北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 6.2 反比例函數(shù)的圖象

6.2

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)第六章反比例函數(shù)第1課時(shí)反比例函數(shù)的圖象1．什么是反比例函數(shù)？2．反比例函數(shù)的定義中需要注意什么？（1）k

是非零常數(shù).（2）xy=k．一般地，形如y=(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．kx—3．還記得正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)嗎？回顧與思考函數(shù)正比例函數(shù)表達(dá)式圖象形狀k>0k<0位置增減性位置增減性y=kx(k是常數(shù)，k≠0）直線（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）一、三象限從左到右上升y隨

x的增大而增大二、四象限

從左到右下降y隨

x的增大而減小反比例函數(shù)？4.如何畫(huà)函數(shù)的圖象？函數(shù)圖象畫(huà)法描點(diǎn)法列表描點(diǎn)連線想一想：

正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像的位置和增減性是由誰(shuí)決定的？我們是如何探究得到的？反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)又如何呢？反比例函數(shù)的圖象問(wèn)題：如何畫(huà)反比例函數(shù)的圖象？列表描點(diǎn)連線解：列表如下應(yīng)注意1.自變量

x

需要取多少值?為什么?2.取值時(shí)要注意什么?x-8-4-3-2-112348y-1-2-4-88421描點(diǎn)、連線：x-8

–7

–6

–5

–4

–3

-2

-1

O

1

2

34

5

6

7

8y-1-2-3-4-5-6-7-887654321●●●●●●●●●●●●想一想：你認(rèn)為作反比例函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題?1.列表時(shí)，自變量的值可以選取一些互為相反數(shù)的值這樣既可簡(jiǎn)化計(jì)算，又便于對(duì)稱性描點(diǎn)；2.列表描點(diǎn)時(shí)，要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣既可以方便連線，又較準(zhǔn)確地表達(dá)函數(shù)的變化趨勢(shì)；3.連線時(shí)，一定要養(yǎng)成按自變量從小到大的順序，

依次用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，從中體會(huì)函數(shù)的增減性；……注意要點(diǎn)請(qǐng)大家用同樣的方法作反比例函數(shù)

的圖象.解析：通過(guò)剛剛的學(xué)習(xí)可知畫(huà)圖象的三個(gè)步驟為列表描點(diǎn)連線需要注意的是在反比例函數(shù)中自變量

x不能為

0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…0.8124-4-2-1-0.8…描點(diǎn)：以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描繪出相應(yīng)的點(diǎn)．連線：用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，即可得

的圖象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556yxy=

x4O問(wèn)題：觀察前面繪制出來(lái)的圖象，想一想它們有什么樣的共同點(diǎn)與特征呢？xyxy雙曲線

是軸對(duì)稱圖形，也是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形．OO相同點(diǎn)：1.兩支曲線構(gòu)成；

2.與坐標(biāo)軸不相交；3.圖象自身關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；4.圖象自身是軸對(duì)稱圖形。不同點(diǎn)：

的圖象在第一、三象限；

的圖象在第二、四象限。歸納總結(jié)

形狀：反比例函數(shù)

的圖象由兩支曲線組成，因此稱反比例函數(shù)

的圖象為雙曲線.

位置：由

k

決定：

當(dāng)k>0時(shí)，兩支曲線分別位于_______________內(nèi)；當(dāng)k<0時(shí)，兩支曲線分別位于_______________內(nèi).第一、三象限第二、四象限1.

反比例函數(shù)

的圖象大致是()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo練一練例1：若雙曲線y=的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，則k的取值范圍是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，則必有2k-1＜0，解得k＜

.故選B.B典例精析例2:如圖所示的曲線是函數(shù)(m為常數(shù))圖象的一支．(1)求常數(shù)

m的取值范圍；解：由題意可得，m－5＞0，解得m＞5.xyO(2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)

y＝2x的圖象在第一象限的交點(diǎn)為

A(2，n)，求點(diǎn)

A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式．解：∵兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)為A(2，n)，

∴，

解得

.

∴點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為(2，4)；反比例函數(shù)的表達(dá)式為

.

xyO

１．已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，則m的取值范圍是________2.下列函數(shù)中，其圖象位于第一、三象限的有

_____________；

圖象位于二、四象限的有___________.(1)(2)(3)(4)3.如圖，已知直線y=mx與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，3)，則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(1，3)B.(3，1)C.(1，-3)D.(-1，3)xyCO4.已知反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)．(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；解：∵反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)，∴把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，

解得k=

6.∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為.

(2)判斷點(diǎn)B(－1，6)，C(3，2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由；解：分別把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式，因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)不滿足該表達(dá)式，點(diǎn)C

的坐標(biāo)滿足該表達(dá)式，所以點(diǎn)B不在該函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在該函數(shù)的圖象上．反比例函數(shù)的圖象形狀雙曲線位置畫(huà)法當(dāng)k＞0時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)當(dāng)k＜0時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)描點(diǎn)法：列表、描點(diǎn)、連線6.2

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)第六章反比例函數(shù)第2課時(shí)反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖象是什么？反比例函數(shù)的性質(zhì)是什么？能類比前面學(xué)習(xí)的一次函數(shù)得到嗎？反比例函數(shù)的圖象是雙曲線復(fù)習(xí)引入問(wèn)題1

問(wèn)題2

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)合作探究例1

畫(huà)反比例函數(shù)與的圖象.提示：畫(huà)函數(shù)的圖象步驟一般為：列表→描點(diǎn)→連線.需要注意的是在反比例函數(shù)中自變量x不能為0.解：列表如下：x…-6-5-4-3-2-1123456……………-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21-2-2.4-3-4-66432.42-1212-1-5-4-6O-2x123456-356y4321-1-2-3-4-5-6描點(diǎn)：以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描繪出相應(yīng)的點(diǎn)．連線：用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，即可得函數(shù)與的圖象.觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，回答下列問(wèn)題：思考：(1)每個(gè)函數(shù)圖象分別位于哪些象限？(2)在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著

x的增大，y如何變化？你能由它們的表達(dá)式說(shuō)明原因嗎？(3)對(duì)于反比例函數(shù)(k＞0)，

考慮問(wèn)題(1)(2)，你能得出同樣的結(jié)論嗎？●由兩條曲線組成，且分別位于第一、三象限它們與x軸、y軸都不相交；●在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.反比例函數(shù)(k＞0)的圖象和性質(zhì)：知識(shí)要點(diǎn)觀察與思考

當(dāng)k=－2，－4，－6時(shí)，反比例函數(shù)的圖象有哪些共同特征？回顧上面我們利用函數(shù)圖象，從特殊到一般研究反比例函數(shù)(k＞0)的性質(zhì)的過(guò)程，你能用類似的方法研究反比例函數(shù)

(k＜0)的圖象和性質(zhì)嗎？yxOyxOyxO反比例函數(shù)(k＜0)的圖象和性質(zhì)：●由兩條曲線組成，且分別位于第二、四象限它們與

x軸、y軸都不相交；●在每個(gè)象限內(nèi)，y隨

x的增大而增大.歸納：

(1)當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?2)當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四

象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

一般地，反比例函數(shù)(k≠0)的圖象是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：

k的正負(fù)決定反比例函數(shù)圖象的位置和增減性

點(diǎn)(2，y1)和(3，y2)均在函數(shù)

的圖象上，則

y1

y2(填“＞”“＜”或“=”).＜練一練例2

已知反比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，求

a的值.解：由題意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的初步運(yùn)用練一練

已知反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，求m的值．解：由題意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.例3

已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，6).(1)這個(gè)函數(shù)的圖象位于哪些象限？y隨x的增大如何變化？解：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，6)在第一象限，所以這個(gè)函數(shù)的圖象位于第一、三象限；在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.(2)點(diǎn)B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上？解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，因?yàn)辄c(diǎn)

A(2，6)在其圖象上，所以有，解得k=12.

因?yàn)辄c(diǎn)B，C的坐標(biāo)都滿足該表達(dá)式，而點(diǎn)D的坐標(biāo)不滿足，所以點(diǎn)B，C在這個(gè)函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D

不在這個(gè)函數(shù)的圖象上.所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為.(1)圖象的另一支位于哪個(gè)象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？Oxy例4

如圖，是反比例函數(shù)圖象的一支.根據(jù)圖象，回答下列問(wèn)題：解：因?yàn)檫@個(gè)反比例函數(shù)圖象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)圖象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎樣的大小關(guān)系？解：因?yàn)閙－5＞0，所以在這個(gè)函數(shù)圖象的任一支上，y都隨x的增大而減小，因此當(dāng)x1＞x2時(shí)，

y1＜y2.5.已知反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)．(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；解：∵反比例函數(shù)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)，∴把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，

解得k=

6.∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為.

(2)判斷點(diǎn)B(－1，6)，C(3，2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由；解：分別把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式，因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)不滿足該表達(dá)式，點(diǎn)C

的坐標(biāo)滿足該表達(dá)式，所以點(diǎn)B不在該函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在該函數(shù)的圖象上．

(3)當(dāng)－3<x<－1時(shí)，求y的取值范圍．解：∵當(dāng)x=－3時(shí)，y=－2；當(dāng)x=－1時(shí)，y=－6，且k>0，∴當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)－3<x<－1時(shí)，－6<y<－2.1.在反比例函數(shù)的圖象上分別取點(diǎn)

P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為

S1，S2

的矩形，并填寫(xiě)下頁(yè)表格：合作探究反比例函數(shù)表達(dá)式中k的幾何意義51234-15xyOPS1

S2P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1與S2的關(guān)系猜想S1，S2與k的關(guān)系44S1

=S2S1=S2=k-5-4-3-21432-3-2-4-5-1QS1

的值S2

的值S1與

S2的關(guān)系猜想

S1，S2與k的關(guān)系P(－1，4)，Q(－2，2)2.

若在反比例函數(shù)的圖象

上也用同樣的方法取

P，Q兩點(diǎn)，并分別向兩坐標(biāo)軸引垂線，

圍成面積為

S1，S2

的矩形，填寫(xiě)表格：44S1=S2S1=S2=-kyxOPQS1

S2由前面的探究過(guò)程，可以猜想：

若點(diǎn)

P是反比例函數(shù)(k≠0)圖象上的任意一點(diǎn)，作PA⊥x軸于點(diǎn)

A，PB⊥y軸于點(diǎn)

B，點(diǎn)

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，則矩形AOBP的面積與

k的關(guān)系是

S矩形AOBP=|k|.自己嘗試證明

k>0的情況.yxOPS我們就k＜0的情況給出證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b).AB∵點(diǎn)P(a，b)在函數(shù)的圖象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=

PB·PA=-a·b=-ab=

-k.若點(diǎn)P

在第二象限，則a＜0，b＞0.若點(diǎn)P在第四象限，則a＞0，b＜0.∴S矩形AOBP=

PB·PA=a·(-b)=

-ab=

-k.BPA綜上可知，S矩形AOBP=|k|.k＞0的情況請(qǐng)同學(xué)們自行證明！點(diǎn)Q是其圖象上的任意一點(diǎn)，作QA⊥y軸于點(diǎn)

A，作QB⊥x軸于點(diǎn)

B，則矩形

AOBQ的面積與k的關(guān)系是

S矩形AOBQ

=

.推論：△QAO

與△QBO

的面積和k的關(guān)系是

S△QAO

=

S△QBO

=.對(duì)于反比例函數(shù)

(k≠0)，AB|k|yxO歸納：反比例函數(shù)的面積不變性QA，B，C，過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與

x

軸、y

軸圍成的矩形的面積分別為

SA，SB，SC，則()A.SA＞SB＞SC

B.SA＜SB＜SCC.SA=

SB

=

SC

D.SA＜SC＜SB1.如圖，在函數(shù)(x＞0)

的圖象上有三點(diǎn)

yxOABCC練一練2.如圖，過(guò)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P，作PA⊥x軸于

A.若△POA的面積為6，則k=

.-12提示：當(dāng)反比例函數(shù)圖象在第二、四象限時(shí)，注意k＜0.yxOPA3.

若點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向

x軸、y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，若四邊形

PMON的面積為3，則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是

.或的任意兩點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線PA，垂足為A，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CD，垂足為D，連接OC交PA于點(diǎn)E.設(shè)△POA的面積為S1，則S1

=

；梯形

CEAD

的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是S1

S2；△POE的面積S3和S2的大小關(guān)系是

S3

S2.例5

如圖，P，C

是函數(shù)(x＞0)圖象上典例精析2S1S2＞＝S3如圖所示，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P練一練解析：由反比例函數(shù)面積的不變性易知S1=S2.PE與雙曲線的一支交于點(diǎn)F，連接OF，易知

S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小關(guān)系為

S1=S2＜

S3FS1S2S3是

AB上的點(diǎn)，△AOC的面積S1，△BOD的面積S2，△POE的面積S3的大小關(guān)系為

.S1=S2＜S3例6

如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)(x＞0)

圖象上的任意一點(diǎn)，AB∥x軸交反比例函數(shù)(x＜0)的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，其中點(diǎn)C，D在x軸上，則S平行四邊形ABCD=___.yDBACx325

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)

M的直線與x軸平行，且直線分別與反比例函數(shù)(x＞0)和(x＜0)的圖象交于點(diǎn)P，Q，若△POQ的面積為8，則k=______.QPOxMy－10練一練例7

如圖所示，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在雙曲線上，且x2－x1=4，y1－y2=2.分別過(guò)點(diǎn)A，B向x軸、y軸作垂線，垂足分別為C，D，E，F(xiàn)，AC與BF相交于G點(diǎn)，四邊形FOCG的面積為2，五邊形AEODB的面積為14，那么雙曲線的表達(dá)式為

.解得k=6.∴雙曲線的表達(dá)式為.解析：∵x2－x1=4，y1－y2=2，∴BG=4，AG=2，∴S△ABG=4×2÷2=4.由反比例函數(shù)面積的不變性可知，S長(zhǎng)方形ACOE=S長(zhǎng)方形BDOF=k.∴S五邊形AEODB

=

S四邊形ACOE+S四邊形BDOF－S四邊形FOCG+S△ABG=k+k－2+4=14.解析：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥x

軸于點(diǎn)F.∵P

是AC的中點(diǎn)，∴S四邊形OCPD=S四邊形ACOE=S四邊形BDOF

=k，

如圖，已知點(diǎn)A，B在雙曲線上，AC⊥x軸于點(diǎn)

C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC與BD交于點(diǎn)P，P是AC的中點(diǎn)，若△ABP的面積為

6，則k=

.24練一練EFS△ABP=S四邊形BFCP，=(S四邊形BDOF－S四邊形OCPD)=(k－k)=k=6.∴k=24.1.已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，

則

m的取值范圍是________.2.

下列關(guān)于反比例函數(shù)