自動(dòng)控制原理：時(shí)域分析 PPT

一、時(shí)域法的特點(diǎn)

(1)直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析校正，直觀(guān)，準(zhǔn)確；

(2)可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息；

(3)求解系統(tǒng)輸出的解析解，比較煩瑣。§3.1線(xiàn)性定常系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

控制系統(tǒng)的時(shí)域分析二、時(shí)域法常用的典型輸入信號(hào)

對(duì)于一單輸入單輸出n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)三、線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程

系統(tǒng)在輸入r(t)作用下，輸出c(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律，即式(3-1)微分方程的解，就是系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。四、線(xiàn)性微分方程的解

微分方程的解為

c(t)=c1(t)+c2(t)1、齊次微分方程的通解

（3-1）式經(jīng)拉氏變換后的特征根方程為

設(shè)P1、P2、…Pn為特征方程的n個(gè)不等的特征根，則

若Pi為重根，則

若Pi為共軛復(fù)根，則2、非齊次微分方程的特解§3.2控制系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的性能指標(biāo)一、控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、動(dòng)態(tài)過(guò)程（響應(yīng)）

指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)態(tài)前的響應(yīng)過(guò)程，又稱(chēng)暫態(tài)(過(guò)渡）過(guò)程。2、穩(wěn)態(tài)過(guò)程（響應(yīng)）

指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過(guò)程表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。

穩(wěn)：(基本要求)系統(tǒng)受脈沖擾動(dòng)后能回到原來(lái)的平衡位置準(zhǔn):(穩(wěn)態(tài)要求）穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差(穩(wěn)態(tài)誤差)要小快:(動(dòng)態(tài)要求)過(guò)渡過(guò)程要平穩(wěn)，迅速二、控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)1、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差，即2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)設(shè)2．上升時(shí)間tr：

單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)從t=0開(kāi)始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。1．延遲時(shí)間td：

單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)從t=0開(kāi)始上升到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。3.峰值時(shí)間tp

單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)從t=0開(kāi)始上升到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。4.調(diào)整時(shí)間ts：

單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)進(jìn)入允許的誤差帶（一般取穩(wěn)態(tài)值附近±5%或±2%）并不再超出該誤差帶的最小時(shí)間。5.最大超調(diào)量Mp：

單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比，即6.振蕩次數(shù)：

在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)響應(yīng)曲線(xiàn)振蕩的次數(shù)。返回一、穩(wěn)定性的概念

定義：如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。§3.3

線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性說(shuō)明

（1）穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。

（2）對(duì)純線(xiàn)性系統(tǒng)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)消除后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原始平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)稱(chēng)為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。

如果系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)作用后，只有當(dāng)初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在消除擾動(dòng)后，恢復(fù)到原始平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)稱(chēng)為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)

（3）控制理論中的穩(wěn)定性均為自由振蕩下的穩(wěn)定性。二、線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

系統(tǒng)的初始偏差（初始狀態(tài)）：

若系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有

若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必有

n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程

顯然，只有當(dāng)系統(tǒng)所有特征根Pi的實(shí)部均為負(fù)值，即系統(tǒng)的特征根均在s復(fù)平面的左半平面時(shí)，才有，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。

否則，若特征根Pi中有一個(gè)或多個(gè)根具有正實(shí)部，則必有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，下列命題等價(jià):（1）系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)最終收斂到零；（3）系統(tǒng)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部（即位于s平面虛軸左邊）。

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

系統(tǒng)所有特征根Pi的實(shí)部均為負(fù)值，或系統(tǒng)的特征根均在s復(fù)平面的左半平面內(nèi)。三、勞斯判據(jù)

設(shè)n階系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0

將上式的系數(shù)排成下面的行和列，即為勞斯陣列(勞斯表)：sna0a2

a4a6……sn-1a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1——不求特征值，就能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性1、勞斯判據(jù)：

線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都存在，且均為正；（全為負(fù)可化為全為正）

（2）勞斯表中第一列所有元素均大于零。sna0a2

a4a6…sn-1a1a3a5a7

…sn-2b1b2b3b4…sn-3c1c2c3c4…………s2f1f2s1g1s0h1例3-1已知三階系統(tǒng)特征方程為故得出三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：

a0>0,

a1>0,

a2>0,

a3>0,a1a2>a0a3

試寫(xiě)出系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件解：列寫(xiě)勞斯表例3-2已知系統(tǒng)特征方程

勞斯表中第一列元素大于零，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這時(shí)，系統(tǒng)所有的特征根均處于s平面的左半平面。（2）列勞斯表：解：（1）特征方程中的系數(shù)全為正。試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。課程回顧(1)1、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(1)延遲時(shí)間td(2)上升時(shí)間tr(3)峰值時(shí)間tp(4)調(diào)整時(shí)間ts(5)最大超調(diào)量Mp(6)振蕩次數(shù)N課程回顧(2)3、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

系統(tǒng)所有特征根Pi的實(shí)部均為負(fù)值，或系統(tǒng)的特征根均在s復(fù)平面的左半平面內(nèi)。4、勞斯判據(jù)：

線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都存在，且均為正；（全為負(fù)可化為全為正）

（2）勞斯表中第一列所有元素均大于零。說(shuō)明

（1）若勞斯表中第一列各元素（系數(shù)）的符號(hào)有改變，則勞斯表中第一列各元素符號(hào)改變的次數(shù)等于該系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）在s平面的右半平面上的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例題1已知系統(tǒng)特征方程試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程中的系數(shù)全為正。（2）列勞斯表：

勞斯表中第一列的元素符號(hào)改變了兩次，因此該系統(tǒng)有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根在s平面的右半平面上，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例3-3已知系統(tǒng)特征方程試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程中的系數(shù)全為正。（2）列勞斯表：

勞斯表中第一列各元素符號(hào)不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于符號(hào)改變了兩次，所以該系統(tǒng)有2個(gè)處于s右半平面的根。(2)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可用一個(gè)正數(shù)去除或乘某一整行，不會(huì)改變穩(wěn)定性結(jié)論。

例如，在例1中，為了簡(jiǎn)化后面的計(jì)算勞斯表的第三行乘以2，第五行乘以9，勞斯表變?yōu)樗媒Y(jié)論不變2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況(1)勞斯表中某一行的第一個(gè)元素（系數(shù)）為零，而該行其它元不為零。

——計(jì)算下一行第一個(gè)元素時(shí)將出現(xiàn)無(wú)窮大，以至勞斯表的計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。——解決辦法：將0換成無(wú)窮小正數(shù)ε，繼續(xù)計(jì)算…試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-5已知系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)是不穩(wěn)定的(2)勞斯表中某一行的元素全為零。

——這時(shí)系統(tǒng)在s平面上存在一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。

——解決辦法：利用全零行的上一行中的各元素構(gòu)造一個(gè)輔助方程，式中S均為偶數(shù)。將該輔助方程對(duì)S求導(dǎo)，用求導(dǎo)得到的方程中的各系數(shù)替代全零行中的各元素，然后繼續(xù)列寫(xiě)勞斯表中其余各行。

——大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根，可以由輔助方程求得。當(dāng)某一行的第一個(gè)元素（系數(shù)）為零時(shí)，可采用（1）的方法列寫(xiě)其余各行。例2已知試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程中的系數(shù)全為正。（2）列勞斯表：S3行的各個(gè)元素都為零，為求出以后各行，可用s4行的各元素構(gòu)造輔助方程（整行除2）用4和12替代s3行的各元素

勞斯表中第一列的各元素（系數(shù)）符號(hào)沒(méi)有改變，故可以確定該系統(tǒng)在S右半平面沒(méi)有根。但由于s3行全為零，系統(tǒng)有共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)——屬于不穩(wěn)定狀態(tài)由輔助方程可求得共軛虛根：例3-7系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表：

勞斯表中第一列元素符號(hào)改變一次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有一個(gè)S右半平面的根，由P(s)=0得四、赫爾維茨判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為

以特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)組成如下行列式

赫爾維茨判據(jù):系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在a0>0的情況下，上述行列式的各階主子式Δi均大于零，即

當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用赫氏判據(jù)的計(jì)算工作量較大。對(duì)于n≤4的線(xiàn)性系統(tǒng)，其穩(wěn)定的充分必要條件可簡(jiǎn)述為：n=2:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正；n=3:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正，△2=a1a2-a0a3〉0。n=4:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正，△2〉0，以及△2〉a12a4/a3例3-8系統(tǒng)的特征方程為列出行列式Δ

由赫爾維茨判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：a0>0a1>0a2>0a3>0a1a2-a0a3>0或?qū)懗桑豪?-9二階系統(tǒng)的特征方程為列出行列式Δ

由Hurwitz判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

a0>0a1>0a1a2>0

即二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程式的所有系數(shù)均大于零。五、系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

按勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)有K>0，且30-K>0故其取值范圍為

0<K<30例3-10確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

列勞斯表：例3-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試分析參數(shù)K1，K2，K3和T對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為：

由于特征方程缺項(xiàng)，由勞斯判據(jù)知，不論K1，K2，K3和T取何值系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，稱(chēng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。

變結(jié)構(gòu)后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為

列勞斯表：

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

即對(duì)于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)后，只要適當(dāng)選配參數(shù)就可使系統(tǒng)穩(wěn)定六、相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量

閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）處在S左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定

但是，如果特征根雖然處在S左半平面但很靠近虛軸，由于干擾存在，使得很靠近虛軸的根跑到右半平面，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，且有良好的動(dòng)態(tài)特性，系統(tǒng)的特征根在s平面的左半平面且與虛軸有一定的距離δ，δ稱(chēng)之為穩(wěn)定裕量

虛軸左移一個(gè)距離δ，得新的復(fù)平面s1，即令s1=s+

δ或s=s1-

δ得到以s1為變量的新特征方程式D(s1)=0，利用代數(shù)判據(jù)判別新特征方程式的穩(wěn)定性若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，則說(shuō)明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于-δ的左側(cè)。例3-12

檢驗(yàn)特征方程式是否有根在s右半平面，以及有幾個(gè)根在