八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)講解及鞏固練習(xí)：直角三角形（提高）鞏固練習(xí)

PAGE【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC中點(diǎn)，∠EPF=90°，給出四個(gè)結(jié)論：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四邊形AEPF=S△ABC，其中成立的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2.如圖，某同學(xué)在課桌上無(wú)意中將一塊三角板疊放在直尺上，則∠1+∠2=（）A．60° B．75° C．90° D．105°3.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．74.（2016春?保定期末）如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP=10，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．55．如圖所示：CE，BF是△ABC的兩條高，M是BC的中點(diǎn)，連ME，MF，∠BAC=50°，則∠EMF的大小是（）A．50° B．60° C．70° D．80°6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，若∠B與∠C互余，則MN與BC-AD的關(guān)系是（）A．2MN＜BC-AD B．2MN＞BC-AD C．2MN=BC-AD D．MN=2（BC-AD）二、填空題7.將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_______度．8.如圖所示，BD⊥AC于點(diǎn)D，DE∥AB，EF⊥AC于點(diǎn)F，若BD平分∠ABC，則與∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的個(gè)數(shù)是______________.9.（2016春?藍(lán)田縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線，若BD=20，則AC的長(zhǎng)是．10.Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則△BCD與△ABC的周長(zhǎng)之比為_(kāi)______________________．11.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E為AB之中點(diǎn)，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，則∠DFE等于__________°．12.如圖所示的網(wǎng)格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答題13.證明：直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．14.已知∠MAN，AC平分∠MAN．

（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC；

（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

15.已知：如圖，在△ABC中，AD、BE是高，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥DE，點(diǎn)G是垂足．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】A；【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，P為BC中點(diǎn)，∴①正確；

∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°

∴∠BPE=∠APF，又AP為公共邊，

∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正確；

②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正確，

∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正確

所以①②③④都正確，故選A．2.【答案】C;【解析】如圖所示：

∵∠1與∠4是對(duì)頂角，∠2與∠3是對(duì)頂角，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∴此三角形是直角三角形，

∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．

故選C．3.【答案】D;【解析】解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長(zhǎng)不可小于3；

∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

∴AB=6，

∴AP的長(zhǎng)不能大于6．

故選D．4.【答案】C；【解析】作PH⊥MN于H，如圖，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=×10=5，∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．5.【答案】D；【解析】解：∵CE是△ABC的兩條高，∴∠BEC=90°，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴EM=BM=BC，∴∠MEB=∠EBM，∴∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM，同理∠FMC=180°﹣2∠FCM，∵∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，∴∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°，∴∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°．故選D．6.【答案】C；【解析】解：延長(zhǎng)BA、CD，兩延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，

連接PM、PN，

∵∠B+∠C=90°

∴∠P=90°

∵AD∥BC

∴∠PAD=∠B，

而M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)

∴AM=MP，BN=PN

∴∠B=∠BPN，∠PAD=∠APM

∴∠APM=∠BPN

∴P、M、N三點(diǎn)共線

∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∠P=90°

∴PM=AD

同理：PN=BC

∵PN-PM=（BC-AD）

∴MN=（BC-AD）

∴2MN=BC-AD．

故選C．二.填空題7.【答案】90；【解析】解：如圖，連接兩交點(diǎn)，

根據(jù)矩形兩邊平行，得

∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

又矩形的角等于90°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=180°-90°=90°；8.【答案】4；【解析】解：如圖，∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴與∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4個(gè)．故答案為：4；9.【答案】30【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠A，∴AD=BD=20，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴DC=BD=10cm，∴AC=AD+DC=30，故答案為：30．10.【答案】；【解析】解：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BC=AB，BD=BC，CD=AC，∴BC+BD+CD=（AB+BC+AC），則，∴△BCD與△ABC的周長(zhǎng)之比為:，故答案為:.11.【答案】60；【解析】解：由直角三角形性質(zhì)知，

∵E為AB之中點(diǎn)，

∴CE=AE=BE，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，

∴∠ACF=70°，

又∵AD=DB，

∴∠B=∠BAD=20°，

∴∠FAC=50°，

∴在△ACF中，

∠AFC=180°-70°-50°=60°，

∴∠DFE=∠AFC=60°．

故答案為：60.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答題13.【解析】已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=30°，求證：BC=AB．證明：如圖，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=BD，∴BC=AB．14.【解析】（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD=∠CAB=60°．又∠ABC=∠ADC=90°，∴AD=AC，AB=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：結(jié)論仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．則∠CED=∠CFB=90°，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，在Rt△ACE與Rt△ACF中，則有AE=AC，AF=AC，則