2018屆高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生短期集訓(xùn)專題知識突破考點(diǎn)15任意角三角函數(shù)與弧度制

2021屆高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生短期集訓(xùn)專題知識打破：考點(diǎn)15隨意角的三角函數(shù)與弧度制2021屆高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生短期集訓(xùn)專題知識打破：考點(diǎn)15隨意角的三角函數(shù)與弧度制2021屆高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生短期集訓(xùn)專題知識打破：考點(diǎn)15隨意角的三角函數(shù)與弧度制考點(diǎn)十五隨意角的三角函數(shù)與弧度制知識梳理1．角的觀點(diǎn)隨意角：①角的定義：角能夠當(dāng)作平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)地點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開始的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)停止的射線叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)叫做角的極點(diǎn)；②角的分類：依據(jù)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；依據(jù)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做俯角；假如一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．全部與角α終邊同樣的角，連同角α在內(nèi)，組成的角的會合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．注意：終邊同樣的角不必定相等，終邊同樣的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.(3)象限角與軸線角：使角的極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；假如角的終邊在座標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱之為軸線角．2．弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，這類用弧度作單位來胸懷角的單位制叫做弧度制．弧度的單位符號是“rad〞，讀作“弧度〞〔用弧度制表示角時(shí)，rad經(jīng)常省略不寫〕．假如半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝l.正角的弧r度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：πrad，1rad＝180°.180°＝πrad,1＝°π180112(3)扇形的弧長公式：l＝|α|r·，扇形的面積公式：S＝2lr＝2|α|r·.3．隨意角的三角函數(shù)〔1〕單位圓定義：隨意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u，v)時(shí)，sinα＝v，cosα＝μ，tanαv(x≠0)．μy〔2〕比值式定義：設(shè)P(x，y)是角α終邊上隨意一點(diǎn)，且|OP|＝r(r＞0)，那么sinα＝r，cosαxy＝，tanα＝.它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).rx注意：三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝y(tǒng)x，但假定不是單位圓時(shí)，設(shè)|OP|＝r，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝y(tǒng).rrx〔3〕三角函數(shù)值在各象限的符號：記憶口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦〞，即第一象限三個(gè)三角函數(shù)都是正當(dāng)，第二象限正弦值為正，其他兩個(gè)為負(fù)值；第三象限正切值為正，其他兩個(gè)為負(fù)值；第四象限余弦值為正當(dāng).4．三角函數(shù)線如以下列圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作圓的切線與α的終邊或終邊的反向延伸線訂交于點(diǎn)角α的正弦線，余弦線和正切線．

PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位T．那么有向線段MP，OM，AT分別叫做注意：①三角函數(shù)線能夠看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)；②三角函數(shù)線是有向線段．典例分析題型一終邊同樣角的表示例1在－720°～0°范圍內(nèi)全部與45°終邊同樣的角為________．答案－675°或－315°分析全部與45°有同樣終邊的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，那么令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－36045，進(jìn)而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.變式訓(xùn)練1終邊在直線y＝3x上的角的會合為________．π答案∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝3x上的角是3，∴終邊在直線y＝3x上的角的會合為π{α|α＝＋kπ，k∈Z}．3變式訓(xùn)練2α角α為第三象限角，判斷2為第幾象限角？3π分析∵π＋2kπ<α<2＋2kπ(k∈Z)，πα∴＋kπ<<22

3π＋kπ(k∈Z)．4πα3π2nπ，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，＋2nπ<＋22<4當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，3πα7π＋2nπ<＋2nπ，22<4α∴為第二或第四象限角．2解題重點(diǎn)(1)利用終邊同樣的角的會合能夠求合適某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊同樣的全部角的會合，而后經(jīng)過對會合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．利用終邊同樣的角的會合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只要把這個(gè)角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和，而后判斷角α的象限．題型二三角函數(shù)的定義2角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－x，－6)，且cosθ＝－135，那么sinθ＝_______，tanθ＝_______．答案－1212135－x55－61212分析cosθ＝x2＝－13，解得x＝2，故sinθ＝52＝－13，tanθ＝5.＋36－2＋〔－6〕2變式訓(xùn)練角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－4，那么m的值為________.5答案12分析∵r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m＝－4，64m2＋95211∴m>0，∴4m＝，即m＝.64m2＋9252解題重點(diǎn)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，應(yīng)先需確立三個(gè)量：角的終邊上隨意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.而后依據(jù)三角函數(shù)定義x、y的符號來確立各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號．題型三三角函數(shù)值的符號判斷3假定tanα>0，那么________.(填序號)①sinα>0②cosα>0③sin2α>0cos2α>0答案③分析清除法，取α=π3，知足tanα>0，但cos2α<0，否定④；π∵tanα＞0，∴α∈kπ，kπ＋2(k∈Z)是第一、三象限角．∴sinα，cosα都可正、可負(fù).應(yīng)選③．變式訓(xùn)練假定sinαtanα<0，且cosα<0，那么角α是第________象限角tanα答案三分析由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，進(jìn)而角α為第二或第三象限角．cosα由<0可知cosα，tanα異號，進(jìn)而角α為第三或第四象限角，故角α為第三象限角．tanα解題重點(diǎn)熟記三角函數(shù)在各象限內(nèi)符號是解題的重點(diǎn)，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦〞．題型四扇形面積公式與弧度制例4一扇形的圓心角為α＝60°，所在圓的半徑為R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積.分析ππ10π(cm)，設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，那么α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝333110π1π50503π3S弓扇△××10－×102×sin＝π－＝503－2＝S－S＝2323322(cm)．變式訓(xùn)練扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角．2r＋rθ＝10，r＝4，r＝1，分析設(shè)圓心角是θ，半徑是r，那么1解得或21(舍去)．2θ·r＝4，θ＝2，θ＝8，∴扇形的圓心角為12.解題重點(diǎn)使用扇形的弧長公式：l＝|α|r·，扇形的面積公式：S＝112時(shí)，應(yīng)把角度2lr＝2|α|r·化為弧度制，而后再利用公式求解．當(dāng)堂練習(xí)1．與－525°的終邊同樣的角可表示為________.(填序號)答案195°＋k·360°(k∈Z)分析－525°＝195°－2·360°，α＝195°＋k·360°(k∈Z).π2，那么tanα＝________.2．角α∈(－，0)，cosα＝23答案－52分析π225sinα5.∵α∈(－，0)，cosα＝3，∴sinα＝－1－cosα＝－，∴tanα＝＝－223cosα3.cosθ·tanθ<0，那么角θ所在的象限是__________________.答案第三或第四象限角分析易知sinθ<0，且cosθ≠0，∴θ是第三或第四象限角.4．以下三角函數(shù)值的符號判斷錯(cuò)誤的選項(xiàng)是________.(填序號)①sin160°>0②cos290°>0③tan170°>0④tan300°<0答案③分析∵170°為第二象限角，∴tan170°<0.5．角－870°的終邊所在的象限是________.答案第三象限分析由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角終邊同樣，在第三象限．課后作業(yè)一、填空題3，且角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，2)，那么P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是________.1．假定cosα＝－2答案－23分析r＝x2＋22，由題意得x＝－3，∴x＝－23.222x＋22．假定α是第三象限角，那么以下各式中不建立的是________.(填序號)①sinα＋cosα<0②tanα－sinα<0③cosα－tanα<0④tanαsinα<0答案②分析在第三象限，sinα<0，cosα<0，tanα>0，那么可清除①、③、④，應(yīng)選②.3．角θ的極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝2x上，那么cos2θ＝________.3答案－5分析取終邊上一點(diǎn)(a，2a)，a≠0，依據(jù)隨意角的三角函數(shù)定義，由tanθ＝2，可得cosθ＝±5，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－3.554．將－300°化為弧度為________.答案－53π分析－300×π＝－5π.18035．一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，那么其圓心角的弧度數(shù)為________.答案3分析由題意可知圓內(nèi)接正三角形的邊長為3R，那么圓心角的弧度數(shù)為3R＝3.R26．α是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P(x，5)，且cosα＝4x，那么sinα等于________.答案104分析由三角函數(shù)的定義可知cosα＝2x，由于α是第二象限角，因此x＜0，解4x＝2x＋5得x＝－3.因此cosα＝－6，，因此sinα＝1044.7．角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4，3)，那么cosα＝________.答案－45分析依據(jù)題意，cosα＝－4422＝－.5〔－4〕＋38．假定一扇形的圓心角為72°，半徑為20cm，那么扇形的面積為________.答案280πcm分析∵72°＝2π1212π22，∴S扇形＝2αr＝××20＝80π(cm)．5259．角α的極點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)P(－4m，3m)(m>0)是α終邊上一點(diǎn)，那么2sinα＋cosα＝________.答案25分析∵|OP|＝－4m2＋3m2＝5|m|＝5m(m>0)，3m3－4m4∴sinα＝＝，cosα＝＝－.5m55m52sinα＋cosα＝2×35－45＝25.10．假定角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，那么sin2α的值是________．答案45分析∵sinα＝2，cosα＝1，∴sin2α＝2×2×1＝4.5555511．角θ的極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．假定P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－25，那么y＝________.5答案－8分析由于r＝x2＋y2＝16＋y2，且sinθ＝－25，因此sinθ＝y(tǒng)＝y(tǒng)2＝－25，所5r16＋y5以θ為第四象限角，解得y＝－8.二、解答題212．設(shè)α為第四象限角，其終邊上的一個(gè)點(diǎn)是P(x，－5)，且cosα＝