第08講 銳角三角函數(shù)的定義 教案講義及練習

第第8講講銳角三角函數(shù)的定義概述概述適用學科初中數(shù)學適用年級初三適用區(qū)域新人教版課時時長（分鐘）120知識點當銳角A的度數(shù)確定時，它所在的直角三角形中任意兩邊的比都有唯一確定的值正弦、余弦、正切的定義銳角三角函數(shù)的定義特殊角三角函數(shù)的值教學目標了解正弦，余弦，正切這三個銳角三角函數(shù)的定義，能準確地用直角三角形兩邊的比表示這些函數(shù)掌握特殊角的三角函數(shù)值，會用三角函數(shù)解決三角形中的邊角問題，會用計算器求銳角三角函數(shù)值和根據(jù)三角函數(shù)值求角度的大小體驗數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的廣泛應(yīng)用，感受學習數(shù)學的樂趣和成功的喜悅.教學重點1.當銳角A的度數(shù)確定時，它所在的直角三角形中任意兩邊的比都有唯一確定的值2.正弦、余弦、正切的定義3.特殊角三角函數(shù)的值教學難點銳角三角函數(shù)的定義【教學建議】銳角三角函數(shù)既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù)，也是學習三角函數(shù)的基礎(chǔ)，銳角三角函數(shù)的定義，這是中考的熱點.在近幾年的中考中，主要考查已知直角三角形的兩邊長求銳角的三角函數(shù)值，題目較簡單，題型主要有選擇題和填空題.【知識導圖】教學過程教學過程一、導入一、導入大家思考：小紅在上坡的過程中，下列哪些量是變量和常量？（坡角、上升高度、所走路程）她在斜坡上任意位置時，上升的高度和所走的路程的比值變化嗎？二、復習預習二、復習預習帶著這個問題走進我們今天學習的內(nèi)容------銳角三角函數(shù)，前面我們學過在直角三角形中，知道任意兩條邊，通過勾股定理可以求出第三條邊，例如：已知在中，，BC=12，AC=5，求邊AB的長.利用勾股定理：可得：AB=13那么知道一角一邊能求出其他的邊和角嗎？三、知識講解三、知識講解考點1考點1當銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每兩邊所構(gòu)成的比都有唯一確定得值1.任意畫一個銳角A的一邊上任取一點B,自點B向另一邊作垂線，垂足為C，從而得到一個RtABC,如圖RtABC中的三條邊每兩邊構(gòu)成一個比，一共可得到如下六個比：.2.在銳角A的AB邊上再取另一點B中的三條邊也構(gòu)成如下六個比，.那么有兩個直角三角形所得的對應(yīng)比有怎樣關(guān)系呢？所以點B1是在AB邊上任取得，所以前面的操作具有普遍性所以當銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每兩邊所構(gòu)成的比都有唯一確定得值.考點2考點2正弦、余弦和正切的定義由知識點1可知，當銳角A的度數(shù)固定時，的對邊與斜邊的比是一個固定值，的鄰邊與斜邊的比也是一個固定值，的對邊與鄰邊的比也是一個固定值.在Rt的對邊分別為a,b,c,如圖所示：（1）我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作sinA,即sinA=.（2）我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作cosA,即cosA=.（3）知識拓展：（1）正弦、余弦和正切都是一個比，沒有單位.（2）正弦值，余弦值和正切值只與角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無關(guān).（3）sinA、cosA、tanA是整體符號，不能寫成sinA、cosA、tanA.（4）當用三個字母表示角時，角的符號不能省略，如sin.（5）sin表示（sinA）.（6）三角函數(shù)還可以表示成sin、、tan（7）在RtABC中，,（8）在RtABC中,,（9）在RtABC中,，（10）在RtABC中,,考點3考點3銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦，余弦，正切，都叫做的銳角三角函數(shù).（1）三角函數(shù)的實質(zhì)是一些比，這些比只與角的大小有關(guān)，當角的大小確定時，它的三角函數(shù)值就確定了，也就是說，三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.（2）由定義可知，0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.令y=sinA,y=cosA,y=tanA,則函數(shù)中自變量的取值范圍均為0函數(shù)的增減性分別為：=1\*GB3①y=sinA在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨的增大而增大=2\*GB3②y=cosA在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨的增大而減小=3\*GB3③y=tanA在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨的增大而增大.知識拓展：（1）銳角的三個三角函數(shù)都是比，當銳角不變時，該角的正弦值，余弦值，正切值也不變.（2）銳角的三角函數(shù)值與角的兩邊的長短無關(guān).（3）當銳角A所在的三角形不是直角三角形時，可適當?shù)刈鬏o助線，構(gòu)造出直角三角形，從而求出sinA、cosA、tanA.考點4考點4特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值主要是指30這三個角的三角函數(shù)值，如下表：知識拓展：（1）結(jié)合圖形：如圖及其中的數(shù)據(jù)和三角函數(shù)的定義來計算特殊角的三角函數(shù)值，從而記住結(jié)果.（2）對于其他相關(guān)角的三角函數(shù)值，往往用定義求解，如15.（3）等邊三角形，等腰直角三角形，及與30角相聯(lián)系的其他三角形問題，常常要用特殊角的三角函數(shù)值解答.四、例題四、例題精析類型一當銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每兩邊所構(gòu)成的比都有唯一確定得值例題1例題1如圖，點A為∠α邊上的任意一點，作AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，下列用線段比表示cosα的值，錯誤的是（）A． B． C． D．類型二正弦、余弦和正切的定義例題2例題2在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是（）A． B．3 C． D．2類型三銳角三角函數(shù)的定義例題3例題3如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，則下列三角函數(shù)表示正確的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=類型四特殊角的三角函數(shù)值例題4例題4在△ABC中，若角A，B滿足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，則∠C的大小是（）A．45° B．60° C．75° D．105°五、課堂運用五、課堂運用基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.三角函數(shù)sin30°、cos16°、cos43°之間的大小關(guān)系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°2.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，3），那么cosα的值是（）A． B． C． D．3.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，則BD等于（）A．2 B．3 C．3 D．24.在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值．鞏固鞏固1.α為銳角，若sinα+cosα=，則sinα﹣cosα的值為（）A． B．± C． D．02.已知銳角α滿足cosα=，則銳角α的度數(shù)是度．3.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，如果AB:AD=2:3，那么值是．4.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線與AD的延長線交于F．（1）求證：（2）若sinC=，DF=6，求⊙O的半徑．拔高拔高1.若銳角x滿足tan2x﹣（+1）tanx+=0，則x=．2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，tanB=，求AB的值．3.計算（1）cos60°+（2）﹣|1﹣tan60°|知識結(jié)構(gòu)及要點小結(jié)銳角三角函數(shù)：=1\*GB3①銳角三角函數(shù)的定義：銳角A的正弦，余弦，正切都叫的銳角三角函數(shù).=2\*GB3②特殊角的三角函數(shù)值=3\*GB3③同角，互為余角的三角函數(shù)關(guān)系；sinsin(90tan(90=4\*GB3④銳角三角函數(shù)值的變化情況及取值范圍：正弦（正切）值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0(0解題方法及技巧小結(jié)（1）當銳角A所在的三角形不是直角三角形時，可適當?shù)刈鬏o助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形，從而求出該銳角的三角函數(shù)值（2）化簡含有三角函數(shù)的絕對值，要根據(jù)三角函數(shù)的增減性來化簡.七、課后作業(yè)七、課后作業(yè)基礎(chǔ)基礎(chǔ)1.如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則tanA的值為．2.在△ABC中，∠C=90°，cosA=，則tanA等于．3.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，交BC于點E，若DE=2，OE=3，則tanC?tanB=（）A．2 B．3 C．4 D．54.計算：2cos45°﹣tan60°+sin30°﹣|﹣|．鞏固鞏固1.△ABC中，∠C=90°，tanA=，則sinA+cosA=．2.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正確的結(jié)論有．3.計算：sin30°﹣cos45°+tan260°．4.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的長．