第八章平面解析幾何 第八節(jié) 曲線與方程(理)

第八章平面解析幾何第八節(jié)曲線與方程(理)主干回顧·夯實基礎一、曲線與方程在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是_____________；(2)以這個方程的解為坐標的點都_________．那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．

這個方程的解在曲線上二、求動點的軌跡方程的一般步驟1．建系——建立適當?shù)淖鴺讼担?．設點——設軌跡上的任一點P(x，y)．3．列式——列出動點P所滿足的關系式．4．代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡．5．證明——證明所求方程即為符合條件的動點的軌跡方程．

三、曲線的交點

1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)曲線與曲線方程是相同的概念，軌跡與軌跡方程也是相同的概念．()(2)如果曲線C的方程為f(x，y)＝0，則點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是f(x0，y0)＝0.()(3)求軌跡方程的常用方法有直接法、待定系數(shù)法、定義法、代入法等．()(4)求出方程后，判斷方程所表示的曲線時，一定要考慮變量的限制條件．()(5)求兩曲線的交點坐標時，只需解由兩曲線方程組成的方程組即可．()

[答案及提示](1)×曲線與曲線的方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念．(2)√(3)√(4)√(5)√

3．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

5．(課本習題改編)已知△ABC的三邊AB，BC，CA的長度成等差數(shù)列，且|AB|＞|CA|，點B，C的坐標分別為(－1,0)，(1,0)，則動點A的軌跡方程為________．

考點技法·全面突破直接法求軌跡方程(☆☆☆☆)3．已知|AB|＝2，動點P滿足|PA|＝2|PB|，試建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，動點P的軌跡方程為________．

直接法求軌跡方程的關鍵就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程，通常步驟為建系設點、列式、代換、化簡這四個步驟．求出曲線的方程后還需注意檢驗方程與曲線上的點的對應關系，多余的點要去掉，漏掉的點要補上．[典例1]一動圓M與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線．

定義法求軌跡方程(☆☆☆☆)解：如圖，設動圓半徑為R，兩定圓的圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，將兩圓方程分別配方，得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，故O1(－3,0)，r1＝2；O2(3,0)，r2＝10.當⊙M與⊙O1外切時，有|O1M|＝R＋2，①當⊙M與⊙O2內(nèi)切時，有|O2M|＝10－R，②將①②兩式的兩邊分別相加，得|O1M|＋|O2M|＝12.

又因為|O1O2|＝6，所以|O1M|＋|O2M|＞|O1O2|.故動圓圓心M的軌跡是以O1(－3,0)、O2(3,0)為焦點，長軸長為12的橢圓．

1．運用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，求出待定系數(shù)后得到曲線方程．2．定義法和待定系數(shù)法適用于已知軌跡是什么曲線，其方程是什么形式的方程的情況，然后由條件求出相關系數(shù)即可．1．已知定點F(0,1)和直線l1：y＝－1，過定點且與直線l1相切的動圓的圓心為點C，則動點C的軌跡方程為______．解析：x2＝4y由題設知點C到點F的距離等于它到l1的距離，∴點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，∴動點C的軌跡方程為x2＝4y.

(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；

代入法求軌跡方程(☆☆☆☆)1．代入法適用于條件中有兩個動點，且已知一個動點(主動點)的軌跡而求另一個動點(被動點)軌跡的情況．2．用代入點法求軌跡方程的關鍵是尋求關系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲線，求對稱曲線(軸對稱、中心對稱等)方程實質(zhì)上也