實際問題與一元二次方程

解一元一次方程應用題的一般步驟？一、復習第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；第三步：根據這些相等關系列出需要的代數式（簡稱關系式）從而列出方程；第四步：解這個方程，求出未知數的值；第五步：在檢查求得的答數是否符合應用題的實際意義后，寫出答案（及單位名稱）。第一頁第二頁，共61頁。（一）握手問題傳播問題第二頁第三頁，共61頁。1.要組織一場籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,即每兩隊之間都賽一場,計劃安排15場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?3.要組織一場籃球聯(lián)賽,每兩隊之間都賽2場,計劃安排90場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽?2.參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人參加聚會?例題4.參加一次聚會的每兩人都互贈禮物,所有人共贈禮物90次,有多少人參加聚會?第三頁第四頁，共61頁。

列一元二次方程解應用題的步驟與列一元一次方程解應用題的步驟類似，即審、設、列、解、檢、答．在列一元二次方程解應用題時，由于所得的根一般有兩個，所以要檢驗這兩個根是否符合實際問題的要求．列一元二次方程解應用題應該注意的問題第四頁第五頁，共61頁。（二）傳播問題第五頁第六頁，共61頁。

有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?分析1第一輪傳染后1+x第二輪傳染后1+x+x(1+x)解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.開始有一人患了流感,第一輪的傳染源就是這個人,他傳染了x個人,用代數式表示,第一輪后共有_____人患了流感;第二輪傳染中,這些人中的每個人又傳染了x個人,用代數式表示,第二輪后共有____________人患了流感.(x+1)[1+x+x(1+x)]1+x+x(1+x)=121解方程,得答:平均一個人傳染了________個人.10-12(不合題意,舍去)10x1=x2=第六頁第七頁，共61頁。如果按照這樣的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感?121+121×10=1331人?思考如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感？第七頁第八頁，共61頁。

有一個人收到短消息后,再用手機轉發(fā)短消息,經過兩輪轉發(fā)后共有144人收到了短消息,問每輪轉發(fā)中平均一個人轉發(fā)給幾個人?1+x1+x+(x+x2)分析:設每輪轉發(fā)中平均一個人轉發(fā)給x個人,第一輪后有

人收到了短消息,這些人中的每個人又轉發(fā)了x人,第二輪后共有[]

個人收到短消息.第八頁第九頁，共61頁。1.某種植物的主干長出若干數目的支干,每個支干又長出同樣數目的小分支,主干,支干和小分支的總數是91,每個支干長出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:設每個支干長出x個小分支,則1+x+x●x=91即解得,x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)答:每個支干長出9個小分支.第九頁第十頁，共61頁。（三）增長率問題第十頁第十一頁，共61頁。

2003年我國政府工作報告指出:為解決農民負擔過重問題,在近兩年的稅費政策改革中,我國政府采取了一系列政策措施,2001年中央財政用于支持這項改革試點的資金約為180億元,預計到2003年將到達304.2億元,求2001年到2003年中央財政每年投入支持這項改革資金的平均增長率?例解:這兩年的平均增長率為x,依題有（以下大家完成）180分析:設這兩年的平均增長率為x,2001年2002年2003年180(1+x)第十一頁第十二頁，共61頁。練習:1.某廠今年一月的總產量為500噸,三月的總產量為720噸,平均每月增長率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=5002.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預計今明兩年的投資總額為8萬元,若設該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是x,則可列方程為

.B第十二頁第十三頁，共61頁。例2兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元,生產1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產技術的進步,現(xiàn)在生產1噸甲種藥品的成本是3000元,生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?

分析:甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000(元)

乙種藥品成本的年平均下降額為

(6000-3600)÷2=1200(元)乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率(百分數)第十三頁第十四頁，共61頁。解:設甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2

元,依題意得解方程,得答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.算一算:乙種藥品成本的年平均下降率是多少?比較:兩種藥品成本的年平均下降率22.5%(相同)第十四頁第十五頁，共61頁。經過計算,你能得出什么結論?成本下降額較大的藥品,它的成本下降率一定也較大嗎?應怎樣全面地比較對象的變化狀況?

經過計算,成本下降額較大的藥品,它的成本下降率不一定較大,應比較降前及降后的價格.第十五頁第十六頁，共61頁。平均增長（降低）率的應用題

平均增長（降低）率公式（1）1與x的位置不要調換；（2）解這類問題列出的方程一般用

“直接開平方法”。注意第十六頁第十七頁，共61頁。

類似地這種增長率的問題在實際生活普遍存在,有一定的模式

若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是A,則它們的數量關系可表示為其中增長取“+”,降低取“－”小結第十七頁第十八頁，共61頁。試一試1.某鄉(xiāng)無公害蔬菜的產量在兩年內從20噸增加到35噸.設這兩年無公害蔬菜產量的年平均增長率為x,根據題意,列出方程為__________________.3.某經濟開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產值達50億元,第一季度總產值175億元,設二月、三月平均每月增長的百分率為x,根據題意得方程為()2．某電視機廠1999年生產一種彩色電視機,每臺成本3000元,由于該廠不斷進行技術革新,連續(xù)兩年降低成本,至2001年這種彩電每臺成本僅為1920元,設平均每年降低成本的百分數為x,可列方程_____________.第十八頁第十九頁，共61頁。

練習黨的十六大提出全面建設小康社會，加快社會主義現(xiàn)代化建設，力爭國民生產總值到2020年比2000年翻兩翻，在本世紀的頭20年（2001—2020年）要實現(xiàn)這一目標，以十年為單位計算，設每個十年的國民生產總值的增長率是Ⅹ那么Ⅹ滿足的

A（1+x)2=2B(1+x)2=4C1+2x=2D(1+x)+2(1+x)2=4第十九頁第二十頁，共61頁。問題某服裝廠花1200元購進一批服裝，按40%的利潤定價，無人購買，決定打折出售，但仍無人購買，結果又一次打折才售完，經結算，這批服裝共贏利280元，若兩次打折相同，每次打了幾折？列出方程即可第二十頁第二十一頁，共61頁。

商店里某種商品在兩個月里降價兩次，現(xiàn)在該商品每件的價格比兩個月前下降了36％，問平均每月降價百分之幾？解：設平均每月降價的百分數為，又設兩個月前的價格為元，則現(xiàn)在的價格為元，根據題意，得，

不合題意舍去．．答：平均每月降價．第二十一頁第二十二頁，共61頁。

類似地這種增長率的問題在實際生活普遍存在,有一定的模式

若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是A,則它們的數量關系可表示為其中增長取“+”,降低取“－”小結第二十二頁第二十三頁，共61頁。（四）每每問題第二十三頁第二十四頁，共61頁。例：某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？利潤問題主要用到的關系式是：⑴每件利潤=每件售價-每件進價；⑵總利潤=每件利潤×總件數第二十四頁第二十五頁，共61頁。分析：如果設每件襯衫降價x元，則每件襯衫盈利（40-x）元，根據每降價1元就多售出2件，即降價x元則多售出2x件，即降價后每天可賣出（20+2x)件，由總利潤=每件利潤×售出商品的總量可以列出方程解：設每件襯衫降價x元，根據題意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10,x2=20因為要盡快減少庫存，所以x=10舍去。答：每件襯衫應降價20元。第二十五頁第二十六頁，共61頁。某種新品種進價是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價（元）與產品的日銷售量（件）始終存在下表中的數量關系：每件售（元）130150165每日銷售（件）705035（1）請你根據上表中所給數據表述出每件售價提高的數量（元）與日銷售量減少的數量（件）之間的關系。（2)在不改變上述關系的情況下，請你幫助商場經理策劃每件商品定價為多少元時，每日盈利可達到1600元？第二十六頁第二十七頁，共61頁。例4：百佳超市將進貨單價為40元的商品按50元出售時，能賣500個，已知該商品要漲價1元，其銷售量就要減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨為多少個？分析：設商品單價為（50+x)元,則每個商品得利潤[（50+x)—40]元，因為每漲價1元，其銷售會減少10，則每個漲價x元，其銷售量會減少10x個，故銷售量為（500—10x）個，根據每件商品的利潤×件數=8000，則應用（500—10x）·[（50+x)—40]=8000解：設每個商品漲價x元，則銷售價為（50+x)元，銷售量為（500—10x）個，則（500—10x）·[（50+x)—40]=8000，整理得解得都符合題意。當x=10時,50+x=60，500—10x=400；當x=30時，50+x=80，500—10x=200。答：要想賺8000元，售價為60元或80元；若售價為60元，則進貸量應為400；若售價為80元，則進貸量應為200個。生活有關一元二次方程的利潤問題第二十七頁第二十八頁，共61頁。（五）幾何（面積）問題第二十八頁第二十九頁，共61頁?；仡櫭娣e公式ahabaaab第二十九頁第三十頁，共61頁。hababhar第三十頁第三十一頁，共61頁。

例：在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的框邊寬。XX30cm20cm解:設長方形框的邊寬為xcm,依題意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5當x=20時,20-2x=-20(舍去);當x=5時,20-2x=10答:這個長方形框的框邊寬為5cm分析:本題關鍵是如何用x的代數式表示這個長方形框的面積第三十一頁第三十二頁，共61頁。

如圖，某中學為方便師生活動，準備在長30m，寬20m的矩形草坪上修筑兩橫兩縱四條小路，橫縱路的寬度之比為3∶2，若使余下的草坪面積是原來草坪面積的四分之三，則路寬應為多少？新課導入第三十二頁第三十三頁，共61頁。

某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m。（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？（2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？實際問題第三十三頁第三十四頁，共61頁。解：（1）設渠深為xm則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m依題意，得：整理，得：解得：∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m。（2）答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m。需要25天才能挖完渠道。第三十四頁第三十五頁，共61頁。

要設計一本書的封面,封面長27㎝,寬21㎝,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應如何設計四周邊襯的寬度?2721實際問題第三十五頁第三十六頁，共61頁。設正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm依題意得解得

故上下邊襯的寬度為:左右邊襯的寬度為:解法一:分析:這本書的長寬之比是9:7,依題知正中央的矩形兩邊之比也為9:7第三十六頁第三十七頁，共61頁。分析:這本書的長寬之比是9:7,正中央的矩形兩邊之比也為9:7,由此判斷上下邊襯與左右邊襯的寬度之比也為9:7設上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得解方程得(以下同學們自己完成)方程的哪個根合乎實際意義?為什么?解法二:第三十七頁第三十八頁，共61頁。

某校為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑若干條道路,余下部分作草坪,并請全校同學參與設計,現(xiàn)在有兩位學生各設計了一種方案(如圖),根據兩種設計方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少？使圖（1）,（2）的草坪面積為540米2。（1）（2）實際問題第三十八頁第三十九頁，共61頁。（1）解:（1）如圖，設道路的寬為x米，則化簡得，其中的x=25超出了原矩形的寬，應舍去。∴圖（1）中道路的寬為1米。第三十九頁第四十頁，共61頁。則橫向的路面面積為_______，分析：此題的相等關系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一：如圖，設道路的寬為x米，32x

米2縱向的路面面積為_________。20x

米2注意：這兩個面積的重疊部分是x2

米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2。（2）第四十頁第四十一頁，共61頁。而是從其中減去重疊部分，即應是米2所以正確的方程是：化簡得，其中的x=50超出了原矩形的長和寬，應舍去.取x=2時，道路總面積為：

=100(米2)草坪面積==540（米2）答：所求道路的寬為2米。第四十一頁第四十二頁，共61頁。解法二：

我們利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）第四十二頁第四十三頁，共61頁。（2）橫向路面_________，如圖，設路寬為x米，32x米2縱向路面面積為________。20x米2草坪矩形的長（橫向）為____________，草坪矩形的寬（縱向）_____________。相等關系是：草坪長×草坪寬=540米2(20-x)米（32-x)米即化簡得：再往下的計算、格式書寫與解法1相同。第四十三頁第四十四頁，共61頁。

某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時間t（s）之間的關系為：，那么行駛200m需要多長時間?解：當s=200時，，解得答：行駛200m需。路程＝速度×時間

實際問題第四十四頁第四十五頁，共61頁。

一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車。（1）從剎車到停車用了多少時間?

（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少?

（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）?實際問題第四十五頁第四十六頁，共61頁。解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是那么從剎車到停車所用的時間是（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0=20

從剎車到停車每秒平均車速減少值是（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s

則這段路程內的平均車速為所以x（20-4x）=15

整理得：解方程：得答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s。第四十六頁第四十七頁，共61頁。解一元二次方程應用題的一般步驟:

（1）弄清題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；

（2）找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；

（3）根據這些相等關系列出需要的代數式（簡稱關系式）從而列出方程；

（4）解這個方程，求出未知數的值；

（5）檢查求得的根是否符合應用題的實際意義，寫出最后答案（及單位名稱）。知識要點第四十七頁第四十八頁，共61頁。隨堂練習1.（1）某林場現(xiàn)有木材a立方米，預計在今后兩年內年平均增長p%，那么兩年后該林場有木材多少立方米?

（2）某化工廠今年一月份生產化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產量逐年上升，第一季度共生產化工原料60萬噸，設二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為（）。第四十八頁第四十九頁，共61頁。2.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率。解：設這種存款方式的年利率為x則：整理，得：，即解得：答：所求的年利率是12.5%．第四十九頁第五十頁，共61頁。3。某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤。（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式。（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?第五十頁第五十一頁，共61頁。

解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元（2）（3）由于水產品不超過10000÷40=250kg，定價為x元，則（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：當時，進貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意。當時，進貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）。第五十一頁第五十二頁，共61頁。4.某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭：小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經B到C勻速巡航，一般補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。（1）小島D和小島F相距多少海里?

（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里?（結