第二章 視圖模型變換1-圖形幾何變換

山東科技大學(xué)信息學(xué)院1、窗口視圖變換2、圖形的幾何變換3、投影變換

第二章視圖模型變換山東科技大學(xué)信息學(xué)院2.1窗口視圖變換

用戶域和窗口區(qū)1．用戶域：程序員用來(lái)定義草圖的整個(gè)自然空間(WD)a

人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。

b

用戶域是一個(gè)實(shí)數(shù)域，理論上是連續(xù)無(wú)限的。2．

窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W)a窗口區(qū)W小于或等于用戶域WDb小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。

c窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等

d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等。

山東科技大學(xué)信息學(xué)院窗口視圖變換1．

屏幕域(DC)：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為1024

768→DC[0..1023]

[0..767]2．

視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域

a

視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中

b

窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

c

視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形等。

d視圖區(qū)也可以嵌套。

山東科技大學(xué)信息學(xué)院窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換設(shè)窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)（即窗口內(nèi)的一點(diǎn)）(Xw,Yw)對(duì)應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點(diǎn)（Xs,Ys），其變換公式為山東科技大學(xué)信息學(xué)院窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化為：1)

當(dāng)a

c時(shí)，即x

方向的變化與y方向的變化不同時(shí)，視圖中的圖形會(huì)有伸縮變化，圖形變形。2)

當(dāng)a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。思考：前面講的窗口→視圖變換時(shí)，假設(shè)窗口的邊和坐標(biāo)軸平行，如果窗口的邊不和坐標(biāo)軸平行呢？

山東科技大學(xué)信息學(xué)院窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換A.

先讓窗口FGHI轉(zhuǎn)-α角，使它和FG'H'I'重合。B.用(1)式進(jìn)行計(jì)算。

山東科技大學(xué)信息學(xué)院

2.2二維圖形的幾何變換一、一般表示1、平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀山東科技大學(xué)信息學(xué)院2、比例變換以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)：恒等比例變換當(dāng)Sx=Sy>1時(shí)：沿x,y方向等比例放大。當(dāng)Sx=Sy<1時(shí)：沿x,y方向等比例縮小當(dāng)Sx

Sy時(shí)：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。山東科技大學(xué)信息學(xué)院3、旋轉(zhuǎn)變換注意；θ是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。αθρ(x,y)(x′,y′)山東科技大學(xué)信息學(xué)院所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由n+1維向量表示一個(gè)n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為（hP1,hP2,

hPn,h），其中h稱為啞坐標(biāo)。

1、h可以取不同的值，所以同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。如普通坐標(biāo)系下的點(diǎn)（2,3）變換為齊次坐標(biāo)可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。

2、

普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對(duì)多”由普通坐標(biāo)

h→齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)÷h→普通坐標(biāo)

3、

當(dāng)h=1時(shí)產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)”，因?yàn)榍皀個(gè)坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)。二、二維變換的齊次坐標(biāo)表示山東科技大學(xué)信息學(xué)院齊次坐標(biāo)(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為

(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線山東科技大學(xué)信息學(xué)院1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來(lái)表示。提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。2.便于表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如：（x

h,y

h,h)，令h等于03.齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面體。4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)齊次坐標(biāo)的作用山東科技大學(xué)信息學(xué)院1、平移變換平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀山東科技大學(xué)信息學(xué)院2、比例變換以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)：恒等比例變換當(dāng)Sx=Sy>1時(shí)：沿x,y方向等比例放大。當(dāng)Sx=Sy<1時(shí)：沿x,y方向等比例縮小當(dāng)Sx

Sy時(shí)：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。山東科技大學(xué)信息學(xué)院3、旋轉(zhuǎn)變換注意；θ是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。αθρ(x,y)(x′,y′)山東科技大學(xué)信息學(xué)院4、二維基本變換-對(duì)稱變換當(dāng)b=d=0,a=-1,e=1時(shí)，(x*y*1)=(-x

y1)：與y軸對(duì)稱的反射變換。當(dāng)b=d=0,a=1,e=-1時(shí)，(x*y*1)=(x-y1)：與x軸對(duì)稱的反射變換。當(dāng)b=d=0,a=e=-1時(shí)，(x*y*1)=(-x-y1)：與原點(diǎn)對(duì)稱的反射變換。當(dāng)b=d=1,a=e=0時(shí)，(x*y*1)=(y

x1)：與y=x對(duì)稱的反射變換。當(dāng)b=d=-1,a=e=0時(shí)，(x*y*1)=(-y-x1)：與y=-x對(duì)稱的反射變換。山東科技大學(xué)信息學(xué)院5、二維基本變換-錯(cuò)切變換1)

當(dāng)d=0時(shí)，(x*y*1)=(x+by

y1)：圖形的y坐標(biāo)不變；當(dāng)b>0：圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)b<0：圖形沿-x方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A2B2C2D2山東科技大學(xué)信息學(xué)院二維基本變換-錯(cuò)切變換2)當(dāng)b=0時(shí)，(x*y*1)=(x

dx+y1)圖形的x坐標(biāo)不變；當(dāng)d>0：圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A2B2C2D2山東科技大學(xué)信息學(xué)院二維基本變換-錯(cuò)切變換3)

當(dāng)b

0且d

0時(shí)，(x*y*1)=(x+by

dx+y1)：圖形沿x,y兩個(gè)方向作錯(cuò)切位移?！噱e(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。山東科技大學(xué)信息學(xué)院6、二維圖形幾何變換的一般表示圖形變換：對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。我們所討論的是針對(duì)坐標(biāo)系的改變而講的。

山東科技大學(xué)信息學(xué)院二維圖形的幾何變換設(shè)二維圖形變換前坐標(biāo)為(x,y,1),變換后為(x*,y*,1)

1．

二維變換矩陣注意：T2D可看作三個(gè)行向量，其中[100]：表示x

軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)[010]：表示y

軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)[001]：表示原點(diǎn)

山東科技大學(xué)信息學(xué)院二維圖形的幾何變換從變換功能上可把T2D分為四個(gè)子矩陣山東科技大學(xué)信息學(xué)院7、復(fù)合變換

復(fù)合變換又稱級(jí)聯(lián)變換，指對(duì)圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個(gè)線性變換都可以分解為上述幾類變換。

山東科技大學(xué)信息學(xué)院例1：復(fù)合平移求點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標(biāo)P*（x*,y*）解：設(shè)點(diǎn)P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P

(x

y

1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)∴變換矩陣為Tt=Tt1?Tt2山東科技大學(xué)信息學(xué)院例2：多種復(fù)合組合例:對(duì)一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:設(shè)點(diǎn)(x,y)為線段上的任意一點(diǎn),

點(diǎn)(x′,y′)為點(diǎn)(x,y)放大后的坐標(biāo)則:

設(shè)點(diǎn)(x′′,y′′)為點(diǎn)(x′,y′)經(jīng)平移后的坐標(biāo)為：

[x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0) 則： [x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0)，則M即為組合變換 yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx山東科技大學(xué)信息學(xué)院例3：旋轉(zhuǎn)變換對(duì)參考點(diǎn)F(xf,yf)做旋轉(zhuǎn)變換。解：1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即坐標(biāo)系平移（-xf,-yf），則2、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

山東科技大學(xué)信息學(xué)院

將坐標(biāo)系平移回原來(lái)的原點(diǎn)因此山東科技大學(xué)信息學(xué)院例4：任意的反射軸的反射變換任一圖形關(guān)于任意的反射軸y=a+bx的反射變換

解：1.

將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到(0,a)處山東科技大學(xué)信息學(xué)院

2.將反射軸（已平移后的直線）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角，使之與x軸重合

3.圖形關(guān)于x軸的反射變換

4.將反射軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角山東科技大學(xué)信息學(xué)院

5.恢復(fù)反射軸的原始位置因此

山東科技大學(xué)信息學(xué)院平移物體使固定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)縮放用步驟1的反向平移將物體移回原始位置例5：通用固定點(diǎn)縮放山東科技大學(xué)信息學(xué)院例6（通用定向縮放）比例變換中的比例因子Sx,Sy只能在x軸方向或y軸方向起作用。實(shí)際圖形變換中，不僅是在x,y方向變換，往往要求在任意方向進(jìn)行比例變換。通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換和比例變換的組合，可以實(shí)現(xiàn)任意方向的比例變換。解：定義比例因子S1和S2。1.

使S1和S2旋轉(zhuǎn)θ角后分別與x軸和y軸重合。2.

進(jìn)行比例變換。3.使S1和S2旋轉(zhuǎn)-θ角，返回原始位置。

山東科技大學(xué)信息學(xué)院通用定向縮放如：圖(a)為一單位正方形，對(duì)由(0,0)和(1,1)兩點(diǎn)構(gòu)成的對(duì)角線方向?qū)嵤┍壤儞Q（1，2）山東科技大學(xué)信息學(xué)院2.3三維圖形的幾何變換三維齊次坐標(biāo)(x,y,z)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)右手坐標(biāo)系

山東科技大學(xué)信息學(xué)院

1、變換矩陣的一般形式