數(shù)學(xué)分析習(xí)作讀書報(bào)告3

PAGE3云南大學(xué)數(shù)學(xué)分析習(xí)作課（3）讀書報(bào)告題目：拉貝判別法及其推廣應(yīng)用學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名、學(xué)號(hào)：任課教師：楊漢春時(shí)間：2013-2014秋季第十六周

摘要：對(duì)于通項(xiàng)收斂比較慢的正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，常用于判斷級(jí)數(shù)斂散性的達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法就無(wú)能為力了。拉貝判別法的判別范圍要更廣泛些。對(duì)于級(jí)數(shù)求和也是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，通用的求和方法比較少，這里將舉例說(shuō)明拉貝判別法的推廣研究能給出一種通用的正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)和的估值計(jì)算方法。關(guān)鍵詞：無(wú)窮級(jí)數(shù)；拉貝判別法；求和；一、引言： 達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法是判斷正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的基本的常用方法，這兩個(gè)方法是基于把所要判斷的級(jí)數(shù)某一等比級(jí)數(shù)相比較的想法而得到的。也就是說(shuō)，只有那些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零的速度比某一等比級(jí)數(shù)收斂速度快的級(jí)數(shù)，這兩方法才能鑒定出它的收斂性，如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢，它們就無(wú)能為力了。拉貝判別法的判別范圍要更廣泛些。對(duì)于級(jí)數(shù)求和或和的估值是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，通用的求和方法比較少，拉貝判別法的推廣給出一種用該法判定收斂級(jí)數(shù)滿足要求的和的估值的計(jì)算方法。拉貝判別法及其研究為了便于敘述，首先給出以下引理：引理1（i）級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂.（ii）級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂.（iii）級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，收斂.引理2（i）；（ii）.引理3設(shè)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立，則有（i）若收斂，則也收斂；（ii）若發(fā)散，則也發(fā)散.由上述的引理可以得到以下的定理1定理1設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿足，且，則有（i）若，，則收斂；（ii）若，，則發(fā)散.證由條件知，當(dāng)時(shí)，有，且.若令，則，于是，（1）故（i）若，取，則由（1）知，對(duì)充分大的，有，由引理1（i）及引理3知，收斂.（ii）若，取，則由（1）知，對(duì)充分大的，有，由引理1（i）及引理3知，發(fā)散利用定理1，可證明拉貝判別法及其極限形式的等價(jià)形式定理A（拉貝判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某自然數(shù)及常數(shù)（i）若對(duì)一切，成立不等式。則級(jí)數(shù)收斂；（ii）若對(duì)一切，成立不等式。則級(jí)數(shù)發(fā)散.證（i）令，則由已知條件知，且.令，，則有，，故由定理1的結(jié)論知，級(jí)數(shù)收斂.（ii）將條件中的分為和兩部分來(lái)證明（a）若對(duì)一切，成立等式，則，故形如（，其中為任意正數(shù)）.由引理1（i）及引理3知，發(fā)散.（b）若對(duì)一切，成立等式，則必存在某常數(shù)，使得.令，則，且.令，，則有，，故由定理1的結(jié)論知，此時(shí)也發(fā)散.定理B（拉貝判別法的極限形式的等價(jià)形式）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限存在，則（i）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.證注意到當(dāng)時(shí)，，故，即結(jié)論成立.注1由上述證明可知，定理1是拉貝判別法的推廣.定理2設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，滿足，且，則有（i）若，，則收斂；（ii）若，，則發(fā)散.證當(dāng)時(shí)，有，（2）且.若令，則（3）而，故，于是，再由（2），（3）兩式，有，則.運(yùn)用引用1（ii）及引理3，類似于定理1中的證明即可得結(jié)論.注2文獻(xiàn)[3]中判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)主要定理如下定理C設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且滿足，則有（i）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（ii）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然，定理2是上述的定理的改進(jìn).事實(shí)上，由（2）知，，則,這里令.故（i）若，，則必有；（ii）若，，則只要再假設(shè)，就有.小結(jié)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類很重要的級(jí)數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別方法很多，許多作者對(duì)這些已知判別法作了研究與推廣，如文獻(xiàn)[4]和[5]，其中拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛些，但對(duì)如下形式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，，利用拉貝判別法無(wú)法判別其收斂性，所以上述給出的定理就是對(duì)這種形式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)給出的判別法。應(yīng)用例1判定級(jí)數(shù)的斂散性.解因?yàn)椋赃_(dá)朗貝爾判別法不適用。故，由定理1，有，故此級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.而當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，顯然發(fā)散.例2判定級(jí)數(shù)2的斂散性.

解由于，由定理1，有，故此級(jí)數(shù)收斂.注3易見此方法較［3］中例１的方法簡(jiǎn)便例3討論級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性.解由拉貝判別法證得：當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，此時(shí)拉貝判別法失效，但有定理2，有，其中，故該級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散.注4此例是[1]中的例題，在[1]只對(duì)情形進(jìn)行了判別，而時(shí)沒(méi)有討論.參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].2版.北京：高等教育出版社，1991:17-19.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].