第八章 可直線化的非線性回歸分析

第八章可直線化的非線性回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握：非線性回歸的直線化原理、可直線化的非線性回歸的種類及其分析方法。123456432112345643211234564321正向直線關(guān)系負(fù)向直線關(guān)系曲線關(guān)系直線關(guān)系是兩變量間最簡(jiǎn)單的一種關(guān)系。這種關(guān)系僅在變量的一定取值范圍內(nèi)可用，范圍過(guò)大，散點(diǎn)圖就偏離直線，需要借助于曲線描述。如果縮小研究范圍，則任意非直線關(guān)系最后都可以用線性關(guān)系來(lái)近似，但范圍過(guò)小，使用上不方便。(1)不能對(duì)變量間的關(guān)系有一個(gè)整體上的認(rèn)識(shí)。(2)在不同取值范圍內(nèi)還要換用不同的方程。兩變量間的非線性關(guān)系用來(lái)表示雙變量間的關(guān)系有多種曲線。曲線類型直線類型直線回歸方程曲線回歸方程數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化第一節(jié)第二節(jié)第四節(jié)非線性回歸的直線化對(duì)數(shù)函數(shù)曲線可直線化的非線性回歸分析第五節(jié)冪函數(shù)曲線第六節(jié)Logistic生長(zhǎng)曲線倒數(shù)函數(shù)曲線第三節(jié)指數(shù)函數(shù)曲線第一節(jié)：非線性回歸的直線化一、確定曲線類型的方法二、直線化的方法三、常見(jiàn)的可直線化的曲線類型四、常用曲線模型的直線化方法五、存在的問(wèn)題非線性回歸分為兩種情況對(duì)于已知曲線類型，其回歸效果有保證。同時(shí)在多數(shù)情況下，我們對(duì)所研究的對(duì)象有一定的了解，可以根據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)給出可能的曲線類型，因此常用的是已知曲線類型的回歸。已知曲線(公式)類型未知曲線(公式)類型一、確定曲線類型的方法非線性回歸

已知曲線類型的回歸

單細(xì)胞生物生長(zhǎng)

生態(tài)學(xué)上種群增長(zhǎng)

藥物劑量與死亡率——“S”形概率對(duì)數(shù)曲線酶促反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中的米氏方程是一種雙曲線植物葉層中的光強(qiáng)度分布——指數(shù)函數(shù)散點(diǎn)圖的方法來(lái)判斷曲線類型Logistic曲線擬合

專業(yè)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或文獻(xiàn)確定曲線類型單細(xì)胞生物生長(zhǎng)初期符合指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)，但若考慮到生長(zhǎng)一定時(shí)間后，后期生長(zhǎng)受到抑制，其生長(zhǎng)曲線變成“S”形。酶促反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中的米氏方程是一種雙曲線。1散點(diǎn)圖的方法2通過(guò)散點(diǎn)圖，確定曲線類型，如果幾種類型可供選擇，可多做幾次回歸，進(jìn)行比較，再確定曲線類型。確定了曲線類型之后，回歸的任務(wù)就變成確定曲線公式中的參數(shù)，因此，也稱為曲線擬合。1.通過(guò)比較剩余均方來(lái)判斷曲線擬合的好壞一般情況可用剩余均方的大小，來(lái)判斷擬合的優(yōu)劣，剩余均方愈小，擬合愈好。但計(jì)算剩余平方和時(shí)，必須用實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值之差的平方和計(jì)算。曲線擬合的方法

2.相關(guān)指數(shù)的大小直接引入新變量。數(shù)學(xué)變換后，引入新變量。二、線性化的方法對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)倒數(shù)函數(shù)S形曲線三、常見(jiàn)的可線性化的曲線類型對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)四、常用曲線模型的直線化方法冪函數(shù)倒數(shù)函數(shù)S形曲線不是所有非線性方程都能用變量代換線性化。即使方程類型不對(duì)時(shí)，變量代換與線性回歸仍可照常進(jìn)行，但結(jié)果沒(méi)有任何用途，強(qiáng)行使用會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。只能使變換后數(shù)據(jù)的線性方程殘差最小，采用線性化方法進(jìn)行曲線回歸后必須進(jìn)行檢驗(yàn)。五、存在的問(wèn)題例1為研究鱘魚(yú)的生長(zhǎng)特性，測(cè)定了雌性鱘魚(yú)體長(zhǎng)（單位：cm）和體重（單位：kg），數(shù)據(jù)如下所示，試對(duì)鱘魚(yú)的體重與體長(zhǎng)進(jìn)行回歸分析體長(zhǎng)x70.7098.25112.57122.48138.46148.00152.00162.00體重y1.004.856.599.0112.3415.5021.2522.11Logistic生長(zhǎng)曲線特點(diǎn)開(kāi)始增長(zhǎng)緩慢，而在以后的某一范圍內(nèi)迅速增長(zhǎng)，達(dá)到某限度后，增長(zhǎng)又緩慢下來(lái)，曲線略呈拉長(zhǎng)的“S”，因此，也稱為S型曲線。0xyK1+aK2K起始量終極量例2測(cè)定水稻某一品種米粒干重的增長(zhǎng)過(guò)程，x為開(kāi)花后天數(shù)（以開(kāi)花日為0），y為米粒平均干重（單位：mg），結(jié)果如下表所示，試作回歸分析。開(kāi)花后天數(shù)x/d510152025303540干重y/mg1.54.17.913.618.220.521.721.9非線性回歸方程分析的基本過(guò)程繪制散點(diǎn)圖，結(jié)合專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)選擇合適的函數(shù)進(jìn)行線性化，并對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行變量