柯西定理公式第二節(jié)

第二節(jié)柯西定理本章我們將用柯西積分公式來研究復變函數.首先我們來介紹一下我們的研究路線：首先主要的參考文獻仍然是史濟懷和劉太順老師教材，輔以鐘玉泉、譚小江、阿爾福斯的部分內容.補充內容以余家榮老師的《復變函數專題選講》為主.然后習題方面我們以史濟懷、劉太順老師和Stein的教材為主.第一部分我們將證明柯西積分定理，并且一上來我們就必須明確柯西積分公式在什么時候成立，請大家務必對成立條件關注.順此，并引出復變函數的原函數的概念，并推出柯西積分公式給出其幾個推論.然后我們重點研究一下如何用這個公式研究復變函數的導數，以及進行計算.補充內容中，適用于對學過拓撲的同學，我們會定義只定義在曲線上的原函數，并引出同倫、同調形式的柯西積分定理.習題將分散在例題和練習中.柯西積分定理預備知識：線積分在正式進入柯西積分公式中，我們需要先將積分的定義引入復變函數中，由于這一部分的內容比較容易，所以我們只敘述定義和結論.我們將函數寫為實部和虛部，那么積分為：由實函數的積分的可積性我們知道，只要連續(xù)即連續(xù)，那么函數就是可積的.(由于我們在復變函數中研究的幾乎都是比連續(xù)強的條件，因此我們不考慮可積性問題.)事實上，和實函數一樣，我們計算復函數的積分大多數也是采用參數方程的方法：image現在我們來計算幾個簡單的復變函數的積分吧！也許不少人會直接說因此積分一下就出來了，但是事實上我們還不能這樣做，我們并沒有建立其復變函數中原函數以及萊布尼茨公式，因此還是要采用參數方程或者定義來做，由于這個題曲線只是可求長曲線，因此我們只能通過劃分，求和取極限來做，我們就省略這個過程.Cauchy版本接下來，我們將要花大功夫來討論函數的積分與函數本身、區(qū)域、積分路徑的關系.(為什么要討論這些？)因為一個在未知函數性態(tài)時，該函數的積分就與函數本身、區(qū)域、路徑有關.但是由于我們在本節(jié)課中研究的更多的是全純函數，因此我們重點研究區(qū)域和路徑.不同的書本上就是分這兩種方式來切入柯西積分公式的，國內的教材都是研究區(qū)域，這樣似乎看上去也更簡單些，因此我們也不拒絕這種方式.在此之前，我們先說明一件事實：即使函數是全純，路徑是圓環(huán)，那么在不好的區(qū)域也是可能積分為0(這個不好是相對的)，例如：我們剛剛算過它的積分為.這里積分不為0的原因其實是因為單連通區(qū)域被破壞了，如果區(qū)域是單連通的，結果就會有所不同.我們先證明第一個版本的柯西積分定理：Cauchy版本.我們將函數寫為實部虛部，因為連續(xù)且全純，因此滿足Cauchy-Riemann方程，且是調和函數.一階偏導數均為連續(xù)的.因此積分為0.這里連續(xù)是為了用到偏導數連續(xù)，從而使用Green積分公式.這里讀者自然會想能否降低條件，畢竟連續(xù)是一個比較強的條件了，僅僅解析不行嗎？下邊我們就證明一個更強的結論.Goursat證明單連通域+域內的曲線.2.1下邊我們先說明證明的思路：1.先證明對三角形而言，該定理是滿足的;2.再證明如果是多邊形，那么該定理也是滿足的；3.L是一條普通的線，總存在一個分割,使得所有分點都在L上，且積分：我們僅對1，2進行證明，因為3是一個利用一致連續(xù)性的數學分析的證明.(參見上邊的任何一本國內教材都行.)第一步的證明:

對于這個三角型，我們將其中點連接起來，分為四個一樣大的三角形，如圖我們將積分路徑分為四個三角形內的積分路徑，紅色的叉叉部分由于積分路徑相反因此抵消了.因此積分為：反證，我們假設不為0,因此四個積分中必有一個不為0，我們不妨設絕對值最大的為第一個，那么：對于這個三角形，我們做同樣的處理，因此我們又可以選出一個絕對值積分大于：的三角形，我們即為.于是可以得到：一串三角形

,記它們的邊界為

,這串三角形具有下列性質:\hs{由閉集套定理可知，必能閉出唯一的點，且在內.}由全純的定義，對于任意的且在包含的區(qū)域內，存在使得：,根據可微的定義我們知道：由于

在

處全純,故對任意

,存在

,當

時,第二步的證明

對于路徑圍成的區(qū)域為多邊形，我們可用類似的方法切割.2.3虛線部分因為來回積分因此被抵消了！至此第二部分也證明了.至于第三部分注意到一致連續(xù)性即可得證.剛剛我們證明的結論曲線是在區(qū)域內部，下邊我們還有更強的結論：即函數在區(qū)域內部解析，在邊界連續(xù)(從而一致連續(xù)).這個定理的證明目前對我們來說還是不容易的.一種想法是可以類似剛剛我們證明上一個定理那樣通過分割使積分值的差充分小，這樣做的問題在于，剛剛的曲線在內部因此該分割的連線總是在區(qū)域內部，此時函數仍全純，但是對一般的曲線而言，當在邊界時劃分的連線可能不在區(qū)域內，這就麻煩了.基于這個原因，我們總是要想一個合適的劃分，至于怎么劃分這個可以取去知網查《推廣的柯西積分定理及應用》，還有一種思路是從內部畫曲線逼近邊界，由于內部的曲線總是滿足柯西積分定理，因此只要取合適的逼近就可以達到證明.相比于第一種思路，第二種可能簡單些.這個思路可以參見龔晟老師的《簡明復分析》.(這個證明和數分中證明Green公式以及重積分換積分次序類似，通過劃分第一類區(qū)域和第二類區(qū)域完成證明.)上述我們考慮了單連通區(qū)域的柯西積分定理，對于多聯(lián)通區(qū)域，雖然不能做到積分為0，但是也可以利用柯西積分定理簡化積分：為了能夠較為清楚的說明這一定理，我們僅用三連通區(qū)域簡單說明.如圖我們的積分路徑為.現在我們更換積分路徑，從A點出發(fā)，經過走完全部的積分，由于積分的線性性，因此互為逆方向的路徑積分抵消掉.其中以及組成了環(huán)路，我們分別記為.新的積分路徑中不包含因此是積分為0，即：但是注意到的方向是順時針，因此當移到右邊把負號換為正方向，就得到了證明.至于定理的證明，不外乎將2個換為個，因此結論得證.柯西積分定理在計算積分方面一個明顯的優(yōu)勢就是更換積分路徑，就像上圖一樣，原來的積分路徑是曲線,現在的積分路徑換為了兩個新的環(huán)路，而這個環(huán)路的形式可以由我們自行選擇，比如如果函數是,那么我們把積分路徑換位.這樣利用我們之前的那個典型的積分結果就可以迅速的計算.特別的，當區(qū)域為2-連通區(qū)域時，我們可以任意的換積分路徑：2.5首先注意到這里的一個非常重要的條件是,在書本的正文部分，我們