高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-2

PAGE1-五、數(shù)列一、數(shù)列定義：數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，那么它就必定有開頭的數(shù)，有相繼的第二個(gè)數(shù)，有第三個(gè)數(shù)，……，于是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)于數(shù)列中的一個(gè)數(shù)。因此，數(shù)列就是定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)，當(dāng)自變量從1開始由小到大依次取正整數(shù)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值為；通常用代替，于是數(shù)列的一般形式常記為或簡(jiǎn)記為，其中表示數(shù)列的通項(xiàng)。注意：（1）與是不同的概念，表示數(shù)列，而表示的是數(shù)列的第項(xiàng)；（2）數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值。（3）和之間的關(guān)系：如：已知的滿足，求。二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列公差（比），或；，或（）；通項(xiàng)公式=求和公式由倒序相加法推得_______=_________由錯(cuò)項(xiàng)相減法推得①，=②，用函數(shù)的思想理解通項(xiàng)公式若為等差數(shù)列，則，；等差數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開的一群孤立的點(diǎn)若為等比數(shù)列，則，；用函數(shù)的思想理解求和公式等差數(shù)列，，則；；；若，說(shuō)明：；在二次函數(shù)的圖象上，是一群孤立的點(diǎn)。若為等比數(shù)列，，則；；；（其中的系數(shù)與為互為相反數(shù)，這是公式一很重要特點(diǎn)，注意前提條件。）若，說(shuō)明：；等比數(shù)列，，則；增減性為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；為常數(shù)列。為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；為常數(shù)列；為擺動(dòng)數(shù)列；等差（比）中項(xiàng)任意兩個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即為；兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)為；（）等差（比）數(shù)列的性質(zhì)若，則____________；特別當(dāng)，則；若，則____________；特別當(dāng)，則；在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列。如：；問(wèn)公差為在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列，剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列也不一定是等比數(shù)列。如：；問(wèn)公比為是數(shù)列；公差為；成等差數(shù)列。是數(shù)列；公差為；是數(shù)列；公比為；是數(shù)列；公比為；是數(shù)列；公比為；若數(shù)列與均為等差數(shù)列，則仍為等差數(shù)列，公差為；若數(shù)列與均為等差數(shù)列，則仍為等比數(shù)列，公比為；仍為等比數(shù)列，公比為；如：（1）在等差數(shù)列中，，則；（2）在等比數(shù)列中，，則；另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（1）等差數(shù)列中，若，則；（2）等差數(shù)列中，若，則；（3）等差數(shù)列中，若，則；；（4）若，則時(shí)，最大。（5）若與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為與，則；（6）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有（與為中間的兩項(xiàng)）；；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有（為中間項(xiàng)）；；；等比數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（1）若是等比數(shù)列，則，也是等比數(shù)列，公比分別；；（2）若是等比數(shù)列，則，也是等比數(shù)列，公比分別；；三、判定方法：（1）等差數(shù)列的判定方法：①定義法：或（為常數(shù)）是等差數(shù)列②中項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列③通項(xiàng)公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列④前項(xiàng)和公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列注意：①②是用來(lái)證明是等差數(shù)列的理論依據(jù)。（2）等比數(shù)列的判定方法：①定義法：或（是不為零的常數(shù)）是等比數(shù)列②中項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列③通項(xiàng)公式法：（是不為零常數(shù)）是等差數(shù)列④前項(xiàng)和公式法：（是常數(shù)）是等比數(shù)列注意：①②是用來(lái)證明是等比數(shù)列的理論依據(jù)。四、數(shù)列的通項(xiàng)求法：（1）觀察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……（2）化歸法：通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。①遞推式為及（為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。②遞推式為：迭加法如：已知中，，求③遞推式為：迭乘法如：已知中，，求④遞推式為（為常數(shù)）：構(gòu)造法：Ⅰ、由相減得，則為等比數(shù)列。Ⅱ、設(shè)，得到，，則為等比數(shù)列。如：已知，求⑤遞推式為（為常數(shù)）：兩邊同時(shí)除去得，令，轉(zhuǎn)化為，再用④法解決。如：已知中，，，求⑥遞推式為（為常數(shù)）：將變形為，可得出解出，于是是公比為的等比數(shù)列。如：已知中，，，求（3）公式法：運(yùn)用①已知，求；②已知中，，求；③已知中，，求五、數(shù)列的求和法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列前項(xiàng)和公式：②；③；④（2）倒序相加（乘）法：如：①求和：；②已知為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若在之間插入個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以為首項(xiàng)，為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這個(gè)正數(shù)的積；（3）錯(cuò)位相減法：如：求和：（4）裂項(xiàng)相消法：；；如：①；②；③若，則；（5）并項(xiàng)法：如：求（6）拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列中，，求，六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略：（1）分類討論問(wèn)題：①在等比數(shù)列中，用前項(xiàng)和公式時(shí)，要對(duì)公比進(jìn)行討論