20140420等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)

PAGEPAGE6等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2．等差數(shù)列通項公式：，首項:，公差:d，末項:推廣：．從而；3．等差中項（1）如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項．即：或（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列4．等差數(shù)列的前n項和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）5．等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列．（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列．⑶數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6．等差數(shù)列的證明方法定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列．7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）設(shè)項技巧：①一般可設(shè)通項②奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；③偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（注意；公差為2）8..等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.注：，（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列(5)若{}是等差數(shù)列，則，…也成等差數(shù)列（6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數(shù)列（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和1.當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時，2、當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，則（其中是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）．（8）、的前和分別為、，且，則.（9）等差數(shù)列的前n項和，前m項和，則前m+n項和(10)求的最值法一：因等差數(shù)列前項和是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負(fù)項之和即當(dāng)由可得達(dá)到最大值時的值．（2）“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即當(dāng)由可得達(dá)到最小值時的值．或求中正負(fù)分界項法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，取最大值（或最小值）。若Sp=Sq則其對稱軸為注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運(yùn)算量．［例1］在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.［例2］有一項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比.［例3］若兩個等差數(shù)列的前n項和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，試求它們的第11項之比.［例4］等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3A.30 B.170C.210 [例5]在a，b之間插入10個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列，求這10個數(shù)的和.［例6］在凸多邊形中，已知它的內(nèi)角度數(shù)組成公差為5°的等差數(shù)列，且最小角是120°，試問它是幾邊形？［例7］求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素個數(shù)，并求這些元素的和.［例8］已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎?［例9］已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.求證：S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，設(shè)其k∈N*，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差數(shù)列嗎?［例10］已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＞0，S9＝S17，試問n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？最大值為多少？［例11］在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝eq\f(2an,an＋2)，求數(shù)列{anan+1}的前n項和.［例12］設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大？并說明理由.［例13］首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前三項之和與前十一項之和相等，問此數(shù)列前多少項之和最大？［例14］數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝50，d＝－0.6.(1)求從第n項開始有an<0；(2)求此數(shù)列的前n項和的最大值.二、經(jīng)典例題導(dǎo)講等差數(shù)列：[例1]已知數(shù)列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一項比前一項大3.（1）指出這個數(shù)列的通項公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是該數(shù)列的前幾項之和.[例2]已知數(shù)列的前n項之和為①②求數(shù)列的通項公式。[例3]已知等差數(shù)列的前n項之和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于。[例4]等差數(shù)列、的前n項和為Sn、Tn.若求；[例5]已知一個等差數(shù)列的通項公式an=25