第4章 二維圖形變換

課題：二維幾何變換目的要求：掌握平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、錯(cuò)切、反射等二 維坐標(biāo)變換及其矩陣表示以及仿射變換、齊次 坐標(biāo)等的概念。教學(xué)重點(diǎn)：二維幾何變換教學(xué)難點(diǎn)：齊次坐標(biāo)矩陣表示

教學(xué)課時(shí)：2課時(shí)教學(xué)方法：講授法、演示法4.1窗口視圖變換1.窗口和視圖區(qū)用戶(hù)坐標(biāo)系（worldcoordinatesystem，簡(jiǎn)稱(chēng)WC）：用戶(hù)用來(lái)定義設(shè)計(jì)對(duì)象的坐標(biāo)系，是實(shí)數(shù)型的二維空間。設(shè)備坐標(biāo)系（devicecoordinatesystem，簡(jiǎn)稱(chēng)DC）：計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)的工作空間，是自然數(shù)型的二維空間。窗口區(qū)（window）：在用戶(hù)坐標(biāo)系中任意的一個(gè)子區(qū)域。一般為矩形區(qū)域，可以用其左下角點(diǎn)和右上角點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。視圖區(qū)（viewport）：設(shè)備坐標(biāo)系的一個(gè)子空間。對(duì)于顯示器而言，顯示屏幕是設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，任何小于或等于屏幕域的區(qū)域都可定義為視圖區(qū)。一般也為矩形區(qū)域。二維圖形的顯示流程圖2.窗口到視圖區(qū)的變換窗口區(qū)與視圖區(qū)間的映射關(guān)系：窗口區(qū)中的任一點(diǎn)(xw,yw)

與視圖區(qū)中的任一點(diǎn)(xv,yv)存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：（4-1）（4-2）XwOwWxlWxrYwWybWyt窗口(xw,yw)YuXuOuVxlVxrVybVyt視圖區(qū)(xv,yv)窗口與視圖區(qū)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

（4-3）（4-4）由式（4-1）和式（4-2）可分別解得：令有（5-5）

（5-6）

4.2二維幾何變換在計(jì)算機(jī)繪圖中，經(jīng)常要進(jìn)行從一個(gè)幾何圖形到另一個(gè)幾何圖形的變換。例如，將圖形向某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；將圖形放大或縮小等等。我們把這種變換過(guò)程稱(chēng)為幾何變換。變換的目的：為使要顯示的對(duì)象在合適的位置，以合適的大小和方向顯示出來(lái)。在幾何造型中，可用圖形變換改變物體間的相對(duì)位置，可用透視變換和投影變換產(chǎn)生同一三維景物在各種不同視點(diǎn)位置和視線(xiàn)方向下的不同影像。所有的變換均基于點(diǎn)的變換。例如，一條線(xiàn)段的變換只要考慮它的兩個(gè)端點(diǎn)的變換就行了。一個(gè)變換是一個(gè)單一的數(shù)學(xué)實(shí)體，能夠用一個(gè)矩陣描述和標(biāo)識(shí)。采用向量、矩陣和齊次坐標(biāo)的形式可以十分方便的描述圖形的變換。1

齊次坐標(biāo)為了能用矩陣的形式統(tǒng)一描述圖形變換，在圖形學(xué)中常采用齊次坐標(biāo)的形式來(lái)描述空間的點(diǎn)。在n維空間中的一個(gè)問(wèn)題，在n+1維空間中相應(yīng)地也有一個(gè)問(wèn)題，而在n+1維空間中卻常常比n維空間中較易獲得結(jié)果。二維點(diǎn)(x,y)的齊次表示是(hx,hy,h)，這里h是任何一個(gè)非零因子，有時(shí)叫做比例因子。齊次點(diǎn)(a,b,c)被投射回復(fù)到二維時(shí)簡(jiǎn)單地就是(a/c,b/c)，由比例因子c去除。4.2.0

幾何變換的基本描述在計(jì)算機(jī)中處理一個(gè)三維空間的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”是困難的，但是可以容易地處理一個(gè)四維齊次空間的解析點(diǎn)，例如可以用向量：（1000） 表示x軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0100） 表示y軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0010） 表示z軸方向無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0001） 表示坐標(biāo)原點(diǎn)這4個(gè)向量將構(gòu)成四維齊次空間的單位矩陣1

齊次坐標(biāo)2

齊次坐標(biāo)變換矩陣透視變換比例變換旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等平移變換齊次變換矩陣提供一個(gè)三維空間中包括平移、旋轉(zhuǎn)、透視、投影、反射、錯(cuò)切和比例等變換在內(nèi)的統(tǒng)一表達(dá)式，使得物體的變換可在統(tǒng)一的矩陣形式下進(jìn)行。3矩陣級(jí)聯(lián)一個(gè)變換是由一個(gè)單一的數(shù)學(xué)實(shí)體——矩陣來(lái)描述和標(biāo)識(shí)。兩個(gè)變換的結(jié)合用矩陣的級(jí)聯(lián)（相乘）而產(chǎn)生一個(gè)具有兩者功效的單一變換。例如變換T是平移，而變換R是旋轉(zhuǎn)，則變換的結(jié)合允許決定一個(gè)變換A=TR，其功效是先平移然后旋轉(zhuǎn)變換。

4.2.1基本二維幾何變換二維圖形幾何變換有五種基本變換形式：平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切。有兩種不同的變換方法：一種是圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)，即變換前與變換后的圖形是針對(duì)不同坐標(biāo)系而言的，稱(chēng)之為坐標(biāo)模式變換；另一種是坐標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標(biāo)值是針對(duì)同一坐標(biāo)系而言的，稱(chēng)之為圖形模式變換。實(shí)際應(yīng)用中，后一種圖形變換更有實(shí)際意義，下面討論的圖形變換是屬于后一種變換。1二維平移變換平移變換是指將圖形從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位。已知一點(diǎn)的原始坐標(biāo)是P(x,y），加上一個(gè)沿X，Y方向的平移量tx和ty，平移此點(diǎn)到新坐標(biāo)P(x’,y’）,則新坐標(biāo)的表達(dá)式為：如果對(duì)一圖形的每個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行上述變換，即可得到該圖形的平移變換。實(shí)際上，線(xiàn)段是通過(guò)對(duì)其兩端點(diǎn)進(jìn)行平移變換，多邊形的平移是平移每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)位置，曲線(xiàn)可以通過(guò)平移定義曲線(xiàn)的坐標(biāo)點(diǎn)位置，用平移過(guò)的坐標(biāo)點(diǎn)重構(gòu)曲線(xiàn)路徑來(lái)實(shí)現(xiàn)。平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。下圖是一平移變換的例子?？梢杂镁仃囆问絹?lái)表示二維平移變換方程。圖形變換通常使用齊次坐標(biāo)矩陣來(lái)表示。平移變換方程的齊次坐標(biāo)矩陣表示式為：其中稱(chēng)為變換矩陣。2二維旋轉(zhuǎn)變換若圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ,則新坐標(biāo)點(diǎn)P(x’,y’）的表達(dá)式為：公式的推導(dǎo)可參考右圖變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣

上面是點(diǎn)P(x,y)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)變換，還可以任意點(diǎn)P0(x0,y0）為中心做旋轉(zhuǎn)變換。其變換公式為：其中變換矩陣:旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位，而圖形的大小和形狀不變。旋轉(zhuǎn)變換的幾何表示見(jiàn)下圖。3二維縮放變換

一個(gè)圖形中的坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y），若在X軸方向相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)變化一個(gè)比例系數(shù)sx，在Y軸方向相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)變化一個(gè)比例系數(shù)sy，則新坐標(biāo)點(diǎn)P(x’,y’）的表達(dá)式為：這一變換稱(chēng)為相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縮放變換,sx和sy分別表示點(diǎn)P(x,y）沿X軸方向和Y軸方向相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的縮放系數(shù)?？s放變換改變圖形的大小。變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣：縮放系數(shù)sx和sy可賦予任何正數(shù)值。當(dāng)值小于1時(shí)縮小圖形，值大于1則放大圖形。當(dāng)sx和sy被賦予相同值時(shí)，就產(chǎn)生保持圖形相對(duì)比例一致的變換,sx和sy值不等時(shí)產(chǎn)生X軸方向和Y軸方向大小不等的比例變換。sx和sy都指定為1時(shí)，圖形大小不改變。實(shí)際上，相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)圖形的比例變換，相當(dāng)于每一點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的變換，因此，它不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置。下圖是一圖形比例變換的例子：頂點(diǎn)在原點(diǎn)的放大變換頂點(diǎn)不在原點(diǎn)的放大變換可以通過(guò)選擇一個(gè)在變換后不改變位置的固定點(diǎn)P0(x0,y0),來(lái)控制圖形變換的位置。例對(duì)于多邊形圖形，固定點(diǎn)的坐標(biāo)(x0,y0)可以選擇圖形的某個(gè)頂點(diǎn)、圖形幾何中心點(diǎn)或任何其它位置，這樣變換后固定點(diǎn)坐標(biāo)不改變，多邊形每個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)于固定點(diǎn)縮放。對(duì)于坐標(biāo)為P(x,y)的頂點(diǎn)，相對(duì)于固定點(diǎn)P0(x0,y0)變換后的坐標(biāo)P(x,y)可計(jì)算為：寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：4.對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換是產(chǎn)生圖形鏡象的一種變換，也稱(chēng)鏡象或反射變換。將圖形繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)就可以生成鏡象圖形。（1）對(duì)稱(chēng)于X軸當(dāng)變換對(duì)稱(chēng)于X軸時(shí)，則坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)對(duì)稱(chēng)變換后，新坐標(biāo)點(diǎn)P’(x’,y’）的表達(dá)式為：寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣：對(duì)稱(chēng)X軸變換的幾何表示見(jiàn)下圖（2）對(duì)稱(chēng)于Y軸當(dāng)變換對(duì)稱(chēng)于Y軸時(shí)，則坐標(biāo)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)對(duì)稱(chēng)變換后，新坐標(biāo)點(diǎn)P’(x’,y’）的表達(dá)式為：變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣：對(duì)稱(chēng)Y軸變換的幾何表示見(jiàn)下圖（3）對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)當(dāng)圖形對(duì)X軸和Y軸都進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，即為對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。變換前后點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系為：寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣：對(duì)稱(chēng)原點(diǎn)變換的幾何表示見(jiàn)下圖5.錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換是圖形位于某坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不動(dòng)，其它點(diǎn)沿平行于此軸方向移動(dòng)變形的變換。常用的錯(cuò)切變換有兩種：改變x坐標(biāo)值和改變y坐標(biāo)值。（1）沿X軸方向關(guān)于Y的錯(cuò)切變換前和變換后y坐標(biāo)不變，而x坐標(biāo)根據(jù)y坐標(biāo)值呈線(xiàn)性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：式中c為錯(cuò)切系數(shù)。若c＞0，則沿+X方向錯(cuò)切，若c＜0，則沿-X方向錯(cuò)切。矩形ABCD經(jīng)錯(cuò)切變換后變?yōu)锳’B’C’D’的結(jié)果。變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣:（2）沿Y軸方向關(guān)于X的錯(cuò)切變換前和變換后x坐標(biāo)不變，而y坐標(biāo)根據(jù)x坐標(biāo)值呈線(xiàn)性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

式中d為錯(cuò)切系數(shù)。若d＞0，則沿+Y方向錯(cuò)切，若d＜0，則沿-Y方向錯(cuò)切。右圖說(shuō)明了矩形ABCD經(jīng)錯(cuò)切變換后結(jié)果為A’B’C’D’。變換方程寫(xiě)成齊次坐標(biāo)矩陣形式為：其中變換矩陣:除了沿X軸方向和沿Y軸方向的錯(cuò)切變換外，還可以使用沿平行于X軸方向的軸線(xiàn)或沿平行于Y軸方向的軸線(xiàn)以及任一軸線(xiàn)的錯(cuò)切變換。對(duì)于這些變換，可以通過(guò)先平移、旋轉(zhuǎn)軸線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為沿X軸方向或沿Y軸方向的錯(cuò)切變換。

錯(cuò)切變換不僅改變圖形的形狀，而且改變圖形的方位，還可能使圖形發(fā)生畸變。上面討論的五種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切）給出的都是點(diǎn)變換的公式，圖形的變換實(shí)際上都可以通過(guò)點(diǎn)變換完成。例如直線(xiàn)段的變換可通過(guò)變換兩個(gè)端點(diǎn)，并重畫(huà)新端點(diǎn)間的線(xiàn)而得到。多邊形的變換可通過(guò)變換每個(gè)頂點(diǎn)，并用新的頂點(diǎn)來(lái)生成多邊形而實(shí)現(xiàn)。曲線(xiàn)的變換可通過(guò)變換控制點(diǎn)并重畫(huà)線(xiàn)來(lái)完成。符合形式：的坐標(biāo)變換稱(chēng)為二維仿射變換。變換的坐標(biāo)x’和y’都是原始坐標(biāo)x和y的線(xiàn)性函數(shù)。參數(shù)aij是由變換類(lèi)型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線(xiàn)轉(zhuǎn)換成平行線(xiàn)和有限點(diǎn)映射到有限點(diǎn)的一般特性。

4.2.2復(fù)合變換（級(jí)聯(lián)）所謂二維圖形的復(fù)合變換，就是在XY平面內(nèi)，對(duì)一個(gè)已定義的圖形，按一定順序進(jìn)行多次變換而得到新的圖形。一般把上面討論的幾種變換稱(chēng)為基本的圖形變換，絕大部分復(fù)雜的圖形變換都可以通過(guò)這些基本變換的適當(dāng)組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。利用前面所提供的矩陣表示，就可通過(guò)計(jì)算單個(gè)變換的矩陣乘積，將任意順序變換的矩陣建立為復(fù)合變換矩陣。1.相對(duì)于任意點(diǎn)（x0,y0）的比例變換對(duì)任意點(diǎn)比例變換的步驟：（1）平移變換（2）相對(duì)于原點(diǎn)的比例變換（3）平移變換

當(dāng)（x0,y0）為圖形重心的坐標(biāo)時(shí)，這種變換實(shí)現(xiàn)的是相對(duì)于重心的比例變換。