，?分別為其左右焦點(diǎn)，，的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則；B．若，則滿足題意的點(diǎn)有個(gè)；C．若是鈍角三角形，則； D．橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最小值為.【答案】ABC【解析】由橢圓可得，則，對(duì)于A，設(shè)，，則，由此可得，所以的面積為所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，所以由橢圓的對(duì)稱性可知滿足題意的點(diǎn)有個(gè)，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)槭氢g角三角形，所以中有一個(gè)角大于，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以解得，所以，所以是鈍角三角形時(shí)，有，所以C正確，對(duì)于D，令，，則橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為（其中且滿足），由得，所以橢圓內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的范圍為，即，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題13．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，⊥x軸，則的面積為_(kāi)________．【答案】##【解析】由題意不妨設(shè)﹣，0)，，0)，∵P⊥x軸，∴P(，±)，∵△P的面積＝|P|||＝2＝，故答案為：．14．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，且△b的值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】由題設(shè)，，且，可得，又，則，綜上，，又，則.故答案為：215．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，對(duì)于x軸上的點(diǎn)，橢圓E上存在點(diǎn)M，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是____________.【答案】【解析】設(shè)，則,①，，由可得，即,②由①②消去，整理得,因?yàn)?，所?因?yàn)椋?所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.故答案為：.16．已知橢圓的焦點(diǎn)，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其中，，從而，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程是：，聯(lián)立方程組，消去得，.設(shè)、，線段的中點(diǎn)為，則，，∴，即線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：四、解答題17．已知△ABC底邊兩端點(diǎn)、，若這個(gè)三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為，求點(diǎn)A的軌跡方程．【解析】設(shè)且，則，整理得：A的軌跡方程.18．已知圓C滿足:圓心在直線x+y=0上，且過(guò)圓x2+y22x+10y24=0與圓x2+y2+2x+2y8=0的交點(diǎn)A，B.（1）求弦AB所在直線的方程；（2）求圓C的方程.【解析】（1）由，得故弦AB所在直線的方程為（2）由，解得或故設(shè)圓心，由，解得，即，故圓C的方程為19．已知直線：，⊙的方程為．(1)求證：與⊙相交；(2)若與⊙的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)，求的面積最大值．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】(1)由直線：，得，由可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，由圓：可得，可得圓心坐標(biāo)，從而可得直線過(guò)圓心，則與⊙相交；(2)因?yàn)橹本€過(guò)圓的圓心，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則到直線距離的最大值為，所以的面積最大值為．20．已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，的最大值為，圓．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)圓O上任意一點(diǎn)Q作圓的的切線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求證：以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O．【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)處時(shí)，最大，而的最大值為，則有，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)過(guò)點(diǎn)Q的圓O的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為或，由橢圓及圓的對(duì)稱性，不妨令切線為，由(1)可得，，于是得，即，過(guò)點(diǎn)Q的圓O的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則有，即，由消去y得：，顯然圓O在橢圓C內(nèi)，則圓O的每一條切線都與橢圓C交于兩點(diǎn)，設(shè)，，，而，，于是得，則有，綜上，過(guò)圓O上任意一點(diǎn)Q作圓的的切線交橢圓C于點(diǎn)M，N，都有，所以，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O.21．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且有，.（1）求橢圓的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求證：.【解析】（1）在△中，，，解得，所以，則橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，易知成立，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，，消去有，，所以，綜上可知不論直線的斜率是否為0，總有.22．已知橢圓，點(diǎn)?分別是其左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)A?B分別為其左?，且圓為該四邊形