2024屆廣東省江門市部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆廣東省江門市部分學(xué)校高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式得集合A，再根據(jù)交集的運(yùn)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B.2．復(fù)數(shù)，滿足，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】解方程組可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得.【詳解】由解得，則.故選：C.3．已知雙曲線一條漸近線的斜率為，則的離心率為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由離心率與漸近線斜率關(guān)系即可得.【詳解】由題可知，則的離心率．故選：A.4．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出公比，即可求出的值.【詳解】在等比數(shù)列中，設(shè)公比為，∵，，∴，∴，故選：C.5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷函數(shù)的圖象.【詳解】由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，排除A，C．又，排除B.故選：D．6．下列函數(shù)的圖象不可能與直線相切的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線，則逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可得結(jié)論.【詳解】若導(dǎo)函數(shù)有解，則直線就可以為該函數(shù)圖象的切線．對(duì)于選項(xiàng)A，令，解得，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以方程有解，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足條件．故選：D.7．如圖，，是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的正切值，即可得出的正切值，進(jìn)而求出的度數(shù).【詳解】由題意及圖得，，，∴．∵，，∴．故選：B.8．已知圓與軸相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】利用拋物線定義化斜為直，借助平面幾何性質(zhì)建立等量關(guān)系，求解方程即可.【詳解】圓與軸相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且拋物線開口向右，所以，則，即．如圖，過點(diǎn)和點(diǎn)分別作和垂直于拋物線的準(zhǔn)線，易知，．設(shè)，則，則，即，，解得（舍），或，所以；，則，解得，所以.故選：D.

二、多選題9．已知一組數(shù)據(jù)，，，，，，其中，，，，，平均數(shù)為，方差為．若去除，兩個(gè)數(shù)據(jù)后，剩余數(shù)據(jù)的方差為，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)的公式分析判斷AB；結(jié)合方差的意義分析判斷CD.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故A正確，B不正確；又因?yàn)?，，所以去除，后剩余?shù)據(jù)的波動(dòng)性更小，方差更小，所以，故C正確，D不正確．故選：AC.10．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上恰有2個(gè)極小值點(diǎn)D．若要得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向左平移個(gè)單位長度【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)最小正周期、對(duì)稱軸方程、區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和圖像平移后的解析式.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，A不正確．當(dāng)時(shí)，，故直線是圖象的一條對(duì)稱軸，B正確．由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得極小值，C不正確．，所以若要得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向左平移個(gè)單位長度，D正確．故選：BD.11．如圖，在正四棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則（

）

A．的最小值為 B．存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得 D．存在點(diǎn)，使得【答案】ABC【分析】對(duì)A，由側(cè)面展開圖兩點(diǎn)之間線段最短可得；對(duì)B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；對(duì)C，構(gòu)造中位線，利用平行傳遞性可得；對(duì)D，假設(shè)存在，由余弦定理建立的方程無解推出矛盾.【詳解】對(duì)A，如圖，將平面沿著軸展開到平面內(nèi)，則的最小值為，A正確．

對(duì)B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，，則，從而，B正確．

對(duì)C，，且，則四邊形是平行四邊形，故，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，C正確．

對(duì)D，設(shè)，則，，，由余弦定理得，．若，則，整理得，解得或，不符合題意，D不正確．

故選：ABC.12．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小.【詳解】令，則．令，則恒成立，故在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，從而在上單調(diào)遞減，故，即；令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，即；綜上：.故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.三、填空題13．已知向量，，若，則．【答案】【分析】根據(jù)向量平行求出x，再求出即可【詳解】因?yàn)?，所以，即，則．故答案為：.14．已知定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，且對(duì)任意的x，y，都有，若，則的解集為．【答案】【分析】利用賦值法可得是偶函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性和定義域列不等式，解不等式即可.【詳解】令，則，所以是偶函數(shù)，則，，又定義在上的函數(shù)在上是增函數(shù)，由，得，則，解得，故的解集為．故答案為：.15．在高考志愿模擬填報(bào)實(shí)驗(yàn)中，共有10個(gè)專業(yè)可供學(xué)生甲填報(bào)，其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個(gè)．若在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)進(jìn)行填報(bào)，則填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．【答案】【分析】計(jì)算基本事件總數(shù)，計(jì)算其中沒有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)，利用對(duì)立事件解決所求的概率.【詳解】隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)，基本事件總數(shù)為，填報(bào)的專業(yè)中沒有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)為，由題可知，填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．故答案為：16．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)條件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，則三棱錐的外接球球心為中點(diǎn)，即外接圓的直徑為，進(jìn)而求出外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】由，，，根據(jù)余弦定理可得，則，，中E為斜邊AB中點(diǎn)，所以到各點(diǎn)的距離相等，則三棱錐外接球的直徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)的公差為，由，，成等比數(shù)列，求出公差，可求的通項(xiàng)公式；（2）由數(shù)列通項(xiàng)特征，利用裂項(xiàng)相消求前項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，又，所以，故．（2）由（1）可得，，則．18．在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積是，，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求解；（2）利用面積公式、余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）由，可得到，即．因?yàn)?，所以，故．?）由，可得，因?yàn)?，所以，則．由余弦定理得，即，所以，故的周長是．19．如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，與均為正三角形．(1)證明：．(2)若，點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，，證得平面，可證．（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決二面角的問題．【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)榕c均為正三角形，所以．又為的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，平面，所以平面．又平面，所以．?）因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，且．不妨令，則．由，得，則，故．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，．因?yàn)?，所以．則，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，得．設(shè)平面的法向量為，則令，則，得．，故二面角的正弦值為．20．某批發(fā)市場供應(yīng)的排球中，來自甲廠的占，來自乙廠的占，來自丙廠的占，甲廠生產(chǎn)的排球的合格率為，乙廠生產(chǎn)的排球的合格率為，丙廠生產(chǎn)的排球的合格率為．(1)若小張到該市場購買1個(gè)排球，求購得的排球?yàn)楹细衿返母怕剩?2)若小李到該市場批發(fā)2個(gè)排球回去銷售，購買的1個(gè)球來自甲廠，1個(gè)球來自丙廠，已知來自己甲廠的每個(gè)排球售出后可獲得純利潤10元，沒有售出則每個(gè)球?qū)p失5元，且每個(gè)球被售出的概率等于排球的合格率；來自丙廠的每個(gè)排球售出后可獲得純利潤8元，沒有售出則每個(gè)球?qū)p失6元，且每個(gè)球被售出的概率等于排球的合格率．求小李到該市場批發(fā)2個(gè)排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)16.69元【分析】（1）利用全概率公式可求得所求事件的概率；（2）設(shè)小李到該市場批發(fā)2個(gè)排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤為X元，依題意可得X的可能取值為18，4，3，，求出對(duì)應(yīng)的概率，利用數(shù)學(xué)期望公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)A，B，C分別表示購買的排球來自甲廠、乙廠、丙廠，D表示購買的排球是合格品，則，，，，，所以．（2）設(shè)小李到該市場批發(fā)2個(gè)排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤為X元，依題意可得X的可能取值為，，，，即18，4，3，，，，，，所以，故小李到該市場批發(fā)2個(gè)排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤的數(shù)學(xué)期望為16.69元．21．在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）設(shè)，由條件列出方程，化簡即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合換元法及函數(shù)的單調(diào)性即可求最大值.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，所以，則，整理得，故曲線的方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組整理得，則，，．因?yàn)檫^點(diǎn)，所以．令，，，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，則的最大值為3．故面積的最大值為3．22．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)其含參部分進(jìn)行放縮，再對(duì)不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，令，得．由，解得，由，解得．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為