習題課-微分中值定理

Review1.微分中值定理2.導數(shù)應用一.微分中值定理Rolle，Lagrange，CauchyTheorem；洛比達法則求極限；Taylor’s公式：Peano余項

Lagrange余項對應的Maclaurin公式。

拉格朗日中值定理

1.微分中值定理及其相互關系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

2.

微分中值定理的主要應用(1)研究函數(shù)或導數(shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關中值問題的結論3.

有關中值問題的解題方法利用逆向思維

,設輔助函數(shù).一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在,(2)若結論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù),(3)若結論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)

.多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理

.必須多次應用中值定理.(4)若已知條件中含高階導數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結論為不等式,要注意適當放大或縮小的技巧.有時也可考慮對導數(shù)用中值定理.二.導數(shù)應用函數(shù)的單調性：如何判別，證明不等式；函數(shù)的極值：判別定理I&II；函數(shù)的凸性與拐點：判別及不等式；曲線的漸近線；函數(shù)作圖；曲率：計算公式，曲率園。1.研究函數(shù)的性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點,漸近線,曲率2.解決最值問題

目標函數(shù)的建立與簡化

最值的判別問題3.其他應用:求不定式極限;幾何應用;相關變化率;證明不等式;研究方程實根等.主要概念：極限，導數(shù)，微分；計算：極限，導數(shù)。求極限：

1.法則；

2.洛比達法則；

3.有理化，無窮小代換，和差化積，取對數(shù)，冪指函數(shù)。求導：1.法則；2.

復合函數(shù)，反函數(shù)，參數(shù)函數(shù)，隱函數(shù)求導證明：或證明：證明：證明：解：解：解：解：解：解：或解：解：另解解：證明：證明：證明：另法：證:

問題轉化為證設輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點證:

欲證因

f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理條件,故有將①代入②,化簡得故有①②即要證證明：證明：二式相加得：證明:

令則可設且由羅爾定理知存在一點使即分析:

所給條件可寫為想到找一點c,使證明:

因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,

故由介值定理,至少存在一點

由羅爾定理知,必存在

證明:由泰勒公式得兩式相減得證明:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故當

x>0時,從而在上單調增.得證:

設,則故時,單調增加,從而即思考:證明時,如何設輔助函數(shù)更好?證:

設則所以當令得即所證不等式成立.證:

只要證利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.解法1利用中值定理求極限原式解法2

利用泰勒公式令則原式證:設則故在上連續(xù)單調遞增,從