山東省菏澤市牡丹區(qū)2024屆八上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

山東省菏澤市牡丹區(qū)2024屆八上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若分式的值為0，則的值為（）A．1 B．-1 C．1或-1 D．02．下列各數(shù)組中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．7，24，25C．8，12，15 D．3k，4k，5k（k為正整數(shù)）3．，兩地航程為48千米，一艘輪船從地順流航行至地，又立即從地逆流返回地，共用去9小時(shí)，已知水流速度為4千米/時(shí)，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為千米/時(shí)，則可列方程（）A． B．C． D．4．下列圖標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．5．微信已成為人們的重要交流平臺(tái)，以下微信表情中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．用反證法證明命題：“在△ABC中，∠A、∠B對邊分別是a、b，若∠A>∠B，則a>b”時(shí)第一步應(yīng)假設(shè)（）．A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)≥b D．a(chǎn)≤b7．下列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a2）3＝a5C．（a2b）2＝a2b2 D．（π﹣1）0＝18．某中學(xué)八（1）班45名同學(xué)參加市“精準(zhǔn)扶貧”捐款助學(xué)活動(dòng)，共捐款400元，捐款情況記錄表如下：捐款（元）35810人數(shù)2■■31表格中捐款5元和8元的人數(shù)不小心被墨水污染看不清楚．若設(shè)捐款5元的有x名同學(xué)，捐款8元的有y名同學(xué)，根據(jù)題意可得方程組（）A． B．C． D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)B(－2，0)，與y軸交于點(diǎn)C，則“不等式kx＋b≥0的解集”對應(yīng)的圖形是（）A．射線BD上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍 B．射線BA上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍C．射線CD上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍 D．線段BC上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍10．以下列各組數(shù)據(jù)為邊長,能構(gòu)成三角形的是：A．4,4,8 B．2,4,7 C．4,8,8 D．2,2,7二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足(x2＋y2)2－9＝0，則x2＋y2＝________．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（-1，2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．如圖，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，則∠D的度數(shù)為_____．14．已知，如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，則∠B的度數(shù)為_________.15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且是以為直角邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.16．命題“若a2＞b2，則a＞b”的逆命題是_____，該逆命題是（填“真”或“假”）_____命題．17．將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過點(diǎn)D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，則∠CDF=．18．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，小明發(fā)現(xiàn)：線段與線段存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段，你認(rèn)為這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是_____________．三、解答題(共66分)19．（10分）閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)“可化為一元一次方程的分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個(gè)問題：若關(guān)于x的分式方程ax-a=1的解為正數(shù)，求a經(jīng)過獨(dú)立思考與分析后，小杰和小哲開始交流解題思路如下：小杰說：解這個(gè)關(guān)于x的分式方程，得x=a+1．由題意可得a+1＞0，所以a＞﹣1，問題解決．小哲說：你考慮的不全面，還必須保證x≠1，即a+1≠1才行．（1）請回答：的說法是正確的，并簡述正確的理由是；（2）參考對上述問題的討論，解決下面的問題：若關(guān)于x的方程mx-3-x20．（6分）（1）計(jì)算：；（2）已知：，求的值．21．（6分）先化簡，再求值，其中滿足22．（8分）閱讀材料：如圖1，中，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)在上，，，，延長，交于點(diǎn)，，求證：．分析：等腰三角形是一種常見的軸對稱圖形，幾何試題中我們常將一腰所在的三角形沿著等腰三角形的對稱軸進(jìn)行翻折，從而構(gòu)造軸對稱圖形．①小明的想法是：將放到中，沿等腰的對稱軸進(jìn)行翻折，即作交于(如圖2)②小白的想法是：將放到中，沿等腰的對稱軸進(jìn)行翻折，即作交的延長線于(如圖3)經(jīng)驗(yàn)拓展：等邊中，是上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，若，，求的長(用含，的式子表示)．23．（8分）（1）仔細(xì)觀察如圖圖形，利用面積關(guān)系寫出一個(gè)等式：a2+b2＝．（2）根據(jù)（1）中的等式關(guān)系解決問題：已知m+n＝4，mn＝﹣2，求m2+n2的值．（3）小明根據(jù)（1）中的關(guān)系式還解決了以下問題：“已知m+＝3，求m2+和m3+的值”小明解法：請你仔細(xì)理解小明的解法，繼續(xù)完成：求m5+m﹣5的值24．（8分）如圖，圓柱的底面半徑為，圓柱高為，是底面直徑，求一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)的最短路線，小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：高線底面直徑，如圖所示，設(shè)長度為．路線2：側(cè)面展開圖中的線段，如圖所示，設(shè)長度為．請按照小明的思路補(bǔ)充下面解題過程：（1）解：；（2）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為，高為”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．（結(jié)果保留）①此時(shí)，路線1：__________．路線2：_____________．②所以選擇哪條路線較短？試說明理由．25．（10分）某旅行團(tuán)去景點(diǎn)游覽，共有成人和兒童20人，且旅行團(tuán)中兒童人數(shù)多于成人．景點(diǎn)規(guī)定：成人票40元/張，兒童票20元/張．（1）若20人買門票共花費(fèi)560元，求成人和兒童各多少人？（2）景區(qū)推出“慶元旦”優(yōu)惠方案，具體方案為：方案一：購買一張成人票免一張兒童票費(fèi)用；方案二：成人票和兒童票都打八折優(yōu)惠；設(shè)：旅行團(tuán)中有成人a人，旅行團(tuán)的門票總費(fèi)用為W元．①方案一：_____________________；方案二：____________________；②試分析：隨著a的變化，哪種方案更優(yōu)惠？26．（10分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，從﹣1，2，3中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作為x值代入．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解題分析】根據(jù)分式的概念，分式有意義要求分母不為零，所以分式值為零，即分子為零即可．【題目詳解】，，，故選：A．【題目點(diǎn)撥】考查分式的定義，理解定義以及有意義的條件是解題的關(guān)鍵．2、C【分析】驗(yàn)證兩個(gè)較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可．【題目詳解】解：A、52+122＝132，是勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；B、72+242＝252，是勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；C、82+122≠152，不是勾股數(shù)，故正確；D、（3k）2+（4k）2＝（5k）2，是勾股數(shù)，故錯(cuò)誤．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)的定義：可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．3、C【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題．【題目詳解】解：由題意可得，，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．4、D【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【題目詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱的概念，熟悉基本概念及判斷方法是解題的關(guān)鍵．5、C【解題分析】根據(jù)軸對稱的概念作答：如果一個(gè)圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．【題目詳解】A、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對稱的概念，解題關(guān)鍵是掌握軸對稱的概念并能找到對稱軸．6、D【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：用反證法證明，“在中，、對邊是a、b，若，則”

第一步應(yīng)假設(shè)，

故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．7、D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、非零的零次冪是1，對各項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解故選：D．【題目詳解】A、a2?a3＝a5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（a2）3＝a6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（a2b）2＝a4b2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、（π﹣1）0＝1，正確．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.8、A【分析】設(shè)捐款5元的有x名同學(xué)，捐款8元的有y名同學(xué)，利用八（1）班學(xué)生人數(shù)為45得出一個(gè)方程，然后利用共捐款400元得出另外一個(gè)方程，再組成方程組即可．【題目詳解】解：設(shè)捐款5元的有x名同學(xué)，捐款8元的有y名同學(xué)，根據(jù)題意可得：，即．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用總?cè)藬?shù)和總錢數(shù)作為等量關(guān)系列方程組．9、A【分析】根據(jù)圖象即可得出不等式kx＋b≥0的解集，從而判斷出結(jié)論．【題目詳解】解：由圖象可知：不等式kx＋b≥0的解集為x≤-2∴“不等式kx＋b≥0的解集”對應(yīng)的圖形是射線BD上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍故選A．【題目點(diǎn)撥】此題考查的是根據(jù)一次函數(shù)的圖象和不等式，求自變量的取值范圍，掌握利用一次函數(shù)的圖象，解一元一次不等式是解決此題的關(guān)鍵．10、C【題目詳解】解：∵4+4=8，故以4，4，8為邊長，不能構(gòu)成三角形；∵2+4＜7，故以2，4，7為邊長，不能構(gòu)成三角形；∵4，8，8中，任意兩邊之和大于第三邊，故以4，8，8為邊長，能構(gòu)成三角形；∵2+2＜7，故以2，2，7為邊長，不能構(gòu)成三角形；故選C．【題目點(diǎn)撥】在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．二、填空題(每小題3分,共24分)11、3【題目詳解】由題意得(x2＋y2)2=9，x2＋y2=，因?yàn)閤2＋y2所以x2＋y2=.12、（1，2）【解題分析】試題解析：由點(diǎn)（-1，2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）．考點(diǎn)：關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．13、48°【分析】將BE與CD交點(diǎn)記為點(diǎn)F，由兩直線平行同位角相等得出∠EFC度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)可得答案．【題目詳解】解：如圖所示，將BE與CD交點(diǎn)記為點(diǎn)F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故答案為：48°．【題目點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等這一性質(zhì)．14、25o【解題分析】試題分析：根據(jù)題意給出的已知條件可以得出△ABC和△ADE全等，從而得出∠B=∠D=25°.15、或【解題分析】設(shè)C的點(diǎn)坐標(biāo)為，先根據(jù)題中條件畫出兩種情況的圖形（見解析），再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的定義分別求解即可．【題目詳解】設(shè)C的點(diǎn)坐標(biāo)為由題意，分以下兩種情況：（1）如圖1，是等腰直角三角形，過點(diǎn)A作軸，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交DA的延長線于點(diǎn)E則又則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2）如圖2，是等腰直角三角形，過點(diǎn)A作軸，過點(diǎn)C作軸則同理可證：則點(diǎn)C的坐標(biāo)為綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或故答案為：或．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分兩種情況并畫出圖形是解題關(guān)鍵．16、如a＞b，則a2＞b2假【解題分析】先寫出命題的逆命題，然后在判斷逆命題的真假．【題目詳解】如a2＞b2，則a＞b”的逆命題是：如a＞b，則a2＞b2，假設(shè)a=1，b=-2，此時(shí)a＞b，但a2＜b2，即此命題為假命題．故答案為：如a＞b，則a2＞b2，假．【題目點(diǎn)撥】此題考查了命題與定理的知識(shí)，寫出一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將題設(shè)和結(jié)論交換．在寫逆命題時(shí)要用詞準(zhǔn)確，語句通順．17、25°【解題分析】試題分析：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°．∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°．∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．18、或【分析】分點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為C或D兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，連接AC、BD，分別作線段AC、BD的垂直平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為旋轉(zhuǎn)中心；②當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D時(shí)，連接AD、BC，分別作線段AD、BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為旋轉(zhuǎn)中心．此題得解．【題目詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，連接AC、BD，分別作線段AC、BD的垂直平分線交于點(diǎn)E，如圖1所示，∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，），∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；②當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D時(shí)，連接AD、BC，分別作線段AD、BC的垂直平分線交于點(diǎn)M，如圖2所示，∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）．綜上所述：這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（2，0）或（5，3）．故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化中的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)找出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）小哲；分式的分母不為0；（2）m≥﹣6且m≠﹣2．【解題分析】（1）根據(jù)分式方程解為正數(shù)，且分母不為0判斷即可；

（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解為非負(fù)數(shù)確定出m的范圍即可．【題目詳解】解：（1）小哲的說法是正確的，正確的理由是分式的分母不為0；故答案為：小哲；分式的分母不為0；（2）去分母得：m+x=2x﹣6，解得：x=m+6，由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，得到m+6≥0，且m+6≠2，解得：m≥﹣6且m≠﹣2．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元一次不等式及解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解一元一次不等式及解分式方程.20、（1）-3；（2）或．【分析】（1）原式利用算術(shù)平方根的定義，立方根和負(fù)整數(shù)指數(shù)評價(jià)的人運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）方程利用平方根的定義開方即可求得方程的解.【題目詳解】（1），=2-1-4=-3；（2）開方得，∴，解得，或．【題目點(diǎn)撥】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.21、，1【分析】先將原式進(jìn)行化簡，再代入即可.【題目詳解】解：原式【題目點(diǎn)撥】本題考查的是代數(shù)式，熟練掌握代數(shù)式的化簡是解題的關(guān)鍵.22、①證明見解析；②證明見解析；[經(jīng)驗(yàn)拓展]．【解題分析】閱讀材料：①先根據(jù)三角形全等的判定定理得出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，又根據(jù)角的和差、等腰三角形的性質(zhì)得出兩組相等的角，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可得證；②先根據(jù)三角形全等的判定定理得出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，又根據(jù)角的和差、等腰三角形的性質(zhì)得出兩組相等的角，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，即得證；經(jīng)驗(yàn)拓展：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)分別求出，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得出，從而根據(jù)線段的和差即可得出答案．【題目詳解】閱讀材料：①小明做法：作交于，則，，即；②小白做法：作交的延長線于，即，即；經(jīng)驗(yàn)拓展：延長至點(diǎn)，使得，連接是等邊三角形，設(shè)是等腰三角形（等腰三角形的三線合一）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．23、（1）（a+b）2﹣2ab；（2）20；（3）1【分析】（1）觀察原式為陰影部分的面積，再用大矩形的面積減去兩個(gè)空白矩形的面積也可表示陰影部分面積，進(jìn)而得出答案；（2）運(yùn)用（1）中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算便可把原式轉(zhuǎn)化為(m+n)2﹣2mn進(jìn)行計(jì)算；（3）把原式轉(zhuǎn)化為(m2+m﹣2)(m3+m﹣3)﹣(m+m﹣1)進(jìn)行計(jì)算．【題目詳解】解：（1）根據(jù)圖形可知，陰影部分面積為a2+b2，陰影部分面積可能表示為(a+b)2﹣2ab，∴a2+b2＝(a+b)2﹣2ab，故答案為：(a+b)2﹣2ab；（2）m2+n2＝(m+n)2﹣2mn＝42﹣2×(﹣2)＝20；（3）m5+m﹣5＝(m2+m﹣2)(m3+m﹣3)﹣(m+m﹣1)＝7×18﹣3＝1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了轉(zhuǎn)化的思想，乘法公式的應(yīng)用，模仿樣例，靈活進(jìn)行整式的恒等變形是解決本題的關(guān)鍵．24、（1）見解析；（2）①．，②選擇路線2較短，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)勾股定理易得