關(guān)于梁的彎曲變形計(jì)算

關(guān)于梁的彎曲變形計(jì)算

在各種工程結(jié)構(gòu)和運(yùn)輸機(jī)械中，各種軸類(lèi)零件被廣泛應(yīng)用，其中大部分可以簡(jiǎn)化為不同形狀的等截面梁，從而計(jì)算彎曲變形。梁的彎曲變形的計(jì)算就是求解其撓曲線近似微分方程,并使其滿足梁的邊界條件。對(duì)于靜不定梁和梁的彎矩方程不能用同一個(gè)函數(shù)來(lái)表示的靜定梁,用一般的積分法計(jì)算彎曲變形是很麻煩的。采用積分變換方法,即利用拉普拉斯變換將撓曲線微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程,由象函數(shù)代數(shù)方程求解象函數(shù),然后由拉氏逆變換就可以得到撓曲線微分方程的解。同時(shí)可由文獻(xiàn)引入奇異函數(shù),并推導(dǎo)出奇異函數(shù)的拉氏變換,能使求解過(guò)程進(jìn)一步簡(jiǎn)化。1拉普拉斯變換計(jì)算等截面梁的彎曲變形時(shí),采用如下形式的撓曲線近似微分方程EIy(4)=q(x)(1)q(x)為作用在梁上的等效載荷集度。由文獻(xiàn)引入的奇異函數(shù)如下:n≥0時(shí):?x-a?n={(x-a)nx≥a0x＜a(2a)?x?a?n={(x?a)nx≥a0x＜a(2a)n<0時(shí):?x-a?n={∞x=a0x≠a(2b)?x?a?n={∞x=a0x≠a(2b)式中n為整數(shù)奇異函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則:n≥0時(shí)ddx?x-a?n=n?x-a?n-1ddx?x?a?n=n?x?a?n?1(3a)n<0時(shí)ddx?x-a?n=n?x-a?n-1ddx?x?a?n=n?x?a?n?1(3b)奇異函數(shù)的積分規(guī)則:n≥0時(shí)∫x0?x-a?ndx=1n+1?x-a?n+1∫x0?x?a?ndx=1n+1?x?a?n+1(4a)n<0時(shí)∫x0x0〈x-a〉ndx=〈x-a〉n+1(4b)拉普拉斯變換的主要性質(zhì)為:延遲性質(zhì):L[f(x-a)]=e-asL[f(x)](5)L[f(x-a)]為函數(shù)f(x)的拉普拉斯變換。微分性質(zhì):L[y(n)(x)]=Sny(s)-Sn-1y(0)-Sn-2y′(0)y(n-1)(0)(6)式中,L[y(x)]=y(s),y(s)為函數(shù)y(x)的拉普拉斯變換或象函數(shù)。積分性質(zhì):L[∫x0??∫x0f(x)(dx)m]=L[f(x)]Sm(7)[∫x0??∫x0f(x)(dx)m]=L[f(x)]Sm(7)冪函數(shù)xm(m為正整數(shù))的拉氏變換為:L[xm]=m！Sm+1L[xm]=m！Sm+1(8)由奇異函數(shù)的定義及積分規(guī)則,可以推導(dǎo)出其拉普拉斯變換公式:n≥0,由式(5)及式(6)得:L[?x-a?n]=L[(x-a)n]=easL[xn]=e-asn！Sn+1(9)當(dāng)n<0時(shí),設(shè)n=-m(m>0),則式(4b)可改寫(xiě)為:∫x0〈x-a〉-mdx=〈x-a〉-m+1m>0將上式2邊分別積分m次,由奇異函數(shù)的積分規(guī)則可得:∫x0……∫x0〈x-a〉-m(dx)m+1=〈x-a〉12邊取拉普拉斯變換L[∫x0……∫x0〈x-a〉-mdxm+1]=L[〈x-a〉1]由拉普拉斯變換的積分性質(zhì)式(7),并利用式(9)可得:L[?x-a?-m]sm+1=e-ass2上式化簡(jiǎn)后可得:L[?x-a?-m]=e-assn+1(10)計(jì)算梁的彎曲變形時(shí),要利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)式(6)以及拉普拉斯變換公式式(8)～式(10),對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換,求得撓曲線y(x)的象函數(shù)y(s)后,再用式(8)和式(9)對(duì)象函數(shù)y(s)進(jìn)行拉普拉斯逆變換,即可求得梁的撓曲線方程y(x)。作用在梁上的幾種常見(jiàn)載荷如圖1所示,其集中力、集中力偶、均布載荷的等效載荷集度表達(dá)式為:集中力q(x)=-p〈x-a〉-1集中力偶q(x)=-M〈x-a〉-2均布載荷q(x)=-q[〈x-a〉0-〈x-b〉0]載荷方向與圖1相反時(shí),相應(yīng)的q(x)取“+”。2方程方程的解對(duì)于不同形式的等截面梁,用奇異函數(shù)及其拉普拉斯變換,可方便地由撓曲線微分方程(1)求解撓曲線的表達(dá)式y(tǒng)(x)。2.1ei[s1ys-pa-as-pase-2ms圖2所示的簡(jiǎn)支梁,其撓曲線應(yīng)滿足以下微分方程及初值條件:EIy(4)=-p〈x-a〉-1-pa〈x-2a〉-2y(0)=0,y″(0)=0(11)利用式(6)、式(10)和初值條件,將式(11)2邊取拉普拉斯變換:EI[s4y(s)-s2y′(0)-yue087(0)]=-pa-as-pase-2as此式可求得撓曲線y(x)的象函數(shù)y(s)y(S)=pe-asEΙs4-pae-2asEΙs3+y′(0)s2+y?(0)s4然后按式(8)、式(9)將象函數(shù)取拉普拉斯逆變換得:y=-p?x-a?36EΙ-pa?x-2a?22EΙ+xy′(0)+x36y?(0)(12)將梁右端支座的邊界條件:y(3a)=0,y″(3a)=0代入式(12),得:y′(0)=8pa29EΙy?(0)=pEΙ則梁的繞曲線方程為:y=p18EΙ[3?x-a?3-3x3+9a?x-2a?2+16a2x](13)式(12)中的yue087(0)也可直接由EIyue087(0)=RA=p求得,RA為支座A處的約束反力。2.2梁的繞取線y計(jì)算靜不定梁的彎曲變形,更能顯示該方法的優(yōu)越性。圖3所示為二次靜不定梁,繞曲線應(yīng)滿足以下微分方程及初值條件:EIy(4)=-p〈x-a〉-1y(0)=0,y′(0)=0(14)將式(14)2邊取拉普拉斯變換,代入初始值,得:EI[s4y(s)-syn(0)-yue087(0)]=-pe-as于是繞取線y(x)的象函數(shù)y(s)為:y(s)=-pe-asEΙs4+y″(0)s3+y?(0)s4將象函數(shù)取拉普拉斯逆變換,得:y=-p?x-a?36EΙ+x22y″(0)+x36y?(0)(15)將支座B處的邊界條件:y(e)=0,y′(e)=0代入式(15)得:y″(0)=-pab2EΙl2y?(0)=pb2(3a+b)EΙl3則梁的繞曲線方程y=p6EΙ[?x-a?3+3ab2l2x2-(3a+b)b2l3x3](16)由式(16)可得集中力p作用處的撓度yc=pa3b33EΙl32.3連續(xù)梁撓曲方程連續(xù)梁為靜不定梁,運(yùn)輸機(jī)械中很多軸類(lèi)零件均可簡(jiǎn)化成連續(xù)梁。計(jì)算連續(xù)梁的彎曲變形,只要將中間各支座處的約束反力計(jì)入等效載荷集度q(x),即可按前述過(guò)程求解撓曲線方程。圖4中的連續(xù)梁,其撓曲線微分方程和初值條件為:EΙy(4)=-q[1-?x-0?0]+RB?x-l?-1-ql?x-53l?-1y(0)=0y″(0)=0(17)將式(17)兩邊取拉普拉斯變換得:EΙ[s4y(s)-s2y′(0)-y?(0)]=-qs+qe-lss+RBe-ls-qle-53ls象函數(shù):y(s)=qEΙs5+qe-lsEΙs5+RBe-lsEΙs4-qle53lsEΙs4+y′(0)s2+y?(0)s4將上式取拉普拉斯逆變換得:將連續(xù)梁支座邊界條件:y(l)=0,y(2l)=0,y″(2l)=0代入式(18)得:RB=239216ql?y′(0)=-49ql32592EΙy?(0)=157ql432EΙ則連續(xù)梁的撓曲線方程y=-q2592EΙ[108x4-108?x-l?4-478l?x-l?3+432l?x-53l?3+49l3x-157lx3]3梁的轉(zhuǎn)角方程利用奇異函數(shù)和拉普拉斯變換計(jì)算梁的彎曲