高中數(shù)學(xué)《立體幾何》大題及答案解析

高中數(shù)學(xué)《立體幾何》大題及答案解析(理)（2009全國卷Ⅰ）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD2，DCSD2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60。（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；求二面角SAMB的大小。（2009全國卷Ⅱ）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC（Ⅰ）證明：AB=AC（Ⅱ）設(shè)二面角A-BD-C為°求BC與平面BCD所成的角的大小A1C1B1DEACB（2009浙江卷）如圖，DC平面ABC，EB//DC，ACBCEB2DC2，ACB120，P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn)．（I）證明：PQ//平面ACDII）求AD與平面ABE所成角的正弦值．（2009北京卷）如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC平面PD；（Ⅱ）當(dāng)PD2AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.（2009江西卷）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2．以BD的中點(diǎn)O為球心、BD為直徑的球P面交PD于點(diǎn)M．（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直線PC與平面ABM所成的角；M（3）求點(diǎn)O到平面ABM的距離．D

AOB

C.2009四川卷）如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45（I）求證：EF平面BCE；（II）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：PM∥平面BCE（III）求二面角FBDA的大小。（2009湖北卷文）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求證：對任意的（、AC⊥BE:0(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小為60，求的值。.2009湖南卷）如圖ABC11中，ABAA17,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在ACDE1E.（Ⅰ）證明：平面ADE平面ACC11;（Ⅱ）求直線AD1和平面1DE所成角的正弦值。.2009ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45（I）求證：EF平面BCE；（II）設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證：PM∥平面BCE（III）求二面角FBDA的大小。（2009重慶卷文）如題（18）圖，在五面體ABCDEF中，AB∥DC，BAD，2CDAD2，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A平面ABCD，F(xiàn)C3,ED7．求：（Ⅰ）直線AB到平面EFCD的距離；（Ⅱ）二面角FADE的平面角的正切值．11．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60AB＝，PD⊥底面ABCD．(1)證明：⊥BD；(2)設(shè)PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．12（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)（1）證明：PEBC（2）若APB=ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值參考答案1I）解法一：作MN∥SD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則MN面ABCD，MEAB,NEAD2設(shè)MNx，則NCEBx,在RTMEB中，MBE60ME3x。在RTMNE中由222MENEMN223xx2解得x1，從而1MNSDM為側(cè)棱SC的中點(diǎn)M.2解法二過M作CD的平行線.（II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過M作MJ∥CD交SD于J,作SHAJ交AJ于H,作HKAM交AM于K,則JM∥CD,JM面SAD,面SAD面MBA,SH面AMBSKH即為所求二面角的補(bǔ)角.法二：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過點(diǎn)B作BFAM交AM于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，易證GFAM，則GFB即為所求二面角.解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則2B(2,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。zSMC

yDABx（Ⅰ）設(shè)M(0,a,a0,b0)，則BA(0,BM(2,a2,b),SM(0,a,b2)，SC(2)，由題得cosBA,BM12，即SM//SC2(a2)12(a22)2b22解之個(gè)方程組得a1,b1即M(2a2(b2)所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。2222

法：設(shè)SMMC，則M(0,,),MB(2,,)

1111又oAB(),MB,AB60故oMBAB|MB||AB|，即142(12)22)2(1，解得1，所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)。（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(MA(2,1)，又AS(2,0,2)，AB()，設(shè)1(x,y,z),n(x,y,z)分別是平面SAM、MAB的法向量，則1112222n1MA0且nMA02，即2x1y1z10且2x2y2z20n1AS0nAB102x12z102y20分別令x1x2得11y20,z22，即21(2n2(2，∴cos1,22022663二面角SAMB的大小6arccos。32、解法一：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)，連接，則EF12BB，從而EFDA。1連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足為，連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，∠AGC=60.2設(shè)AC=2，則AG=。又AB=2，BC=22，故AF=2。3由ABADAGBD得2AD=2322.AD2，解得AD=2。故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。因?yàn)锽C⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。連接AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。連接CH，則∠ECH為1C與平面BCD所成的角。1因ADEF為正方形，AD=2，故EH=1，又EC=2BC=2，10.所以∠ECH=30，即1C與平面BCD所成的角為30解法二：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系—xyz。設(shè)（，，0（，，0（，0，c（1，0，2c）,E（12，b2，c）.于是DE=（12，b2，0BC（-1，b,0）由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，DEBC=0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）設(shè)平面BCD的法向量AN(x,則ANBC0,ANBD0.又BC=（-1，1，BD=（-1，0，）故xyxcz00令x=1,則y=1,z=1c,AN=(1,1,1c).又平面ABD的法向量AC=（，1，）由二面角ABDC為60°知，ANAC=60°，1故ANACANAC°，求得c2于是AN，），CB，，）1cosANCB11ANCB，12ANCB1ANCB60°1所以1C與平面BCD所成的角為30°13DP,CQ，在ABE中，P,Q分別是AE,AB的中點(diǎn)，所以PQ//BE，21又DC//BEPQ//DCPQ平面ACDDC平面ACD，所以PQ//平面ACD2（Ⅱ）在ABC中，ACBC2,AQBQ，所以CQAB而DC平面ABC，EB//DC，所以EB平面ABC而EB平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以CQ平面ABE由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以DP//CQ所以DP平面ABE，所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，所以直線AD與平面ABE所成角是DAP2DC222在RtAPD中，ADAC215，DPCQ2sinCAQ1所以sinDAPDPAD155541ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC平面PDB.（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，∴O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，∴OE//PD，1OEPD，又∵PD底面ABCD，2∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，12OEPDABAO，22∴AOE45，即AE與平面PDB所成的角的大小為45.【解法】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)ABPD則Aa,0,0,B,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h，（Ⅰ）∵ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0，∴ACDP0,ACDB0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC平面PDB.（Ⅱ）當(dāng)PD2AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，0,0,2,1,1,2

PaEaaa，222設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，∵1122EAa,a,a,EO0,0,a，2222∴cosAEOEAEOEAEO22，∴AOE45，即AE與平面PDB所成的角的大小為45.—BCF=22多面體ABCDEF的體積為V—ABC＋V5、解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因?yàn)椋校痢推矫妫粒拢茫模瑒tＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.zP（２）設(shè)平面ＡＢＭ與ＰＣ交于點(diǎn)Ｎ，因?yàn)椋粒隆危茫?，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，則ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，M由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，則MN是PN在平面ABM上N的射影，DAy所以PN就是PC與平面ABM所成的角，O且PNMPCDBPDtanPNMtanPCD22DCxC所求角為arctan22（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.因?yàn)樵赗t△PAD中，PAAD4，PDAM，所以M為PD中點(diǎn)，DM22，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于2。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量n(，由n可得：2x02y2z0z1，則y1，即n(0,1,1)設(shè)所求角為，則sinPCnPCn223，所求角的大小為arcsin223.AOn（3）設(shè)所求距為h，由O(1,2,0),AO(1,2,0)，得：2hn6解法一：因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因?yàn)楱S為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°，又因?yàn)椤螦EF=45,所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.因?yàn)锽C平面ABCD,BE平面BCE,BC∩BE=B所以EF平面BCE????????????????6分（II）取BE的中點(diǎn)N,CN,MN,則MN12PC∴PMNC為平行四形,所以PM∥CN.∵CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面內(nèi),∴PM∥平面BCE.????????????????8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,作GH⊥BD于H,則由三垂線定知BD⊥FH.∴∠FHG為二面角F-BD-A的平面角.∵FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°,∠FAG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=22,則FGAFsinFAG121在Rt⊿BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+2=32,GHBGsinGBH3232224,在Rt⊿FGH中,tanFHGFG2GH3,∴二面角FBDA的大小為arctan23????????????????12分解法二:因ABE等腰直角三角形，ABAE，所以AEAB又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCDAB，所以AE⊥平面ABCD，所以AEAD即AD、AB、AE兩兩垂直；如圖建立空間直角標(biāo),(I)設(shè)AB1，AE1，B(DEC∵FAFE,AEF45，∴AFE＝900，11從而F（，－，）2211EF(0,,)，BE(0,,BC2211于是0EFBE0，EFBC022∴EF⊥BE,EF⊥BC∵BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB∴EF平面BCE1111

（II）M(),P，從而PM(,)

2222111111于是PMEF(,)(0,,)00222244

∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直PM不在平面BCE內(nèi)，

故PM∥平面BCE（III）設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n，并設(shè)1＝（x,y,1BDBF(0,32,12)n1n1BDBF00即x32yy012z0取y1，則x1，z3，從而n＝（，，3）1取平面ABDD的一個(gè)法向量為n2cosnn12n1n1n2n2311131111故二面角FBDA的大小為arccos3111171：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SDCD.又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)做DFAE于，連接CF，則CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=6°2在Rt△中，AD=a,DE=a，AE=a1。于是，DF=ADDEAE2a1在Rt△中，由cot60°=DFCD21得21332=3，即33(0,1]，解得=228、解（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱ABC11的性質(zhì)知AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.而DE1E，AA11E1,所以DE⊥平面ACCA又DE平面1DE，11故平面1DE⊥平面ACC11.（Ⅱ）解法1:過點(diǎn)A作AF垂直1E于點(diǎn)F,連接DF.由（Ⅰ）知，平面ADE⊥平面ACC11，1所以AF平面ADE故ADF是直線AD和1平面ADE所成的角。因?yàn)镈EACC11，1所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=23，AE==4-12CD=3.又因?yàn)锳A17，所以1E=22AEAAAE1122(7)3=4,AFAEAA1AE1374,sinADFAFAD218.即直AD和平面ADE所成角的正弦為1218解法2:如圖所示，O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分是A(2,0,0,),A(2,0,7),D(-1,3,0),E(-1,0,0).1易知AD=（-3，3，-7DE=（0，-3，0AD=（-3，3，0）.1rn(x,y,z)是平面ADE的一個(gè)法向量，則1rnDE3y0,

rnAD3x3y7z0.1解得7xy0.3r故可取n(7,0,3).于是rucosADrunADru=nAD37218423由此即知，直AD和平面ADE所成角的正弦為1218所以ME與BN不共面，它們是異面直。??..12分9解法一：因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因?yàn)闉榈妊苯侨切?，AB=AE，所以∠AEB=45°，又因?yàn)椤螦EF=45,所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.因?yàn)锽C平面ABCD,BE平面BCE,BC∩BE=B所以EF平面BCE??????6分（II）取BE的中點(diǎn)N,CN,MN,則MN12PC∴PMNC為平行四形,所以PM∥CN.∵CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面內(nèi),∴PM∥平面BCE.????????????????8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA.從而FG⊥平面ABCD,作GH⊥BD于H,則由三垂線定知BD⊥FH.∴∠FHG為二面角F-BD-A的平面角.∵FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°,∠FAG=45°.AB=1,則AE=1,AF=22,則FGAFsinFAG121在Rt⊿BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+2=32,GHBGsinGBH3232224,在Rt⊿FGH中,tanFHGFG2GH3,∴二面角FBDA的大小為arctan23??????12分解法二:因ABE等腰直角三角形，ABAE，所以AEAB又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCDAB，所以AE⊥平面ABCD，所以AEAD即AD、AB、AE兩兩垂直；如圖建立空間直角標(biāo),(I)AB1，則AE1，B(DEC∵FAFE,AEF45，∴0AFE＝90，11從而（，－，）F02211EF(0,,)，BE(0,,BC2211于是EF0，EFBC0BE022∴EF⊥BE,EF⊥BC∵BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB∴EF平面BCE1111（II）M(),P，從而PM(,)2222111111于是PMEF(,)(0,,)00222244

∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，

故PM∥平面BCE（III）設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n，并設(shè)1＝（x,y,1BDBF(0,32,12)n1n1BDBF00即x32yy012z0取y1，則x1，z3，從而n＝（，，3）1取平面ABDD的一個(gè)法向量為n2cosnn12n1n1n2n2311131111故二面角FBDA的大小為arccos3111110、解法一（Ⅰ）ABDC,DC平面EFCD,AB到面EFCD的距離等于點(diǎn)A到面EFCD的距離，過點(diǎn)A作AGFD于GBADAB∥DCFA2平面ABCD，由三垂線定理可知，CDFD，故CD面FAD，知CDAG，所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離。在Rt△ABC中，22945FDFCCD由FA平面ABCD，得FAAD，從而在Rt△FAD中，22541FAFDADAGFAADFD22555。即直線AB到平面EFCD的距離為255。（Ⅱ）由己知，F(xiàn)A平面ABCDFAADBADAD2平面ABFEDAAE，所以，F(xiàn)AE為二面角FADE的平面角，記為.在△AED中,22743AEEDAD,由ABCD得,FEBA,從而AFE

2在Rt△AEF中,FE22312FEAEAF故tan2FAz所以二面角FADE的平面角的正切值為2.FE解法二:G（Ⅰ）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AF的方向?yàn)閤BAx,z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù)則CDyA(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)設(shè)F(0,0,0)(00)可得FC(2,2,0)由|FC|3.即22222z3,解得F(0,0,1)AB∥DC，0DC面EFCD所以直線AB到面EFCD的距離等于點(diǎn)A到面EFCD的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面EFCD上的射影點(diǎn)為G(x,y,z)則111AG(x,y,z)因AGDF0且AGCD0,而111DF(0,2,1)CD(2,0,0),此即2yz0112x01解得10①,知G點(diǎn)在yoz面上故G點(diǎn)在FD上.GFDF,GF(x,y,z1)故有