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文檔簡(jiǎn)介
一、時(shí)域法的特點(diǎn)
(1)直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析校正,直觀(guān),準(zhǔn)確;
(2)可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息;
(3)求解系統(tǒng)輸出的解析解,比較煩瑣。§3.1線(xiàn)性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)
控制系統(tǒng)的時(shí)域分析二、時(shí)域法常用的典型輸入信號(hào)
對(duì)于一單輸入單輸出n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)三、線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程
系統(tǒng)在輸入r(t)作用下,輸出c(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律,即式(3-1)微分方程的解,就是系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。四、線(xiàn)性微分方程的解
微分方程的解為
c(t)=c1(t)+c2(t)1、齊次微分方程的通解
(3-1)式經(jīng)拉氏變換后的特征根方程為
設(shè)P1、P2、…Pn為特征方程的n個(gè)不等的特征根,則
若Pi為重根,則
若Pi為共軛復(fù)根,則2、非齊次微分方程的特解§3.2控制系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)一、控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、動(dòng)態(tài)過(guò)程(響應(yīng))
指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下,系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)態(tài)前的響應(yīng)過(guò)程,又稱(chēng)暫態(tài)(過(guò)渡)過(guò)程。2、穩(wěn)態(tài)過(guò)程(響應(yīng))
指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下,當(dāng)t→∞時(shí),系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過(guò)程表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。
穩(wěn):(基本要求)系統(tǒng)受脈沖擾動(dòng)后能回到原來(lái)的平衡位置準(zhǔn):(穩(wěn)態(tài)要求)穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差(穩(wěn)態(tài)誤差)要小快:(動(dòng)態(tài)要求)過(guò)渡過(guò)程要平穩(wěn),迅速二、控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)1、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)
系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下,當(dāng)t→∞時(shí),系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差,即2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)設(shè)2.上升時(shí)間tr:
單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)從t=0開(kāi)始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。1.延遲時(shí)間td:
單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)從t=0開(kāi)始上升到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。3.峰值時(shí)間tp
單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)從t=0開(kāi)始上升到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。4.調(diào)整時(shí)間ts:
單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)進(jìn)入允許的誤差帶(一般取穩(wěn)態(tài)值附近±5%或±2%)并不再超出該誤差帶的最小時(shí)間。5.最大超調(diào)量Mp:
單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比,即6.振蕩次數(shù):
在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)響應(yīng)曲線(xiàn)振蕩的次數(shù)。返回一、穩(wěn)定性的概念
定義:如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài),當(dāng)擾動(dòng)消失后,系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài),則系統(tǒng)是穩(wěn)定的;否則,系統(tǒng)不穩(wěn)定。§3.3
線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性說(shuō)明
(1)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性,它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù),與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。
(2)對(duì)純線(xiàn)性系統(tǒng),不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大,當(dāng)擾動(dòng)消除后,系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原始平衡狀態(tài),這種系統(tǒng)稱(chēng)為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。
如果系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)作用后,只有當(dāng)初始偏差小于某一范圍時(shí),系統(tǒng)才能在消除擾動(dòng)后,恢復(fù)到原始平衡狀態(tài),這種系統(tǒng)稱(chēng)為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)
(3)控制理論中的穩(wěn)定性均為自由振蕩下的穩(wěn)定性。二、線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件
系統(tǒng)的初始偏差(初始狀態(tài)):
若系統(tǒng)穩(wěn)定,則必有
若系統(tǒng)不穩(wěn)定,則必有
n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程
顯然,只有當(dāng)系統(tǒng)所有特征根Pi的實(shí)部均為負(fù)值,即系統(tǒng)的特征根均在s復(fù)平面的左半平面時(shí),才有,系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。
否則,若特征根Pi中有一個(gè)或多個(gè)根具有正實(shí)部,則必有,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng),下列命題等價(jià):(1)系統(tǒng)穩(wěn)定;(2)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)最終收斂到零;(3)系統(tǒng)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部(即位于s平面虛軸左邊)。
系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件
系統(tǒng)所有特征根Pi的實(shí)部均為負(fù)值,或系統(tǒng)的特征根均在s復(fù)平面的左半平面內(nèi)。三、勞斯判據(jù)
設(shè)n階系統(tǒng)的特征方程為
D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0
將上式的系數(shù)排成下面的行和列,即為勞斯陣列(勞斯表):sna0a2
a4a6……sn-1a1a3a5a7
……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1——不求特征值,就能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性1、勞斯判據(jù):
線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:
(1)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都存在,且均為正;(全為負(fù)可化為全為正)
(2)勞斯表中第一列所有元素均大于零。sna0a2
a4a6…sn-1a1a3a5a7
…sn-2b1b2b3b4…sn-3c1c2c3c4…………s2f1f2s1g1s0h1例3-1已知三階系統(tǒng)特征方程為故得出三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為:
a0>0,
a1>0,
a2>0,
a3>0,a1a2>a0a3
試寫(xiě)出系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件解:列寫(xiě)勞斯表例3-2已知系統(tǒng)特征方程
勞斯表中第一列元素大于零,所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這時(shí),系統(tǒng)所有的特征根均處于s平面的左半平面。(2)列勞斯表:解:(1)特征方程中的系數(shù)全為正。試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。課程回顧(1)1、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(1)延遲時(shí)間td(2)上升時(shí)間tr(3)峰值時(shí)間tp(4)調(diào)整時(shí)間ts(5)最大超調(diào)量Mp(6)振蕩次數(shù)N課程回顧(2)3、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件
系統(tǒng)所有特征根Pi的實(shí)部均為負(fù)值,或系統(tǒng)的特征根均在s復(fù)平面的左半平面內(nèi)。4、勞斯判據(jù):
線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:
(1)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都存在,且均為正;(全為負(fù)可化為全為正)
(2)勞斯表中第一列所有元素均大于零。說(shuō)明
(1)若勞斯表中第一列各元素(系數(shù))的符號(hào)有改變,則勞斯表中第一列各元素符號(hào)改變的次數(shù)等于該系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)(特征根)在s平面的右半平面上的數(shù)目,相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例題1已知系統(tǒng)特征方程試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(1)特征方程中的系數(shù)全為正。(2)列勞斯表:
勞斯表中第一列的元素符號(hào)改變了兩次,因此該系統(tǒng)有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根在s平面的右半平面上,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例3-3已知系統(tǒng)特征方程試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(1)特征方程中的系數(shù)全為正。(2)列勞斯表:
勞斯表中第一列各元素符號(hào)不全為正,系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于符號(hào)改變了兩次,所以該系統(tǒng)有2個(gè)處于s右半平面的根。(2)為了簡(jiǎn)化計(jì)算,可用一個(gè)正數(shù)去除或乘某一整行,不會(huì)改變穩(wěn)定性結(jié)論。
例如,在例1中,為了簡(jiǎn)化后面的計(jì)算勞斯表的第三行乘以2,第五行乘以9,勞斯表變?yōu)樗媒Y(jié)論不變2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況(1)勞斯表中某一行的第一個(gè)元素(系數(shù))為零,而該行其它元不為零。
——計(jì)算下一行第一個(gè)元素時(shí)將出現(xiàn)無(wú)窮大,以至勞斯表的計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。——解決辦法:將0換成無(wú)窮小正數(shù)ε,繼續(xù)計(jì)算…試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-5已知系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)是不穩(wěn)定的(2)勞斯表中某一行的元素全為零。
——這時(shí)系統(tǒng)在s平面上存在一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。
——解決辦法:利用全零行的上一行中的各元素構(gòu)造一個(gè)輔助方程,式中S均為偶數(shù)。將該輔助方程對(duì)S求導(dǎo),用求導(dǎo)得到的方程中的各系數(shù)替代全零行中的各元素,然后繼續(xù)列寫(xiě)勞斯表中其余各行。
——大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根,可以由輔助方程求得。當(dāng)某一行的第一個(gè)元素(系數(shù))為零時(shí),可采用(1)的方法列寫(xiě)其余各行。例2已知試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:(1)特征方程中的系數(shù)全為正。(2)列勞斯表:S3行的各個(gè)元素都為零,為求出以后各行,可用s4行的各元素構(gòu)造輔助方程(整行除2)用4和12替代s3行的各元素
勞斯表中第一列的各元素(系數(shù))符號(hào)沒(méi)有改變,故可以確定該系統(tǒng)在S右半平面沒(méi)有根。但由于s3行全為零,系統(tǒng)有共軛虛根,系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)——屬于不穩(wěn)定狀態(tài)由輔助方程可求得共軛虛根:例3-7系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表:
勞斯表中第一列元素符號(hào)改變一次,系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有一個(gè)S右半平面的根,由P(s)=0得四、赫爾維茨判據(jù)
設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為
以特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)組成如下行列式
赫爾維茨判據(jù):系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在a0>0的情況下,上述行列式的各階主子式Δi均大于零,即
當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時(shí),應(yīng)用赫氏判據(jù)的計(jì)算工作量較大。對(duì)于n≤4的線(xiàn)性系統(tǒng),其穩(wěn)定的充分必要條件可簡(jiǎn)述為:n=2:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正;n=3:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正,△2=a1a2-a0a3〉0。n=4:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正,△2〉0,以及△2〉a12a4/a3例3-8系統(tǒng)的特征方程為列出行列式Δ
由赫爾維茨判據(jù),該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:a0>0a1>0a2>0a3>0a1a2-a0a3>0或?qū)懗桑豪?-9二階系統(tǒng)的特征方程為列出行列式Δ
由Hurwitz判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為
a0>0a1>0a1a2>0
即二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程式的所有系數(shù)均大于零。五、系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響
按勞斯判據(jù),要使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)有K>0,且30-K>0故其取值范圍為
0<K<30例3-10確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為
列勞斯表:例3-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,試分析參數(shù)K1,K2,K3和T對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為:
由于特征方程缺項(xiàng),由勞斯判據(jù)知,不論K1,K2,K3和T取何值系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的,稱(chēng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。
變結(jié)構(gòu)后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為
系統(tǒng)的特征方程為
列勞斯表:
系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為
即對(duì)于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng),改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)后,只要適當(dāng)選配參數(shù)就可使系統(tǒng)穩(wěn)定六、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量
閉環(huán)極點(diǎn)(特征根)處在S左半平面,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,否則不穩(wěn)定
但是,如果特征根雖然處在S左半平面但很靠近虛軸,由于干擾存在,使得很靠近虛軸的根跑到右半平面,系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。
為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,且有良好的動(dòng)態(tài)特性,系統(tǒng)的特征根在s平面的左半平面且與虛軸有一定的距離δ,δ稱(chēng)之為穩(wěn)定裕量
虛軸左移一個(gè)距離δ,得新的復(fù)平面s1,即令s1=s+
δ或s=s1-
δ得到以s1為變量的新特征方程式D(s1)=0,利用代數(shù)判據(jù)判別新特征方程式的穩(wěn)定性若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面,則說(shuō)明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定,而且所有特征根均位于-δ的左側(cè)。例3-12
檢驗(yàn)特征方程式是否有根在s右半平面,以及有幾個(gè)根在
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