電磁場與電磁波-第四版-第一章-ppt

第一章矢量分析1本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2

常用正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流和旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理21.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

3矢量用坐標分量表示zxy4（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律5（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則7（5）矢量的混合運算——分配律——分配律——標量三重積——矢量三重積8

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2

三種常用的正交曲線坐標系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球面坐標系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。91、直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量

點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx102、圓柱面坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量113、球面坐標系球面坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量124、坐標單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系oqrz單位圓

柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系

f131.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：14標量場的等值面

標量場的等值線(面)等值面:

標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。152.方向?qū)?shù)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向減??；

——u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點：方向性導(dǎo)數(shù)既與點M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——的方向余弦。

式中：

16梯度的表達式：圓柱面坐標系

球面坐標系直角面坐標系

3、標量場的梯度（或）意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向17標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）18

例1.2.1

設(shè)一標量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；(2)求該函數(shù)

沿單位矢量el=

excos60

＋eycos45

＋ezcos60

方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為19表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為20而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數(shù)

的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。211.4矢量場的通量與散度

1、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線oM

222、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量23通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義243、矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。25柱面坐標系球面坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關(guān)公式：264、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。271.5矢量場的環(huán)流和旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：