2022-2023學(xué)年山西省長治市高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山西省長治市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式化簡，再根據(jù)交集的概念運算可得答案.【詳解】由，得或，所以或，所以.故選：B2．（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得結(jié)果.【詳解】.故選：A3．已知向量.若，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，.因為，所以，所以，所以，解得.故選：C4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，，兩式相減即可求解.【詳解】①，②，①-②可得，即.故選：D5．如圖，在四棱臺中，正方形和的中心分別為和平面，則直線與直線所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出直線與直線所成角，解直角三角形求得其正切值.【詳解】連接，作，垂足為即直線與直線所成的角..

故選：B6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得在上恒成立，由此參變分離，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求得答案.【詳解】因為，所以，由在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，即在上恒成立，，即在上恒成立，當(dāng)時，二次函數(shù)取到最大值，故，即a的取值范圍為，故選：C7．已知點，動點到直線的距離為，則的周長為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】設(shè)點P的坐標，代入距離公式化簡得點P的軌跡方程，利用橢圓定義即可求解.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，整理可得，即點的軌跡為橢圓且方程為，由橢圓定義知的周長為.故選：D8．已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出切點坐標，求出切線方程為，從而可得，構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值即可得答案.【詳解】設(shè)切點為，，所以切線的斜率，則切線方程為，即，故，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故選：B二、多選題9．設(shè)數(shù)列、都是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】取，，可判斷A選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷BD選項；取可判斷C選項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列、的公比分別為、，其中，，對任意的，，，對于A選項，不妨取，，則數(shù)列、都是等比數(shù)列，但對任意的，，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A不滿足條件；對于B選項，，即數(shù)列為等邊數(shù)列，B滿足條件；對于C選項，當(dāng)時，，此時，不是等比數(shù)列，C不滿足條件；對于D選項，，故為等比數(shù)列，D滿足條件.故選：BD.10．某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對2022屆初三年級所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)情況進行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，結(jié)果如圖1所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了,屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)分布條形圖如圖2所示，則（

）

A．該校2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占B．該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)同個數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2.2倍還多C．該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)均在內(nèi)D．相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加【答案】ABD【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖對四個選項逐個計算可得答案.【詳解】2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占比為，A正確.由于2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆上升了，假設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為，則2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，因為，故B正確；2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，故C錯誤；2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占，屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個數(shù)不小于50的人數(shù)占，因為，故D正確.故選：ABD.11．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的漸近線方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】當(dāng)點在第一象限時，由余弦定理化簡得，求得，當(dāng)點在第四象限時，由余弦定理化簡得，求得，即可求解.【詳解】因為，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率小于零，如圖（1）所示，當(dāng)點在第一象限時，，由余弦定理可得，化簡得，解得（舍去），此時雙曲線的漸近線方程為，如圖（2）所示，當(dāng)點在第四象限時，，由余弦定理可得，化簡得，解得（舍去），此時雙曲線的漸近線方程為.故選：AB.

12．如圖1，《盧卡?帕喬利肖像》是意大利畫師的作品.圖1中左上方懸著的是一個水晶多面體，其表面由18個全等的正方形和8個全等的正三角形構(gòu)成，該水晶多面體的所有頂點都在同一個正方體的表面上，如圖2.若，則（

）

A．B．該水晶多面體外接球的表面積為C．直線與平面所成角的正弦值為D．點到平面的距離為【答案】BCD【分析】根據(jù)該水晶多面體的對稱性、正方體的性質(zhì)，以及立體幾何中的向量方法判斷各選項.【詳解】該水晶多面體的俯視圖如圖1所示，對于A，，故A錯誤；對于B，建立如圖2所示的空間直角坐標系，則.記該水晶多面體外接球的半徑為，球心，則，故該水晶多面體外接球的表面積為，故B正確.對于C，因為，，平面，所以平面平面.根據(jù)正方體的對稱性易得平面的一個法向量為，即為平面的一個法向量.，故直線與平面所成角的正弦值為，故C正確.對于D，點到平面的距離為，故D正確.

故選：BCD.三、填空題13．函數(shù)，則.【答案】2【分析】由解析式先求，再求即得.【詳解】因為，所以.故答案為：214．已知直線與圓存在公共點，則的取值范圍為.【答案】【分析】由圓心到直線的距離為，然后求解的范圍.【詳解】直線與圓有公共點等價于圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線的兩個交點，若，則.

【答案】2【分析】設(shè)，根據(jù)圖形列式可求出結(jié)果.【詳解】由圖可知，，設(shè)，則，由圖可知，，，因為，所以，，所以，解得.故答案為：.16．五一長假期間，某單位安排這3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一長假期間值班2天，則連續(xù)值班的概率是.【答案】/0.4【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】記“在五一長假期間值班2天”，“連續(xù)值班”，則種，種，所以.所以已知在五一長假期間值班2天，則連續(xù)值班的概率為.故答案為：.四、解答題17．在中，角的對邊分別為，已知,，且.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角可求出；（2）根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，所以，即.因為，所以.（2）由余弦定理可得，因為,，所以，所以.故的面積為.18．在數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中，滿足（為正整數(shù)）的項有項，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列，從而得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）根據(jù)題意得，再利用分組求和法即可得.【詳解】（1）因為，所以，則是等差數(shù)列.設(shè)的公差為，由解得，故.（2）滿足（為正整數(shù)）的項有項，所以..19．如圖，將三棱錐的側(cè)棱放到平面內(nèi)，，，，，平面平面.

(1)證明：平面⊥平面；(2)若，平面與平面夾角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）利用面面垂直得到線面垂直：平面，從而得到，再利用線線垂直得到線面垂直：平面，再利用線面垂直得出面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為平面平面，平面平面=，，又平面，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）記點在平面內(nèi)的投影為，連接，取的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為，平面與平面夾角的正切值為，所以DE=，BE=，則，），，從而，，設(shè)平面的法向量為，則由,得到令，得，所以，易知，平面的一個法向量為，，故平面與平面夾角的余弦值為.20．猜歌名游戲根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，節(jié)目組準備了兩組歌曲的主旋律制成的鈴聲，隨機從兩組歌曲中各播放兩首歌曲的主旋律制成的鈴聲，該嘉賓根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.已知該嘉賓猜對組中每首歌曲的歌名的概率均是，猜對組中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜對每首歌曲的歌名相互獨立.(1)求該嘉賓至少猜對2首歌曲的歌名的概率；(2)若嘉賓猜對一首組歌曲的歌名得1分，猜對一首組歌曲的歌名得2分，猜錯均得0分，記該嘉賓累計得分為，求的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）先計算出該嘉賓一首歌曲的歌名都沒有猜對的概率和該嘉賓只猜對一首歌曲的歌名的概率，進而利用對立事件求概率公式求出答案；（2）求出的所有可能取值及對應(yīng)的概率，寫出分布列，計算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）該嘉賓一首歌曲的歌名都沒有猜對的概率；該嘉賓只猜對一首歌曲的歌名的概率.故該嘉賓至少猜對2首歌曲的歌名的概率.（2）由題意可得的所有可能取值分別是0，1，2，3，4，5，6.沒有猜對組中每首歌曲的歌名的概率為，沒有猜對組中每首歌曲的歌名的概率是，，，，，，.的分布列為0123456故.21．已知拋物線C：（）上一點（）與焦點的距離為2.(1)求p和m；(2)若在拋物線C上存在點A，B，使得，設(shè)的中點為D，且D到拋物線C的準線的距離為，求點D的坐標.【答案】(1)，(2)或.【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求出，然后將代入拋物線的方程即可求出m；（2）根據(jù)D到拋物線C的準線的距離求出D的橫坐標，將轉(zhuǎn)為，從而得到，兩者結(jié)合即可求出，即可求出點D的坐標.【詳解】（1）設(shè)拋物線C的焦點為F，根據(jù)題意可知，解得.故拋物線C：.因為M在拋物線C上，所以.又因為，所以.（2）設(shè)，，，直線的斜率為，直線的斜率為.易知，一定存在，則，.由，得，即，化簡得，即因為D到拋物線C的準線的距離，所以，則，即，.，即，解得或，則或.故點D的坐標為或.22．已知函數(shù).(1)若，求的圖象在處的切線方程;(2)若有兩個極值點，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，求出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)給定條件可得有兩個不相等的正實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的正實數(shù)根，即.要證，即證<，令，即證即.令，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）因為，所以，，