【研究生應用數(shù)學基礎】4.線性賦范空間

第一章集合上的數(shù)學結(jié)構(gòu)（抽象空間）4.線性賦范空間一、線性賦范空間概念與性質(zhì)二、有限維線性賦范空間有限維線性賦范空間的基本性質(zhì):有限維線性賦范空間都是完備的1整理ppt一、線性賦范空間的概念和性質(zhì)定義4.1設V是數(shù)域F上的線性空間.如果

xV,對應一個非負實數(shù)‖‖,即VR是一泛函,滿足:(1)xV,‖x‖≥0;‖x‖=0x=.(2)kF,xV,‖kx‖=|k|‖x‖.(3)x,yV,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,則稱‖x‖(xV)為x的范數(shù),V成為F上的線性賦范空間.2整理ppt設V是線性賦范空間。定義映射：

：VVR，(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)容易驗證：是V上的度量，從而{V，}是度量空間，因而，V是（度量）拓撲空間。于是，V上有開集、閉集、極限點、導集、閉包、收斂、連續(xù)、完備、緊致、列緊等概念。完備的線性賦范空間稱為Banach空間。線性賦范空間V中序列{xn}稱為范數(shù)收斂于xV,如果3整理ppt由于線性賦范空間V是線性空間，有加法和數(shù)乘運算，故可討論序列{xn}的級數(shù)及其收斂的概念。稱級數(shù)收斂于sV,如果這里定理4.1線性賦范空間V是完備的

V中每個絕對收斂的級數(shù)都收斂.4整理ppt證明:)設V完備.級數(shù)實際上,‖Sn–Sm‖=‖xm+1++xn‖≤‖xm+1‖+…+‖xn‖(n>m),于是{Sn}是V中Cauchy列,所以)任取V中Cauchy列{xn},則可找到自然數(shù)n1<n2<,使因此5整理ppt從而,{xn}收斂.例4.1x=(x1,x2,,xn)T

Rn,定義范數(shù)

則Rn是線性賦范空間,而且是Banach空間.xC[a,b],定義范數(shù)則C[a,b]是Banach空間.6整理pptxLp[a,b],定義范數(shù)則Lp[a,b]是Banach空間.x=(x1,x2,,xn)Tlp(1≤p<),定義范數(shù)則lp是Banach空間.線性賦范空間有一些簡單性質(zhì).例如,7整理ppt線性賦范空間V中收斂序列{xn}是有界的,而且極限是唯一的;線性賦范空間V中范數(shù)是連續(xù)的,即線性賦范空間V中加法是連續(xù)的,即若xnx,yny(n),則xn+ynx+y(n).8整理ppt線性賦范空間V中數(shù)乘是連續(xù)的,即若n,xnx(n,n,F,xn,xV),則

nxnx(n);定義4.2設‖x‖1和‖x‖2(x∈V)是x的兩個范數(shù),如果存在兩個正數(shù)A和B,使A‖x‖1≤‖x‖2≤B‖x‖1則稱‖x‖1和‖x‖2是V上兩個等價范數(shù).9整理ppt二、有限維線性賦范空間定理4.2設X是n維線性賦范間,{e1,e2,,en}是X的一組基,則

xX,則存在兩個正數(shù)A和B,使10整理ppt證明:由于其中11整理ppt另一方面,即由于|f()f()|=|‖y‖―‖x‖|≤‖y―x‖所以,f()是Rn上連續(xù)泛函,從而在Rn中單位球面S上連續(xù).由于S是有界閉集,故f()在S上達到最小值,設為f(0)(0S).于是,S,有f()≥f(0).12整理ppt下面證明:f(

0)>0.顯然,f(0)≥0.只要證f(0)0.由于0S,故0不是零向量.從而,于是,f(

0)=‖x0‖0。xX,且x,則x的坐標是Rn中非零向量。所以，是S上的向量。13整理ppt故f(′)≥f(0)，即記則有由此推出，有限維線性空間的任意兩種范數(shù)都是等價的。兩個線性賦范空間X和Y稱為線性同胚的，如果存在線性雙射T：X→Y，使T和T-1都是連續(xù)的。14整理ppt定理4.3任何一個實數(shù)域R上的n維線性賦范空間

X都與n維歐氏空間Rn線性同胚，即存在線性雙射T：X

Rn,且T與T–1連續(xù)。

證明：設{e1,e2,,en}是X的一組基。xX有其中=（1，2，，

n)T為x的坐標。15整理ppt定義映射T：XRn:Tx=（1，2，，

n)TT顯然是線性的。而且T–1存在。實際上，任給=（1，2，，

n)TRn,于是16整理ppt由于向量坐標的唯一性，所以對應的y是唯一的，而且=Ty，從而，T–1存在。最后證明T和T–1的連續(xù)性。由上面的定理，存在正數(shù)A和B，使從而17整理ppt由此推出T的連續(xù)性。又由于由此推出T–1的連續(xù)性。定理4.4任意的有限維線性賦范空間必為Banach空間;無限維線性賦范空間的有限維子空間必為閉子空間.證明:設X是n維線性賦范空間,{e1,e2,,en}是18整理pptX的一組基.又設{xn}為X的任一Cauchy列.由上面的定理,存在線性同胚T:XRn,使Txn=PnRn,T–1Pn=xn(n=1,2,)容易證明:{Pn}是Rn中Cauchy列.實際上,由T連續(xù),>0,存在>0,當‖x–y‖<時有‖Tx–Ty‖<.注意到{xn}是Cauchy列,存在自然數(shù)N,當m,n>N時,有‖xn―xm‖<19整理ppt于是‖Txn―Txm‖<,即‖Pn―Pm‖<.因此,{Pn}是Rn中Cauchy列,