第6章：短期聚合風險模型

第6章短期聚合風險模型

【考試內容】

6.1引言

6.2理賠總量模型

S的概率分布

S的均值、方差或高階矩

6.3

復合泊松模型

復合泊松模型的定義和基本性質復合泊松模型的特殊性質

6.4聚合理賠量的近似模型

正態(tài)分布近似平移伽瑪分布近似

6.5個體風險模型與復合泊松模型的關系

【要點詳解】

§6.1引言

1．聚合風險模型

聚合風險模型是將保單組合視為一個整體，以發(fā)生理賠的保單為基本研究對象，理賠總量是按每次理賠發(fā)生的時間順序將所有理賠量累加起來。

2．短期聚合風險模型：

（1）N表示某類保單在單位時間內發(fā)生理賠的次數(shù)，Ci表示該類保單在此期間第i次理賠的金額，S為該類保單在此期間的理賠總量：其中：N取值為非負整數(shù)，而且P{N=0}>0，N是與保單組合的理賠發(fā)生頻率有關的隨機變量，一般稱之為理賠次數(shù)變量；Ci是取值于正數(shù)(連續(xù)或離散)、測量每次獨立理賠量額度大小的隨機變量，而且有P{Ci=0}=0，一般稱之為理賠額變量。（2）簡化模型的假設：假設1：隨機變量N，C1，C2，…相互獨立；假設2：C1，C2，…具有相同的分布，即Ci都是同質風險。記它們的共同的概率分布函數(shù)為P(x)、概率密度（或概率函數(shù)）為p(x)，用C表示服從該共同分布的隨機變量。

如果用泊松分布來描述理賠次數(shù)N的分布，則模型S稱為復合泊松分布。用負二項分布來描述理賠次數(shù)N的分布，這時稱S的分布為復合負二項分布。

§6.2理賠總量模型

1．S的概率分布

設S的分布函數(shù)為Fs(x)，密度函數(shù)為fs(x)，則：由于C1，C2，…，Cn獨立同分布，分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為p(x)，則P(C1+C2+…+Cn≤x)=F*F*…*F(x)=F*n(x)則可得故有

2．S的均值、方差或高階矩

若S的均值與方差皆存在，則有方差Var(S)由兩部分構成：一部分是理賠量本身的方差，另一部分是理賠次數(shù)的方差。

【例題6.1】總損失額S服從復合分布，S的概率函數(shù)可表示為：其中，個體損失額X的概率函數(shù)為：fX(1)=0.20，fX(2)=0.50，fX(3)=0.30。表示fX的n重卷積，總損失額S的方差為（）。

A．265.48

B．270.48

C．275.48

D．280.48

E．285.48

【答案】B

【解析】由已知條件可知，損失次數(shù)N服從負二項分布，參數(shù)r=3，p=0.2，q=0.8，故：E(N)=rq/p=12，Var(N)=rq/p2=60。且E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1，E(X2)=12×0.2+22×0.5+32×0.3=4.9，

Var(X)=E(X2)－E2(X)=4.9－2.12=0.49。所以Var(S)=E2(X)Var(N)+Var(X)E(N)=2.12×60+0.49×12=270.48。

【例題6.2】對于總損失模型，已知Xi（i=1，2，…）相互獨立，Xi的概率分布為：

P(Xi=1)=0.2，P(Xi=2)=0.8其中，隨機變量N在Λ=λ的條件下服從參數(shù)為λ的泊松分布。隨機變量Λ服從期望為p的泊松分布。已知Λ、N與個體索賠額Xi獨立，Var(S)=10，則p=（）。

A．1.1

B．1.2

C．1.3

D．1.4

E．1.5

【答案】E

【解析】由已知條件得：E(N)=E(Λ)=p，Var(N)=E(Λ)+Var(Λ)=2p；

E(X)=1×0.2+2×0.8=1.8，E(X2)=12×0.2+22×0.8=3.4

Var(X)=E(X2)－E2(X)=3.4－1.82=0.16故：10=Var(S)=E2(X)Var(N)+Var(X)E(N)=1.82×2p+0.16×p，解得：p=1.51。

【例題6.3】若聚合理賠模型中個別理賠額服從正態(tài)分布N(100，9)，理賠次數(shù)N的分布為：則聚合理賠款S的方差與均值之比為（）。

A．1.9

B．4.7

C．9.0

D．57.5

E．190.0

【答案】D

【解析】由已知條件得：E(X)=100，Var(X)=9；

E(N)=1×0.5+2×0.2+3×0.2+4×0.1=1.9，E(N2)=12×0.5+22×0.2+32×0.2+42×0.1=4.7，

Var(N)=E(N2)－E2(N)=4.7－1.92=1.09。

所以E(S)=E(N)E(X)=1.9×100=190；

Var(S)=E2(X)Var(N)+E(N)Var(X)=1002×1.09+1.9×9=10917.1。故方差與均值之比為：10917.1/190=57.458。

3．S的矩母函數(shù)

只要已知理賠次數(shù)N的矩母函數(shù)MN(t)和理賠額Ci的矩母函數(shù)，便可由上式進行復合運算得到S的矩母函數(shù)。

【例題6.4】假定理賠次數(shù)N服從幾何分布，概率分布為P(N=n)=pqn，n=0，1，2，…，0<p<1，p+q=1；個別理賠額X服從參數(shù)為β的指數(shù)分布Exp(β)，聚合理賠S的矩母函數(shù)Ms(t)等于（）。[2008年春季真題]

【答案】A

【解析】由已知，有

故

§6.3復合泊松模型

1．復合泊松模型的定義和基本性質

（1）定義：隨機變量S為參數(shù)λ＞0的復合泊松模型，若它滿足：①N服從參數(shù)為λ＞0的泊松分布；②理賠額變量C1，C2，…互相獨立具有相同的分布，簡稱為理賠額變量C。其分布函數(shù)為F(x)，x≥0；密度函數(shù)為p(x)，x≥0；并記其k階原點矩為：③N與C1，C2，…，相互獨立。則短期聚合風險模型的隨機變量S為參數(shù)λ＞0的復合泊松模型。（2）基本性質：

2．復合泊松模型的特殊性質

（1）對求和的封閉性：已知S1，S2，…，Sm是相互獨立的隨機變量，而且Si為參數(shù)λi的復合泊松分布，理賠額變量的分布函數(shù)為Fi(x)，i=1，2，…，m。則S=S1+S2+…+Sm服從參數(shù)為的復合泊松分布，理賠額的分布函數(shù)為：注：對求和的封閉性對于建立保險風險模型具有兩方面的意義：第一，在考慮由多個保單組合構成的總業(yè)務組合時，若這些保單組合之間是相互獨立的，而且每個保單組合的總理賠模型均為復合泊松模型，則總業(yè)務組合的總理賠模型依然為復合泊松模型；第二，在考慮同一保單組合在若干個連續(xù)保險年度中的理賠總量的分布時，若每個保險年度的理賠總量都是復合泊松模型而且相互獨立，即使它們未必具有相同的分布，這些年的理賠總量也將服從復合泊松模型。（2）可分解性：假設隨機變量S服從復合泊松分布，參數(shù)λ＞0，理賠額為離散型隨機變量，概率函數(shù)為πi=P(C=xi)，i=1，2，…，m，其中xi表示理賠額變量的取值。若記Ni為S中取值為xi的次數(shù)，i=1，2，…，m，則有：N=N1+N2+…+Nm，N＞0，有以下結論成立：

?

N1，N2，…，Nm相互獨立；

?

Ni服從參數(shù)為λi=λπi的泊松分布，i=1，2，…，m。

（3）分布計算的遞推性質：對于復合泊松模型，當理賠額變量C取值于正整數(shù)時，有如下的fS(x)的迭代公式：（4）遞推性質的應用——限額損失再保險問題：①最常見的兩種最基本的再保險方式：限額損失再保險(也稱超額超賠再保險)和比例再保險。模型如下：

限額損失再保險：d為免賠額。比例再保險：I(S)=kS，0<k<1②限額損失再保險理賠額Id的均值：設S的分布函數(shù)為Fs(x)，密度函數(shù)為fs(x)，則有：

特別地，當理賠S僅取非負整數(shù)值并且d也是整數(shù)時，有：由這些不同的表達式還可以導出關于E(Id)的遞推公式：

（5）逆推性質的拓展：

若短期聚合模型中的理賠次數(shù)N服從（a，b，0）類計數(shù)分布，且理賠額變量C取值于正整數(shù)，則有如下關于理賠總額概率分布函數(shù)fS(x)的迭代公式：

fs(0)=P（N=0）

【例題6.5】已知總索賠額服從復合泊松分布，Xi的概率函數(shù)為：

P(Xi=1)=P(Xi=2)=0.2，P(Xi=3)=0.6

N服從期望為2的泊松分布，則E[max(S－1.2，0)]=（）。

A．3.6

B．3.8

C．4.0

D．4.2

E．4.4

【答案】B

【解析】由已知條件得：E(N)=λ=2，E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.6=2.4，所以E(S)=λE(X)=4.8。而由復合泊松分布的概率分布的迭代公式：得：fS(0)=e-λ=e-2，fS(1)=2P(Xi=1)fS(0)=2×0.2×e-λ=0.4e-2。故

【例題6.6】復合風險模型S的個體索賠額為正整數(shù)，索賠次數(shù)N服從期望為b的泊松分布。已知E(S)=1.68，且S的概率函數(shù)滿足：則b－k=（）。

A．－0.10

B．0.00

C．0.05

D．0.10

E．0.15

【答案】B

【解析】已知λ=b，而復合泊松分布的概率分布的迭代公式：與已知概率函數(shù)作比較得：bp(1)=0.16，2bp(2)=k，3bp(3)=0.72。又E(S)=b[p(1)+2p(2)+3p(3)]=1.68，即0.16+k+0.72=1.68，解得：k=0.8。且p(1)+p(2)+p(3)=1，即，解得：b=0.5k+0.4=0.8。故b－k=0.8－0.8=0。

【例題6.7】設聚合理賠S服從參數(shù)為λ=2的復合泊松分布，個別理賠額變量X的分布如下：則P{S≤500}=（）。[2008年春季真題]

A．0.31

B．0.45

C．0.48

D．0.50

E．0.55

【答案】B

【解析】可將理賠額0、100、200、300、400、500分別看作單位0、1、2、3、4、5，則

§6.4聚合理賠量的近似模型

1．正態(tài)分布近似

（1）當短期聚合風險模型為復合泊松模型、泊松參數(shù)為λ、理賠額變量的分布函數(shù)為F(x)時，有：的分布當λ→∞時趨于標準正態(tài)分布，其中P1、P2分別為F(x)對應的1階和2階原點矩。

（2）當短期聚合風險模型為復合負二項分布、參數(shù)為r和p、理賠額變量的分布函數(shù)為F(x)時，有：的分布當r→∞時趨于標準正態(tài)分布。

【例題6.8】對于聚合理賠款S=X1+X2+…+XN，已知：（1）理賠次數(shù)N服從均值為0.5的泊松分布；（2）N，X1，X2，…互相獨立；（3）個別索賠額X1，X2，…獨立同分布，均值和方差均為100。定義損失率為一保單組合總賠款和總保費的比率，安全附加費率為0.1。用正態(tài)近似的方法求損失率超過0.75的概率為（）。

A．Ф(0.123)

B．1－Ф(0.123)

C．Ф(0.500)

D．Ф(0.877)

E．1－Ф(0.877)

【答案】A

【解析】依題意得：

=P(S＞0.75×1.1E(S))=P(S＞0.75×1.1×100×0.5)

=P(S＞41.25)

=

【例題6.9】假定S服從參數(shù)r=6及p=0.25的復合負二項分布，理賠額服從指數(shù)分布3e-3x，用正態(tài)近似計算P(S＜8)=（）。

A．B．1－

C．D．1－

E．

【答案】A

【解析】由已知條件得：E(N)=rq/p=6(1-0.25)/0.25=18，Var(N)=rq/p2=6(1-0.25)/0.252=72所以E(S)=E(N)E(X)=6

Var(S)=E2(X)Var(N)+E(N)Var(X)=(1/9)×72+18×(1/9)=10故

2．平移伽瑪分布近似

（1）定義：①參數(shù)為α和β的伽瑪隨機變量的分布函數(shù)為：②對任意的點x0＞0，定義如下新的分布函數(shù)，稱為平移伽瑪分布：H(x；α，β，x0)=Gamma(x－x0；α，β)，x≥x0

注意：平移伽瑪分布相當于將Gamma(x；α，β)平移了x0個單位。（2）平移伽瑪分布的一、二及三階中心矩分別為：

（3）用平移伽瑪分布來近似聚合理賠S：

采用中心矩相等的原則，令平移伽瑪隨機變量和聚合理賠S的一、二、三階中心矩相等，即：由此解出x0，α，β的值即可。

特別的，對于復合泊松分布，有：

【例題6.10】已知隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立，Xk的密度函數(shù)為

[2008年春季真題]

A．1.1

B．1.5

C．2.1

D．2.5

E．3.1

【答案】D

【解析】由已知，有X～Gamma(k,2)，故

故

【例題6.11】假設S服從復合泊松模型，參數(shù)λ=12，且理賠額服從[0，1]上的均勻分布，則用正態(tài)近似計算P(S<10)和用平移伽瑪近似計算P(S<10)的差為（）。

A．0.001

B．0.003

C．0.005

D．0.007

E．0.009

【答案】E

【解析】依題意知，理賠額變量C服從[0，1]上的均勻分布，則其分布函數(shù)為P(x)=x，x∈[0，1]。故其1、2階原點矩分別為：

，，

；

E(S)=λp1=6，Var(S)=λp2=4，E[S－E(S)]3=λp3=3。

①若采用正態(tài)近似，則P(S<10)==0.97725；②若采用平移伽瑪近似，則

即平移伽瑪分布為：

H(x：α，β，x0)=H(x；256/9，8/3，-14/3)=Gamma(x－x0；α，β)

=Gamma(x+14/3；256/9，8/3)。因此P(S<10)=Gamma(10+14/3：256/9，8/3)=Gamma(44/3：256/9，8/3)=0.9682。

故兩者之差為：0.97725－0.9682=0.00905。

§6.5個體風險模型與復合泊松模型的關系

1．個體風險模型

現(xiàn)有由n張獨立的保單組成的保單組合，每張保單至多發(fā)生一次理賠，而且第i張保單發(fā)生理賠的概率為：P(Ii=1)=qi，第i張保單發(fā)生理賠后的金額為：Bi~fi(x)，x>0，相應地，總理賠S的模型為：并且有：其中：2．以發(fā)生總理賠額的均值不變?yōu)樵瓌t進行復合泊松近似

（1）理賠額變量B服從以下分布：考慮如下的復合泊松模型：其中：N為參數(shù)的泊松分布，Yi獨立同分布，上述模型可看做是個體風險模型的一種泊松模型近似。

（2）近似模型的期望和方差：近似模型的均值與個體風險模型的均值相等，方差偏高。（3）理賠額變量B的一階，二階原點矩：其中：，滿足由此可知：近似的復合泊松模型中，理賠額的均值和二階原點矩可看做是對每一張保單理賠額的