（大學(xué)課件）隨機(jī)變量及其分布：典型例題

典型例題一、離散型隨機(jī)變量（一）求概率分布1.一批零件有９件合格品，３件次品，安裝機(jī)器時，從中任取一個，直到取到正品，就下列兩種取樣方式a)放回取樣；b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù)Ｘ的概率分布．2.設(shè)某種試驗(yàn)成功的概率為p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)成功兩次，求試驗(yàn)次數(shù)Ｘ的概率分布．

3.

拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0＜p＜1），設(shè)X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求X的分布列。1.一批零件有９件合格品，３件次品，安裝機(jī)器時，從中任取一個，直到取到正品，就下列兩種取樣方式a)放回取樣；b)不放回取樣，計(jì)算抽取次數(shù)Ｘ的概率分布．解：a)放回取樣Ｘ可?。保?，３，…

，概率分布為：

b)不放回取樣Ｘ可?。保?，３，４，概率分布為：2.設(shè)某種試驗(yàn)成功的概率為p，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)直到試驗(yàn)成功兩次，求試驗(yàn)次數(shù)Ｘ的概率分布．解：Ｘ可?。?，３，…

，概率分布為

3.拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0＜p＜1），設(shè)X為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求X的分布列。解：Ｘ可?。?，３，…

，概率分布為（二）概率分布已知，相關(guān)問題的計(jì)算４．設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ的概率分布為求（１）α；（２）分布函數(shù)；（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝解：(1)由得α＝0.25（３）Ｐ｛０＜Ｘ＜５｝=Ｐ｛X=1}+P{X=3}=0.45（三）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計(jì)算５．設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)為求（１）Ｘ的概率分布；（２）Ｐ｛１≤X＜５｝；解：(1)P{X=0}=F(0)-F(0-0)=0.3-0=0.3

P{X=1}=F(1)-F(1-0)=0.5-0.3=0.2

P{X=3}=F(3)-F(3-0)=0.9-0.5=0.4

P{X=5}=F(5)-F(5-0)=1-0.9=0.1（２）Ｐ｛１≤X＜５｝

=F(5-0)-F(1-0)=0.9-0.3=0.6(四）幾種重要分布６．一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行４次射擊，每次射擊的命中率相同，如果至少命中一次的概率為80/81，求該射手的命中率．解：設(shè)該射手的命中率為p,命中次數(shù)為Ｘ，則Ｘ～B(4,p)

由題意得P{X≥1}=80/81,所以P{X＝0}=1/81即(1-p)4=1/81,所以p=2/37.某商店訂了１０００瓶飲料，設(shè)每個飲料瓶是否被打破相互獨(dú)立，每個飲料瓶被打破的概率0.003，求商店收到破碎瓶子數(shù)分別是(１)恰有２只；(２)小于２只；(３)至少是１只的概率．已知e-3=0.0498解：設(shè)收到的破碎瓶子數(shù)為Ｘ，則Ｘ～B(1000,0.003)

由于n較大，p較小，可用泊松定理作近似計(jì)算λ＝np=3(1)P{X=2}≈(32/2!)e-3≈0.2241(2)P{X＜2}=P{X=0}+P{X=1}≈(30/0!)e-3+(31/1!)e-3

=4e-3≈0.1992(3)P{X≥1}=1-P{X=0}≈1-e-3≈0.9502二、連續(xù)型隨機(jī)變量（一）分布函數(shù)已知，相關(guān)問題的計(jì)算１．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)為求（１）Ａ和Ｂ；（３）隨機(jī)變量Ｘ的概率密度；解：(1)利用F(+∞)=1,及F(x)在x=0處的連續(xù)性得：A=1A+B=0所以Ａ＝１，B=-1=F(2)(二）概率密度已知，相關(guān)問題的計(jì)算；２．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為求（１）Ａ；解：由概率密度的性質(zhì)得：而所以A=43.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為求分布函數(shù)Ｆ(x)．當(dāng)0≤x＜1時，當(dāng)1≤x＜2時，當(dāng)x≥2時,(三）正態(tài)分布的有關(guān)問題４．某地外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)椋罚卜?，９６分以上占考生總?shù)2.28％，求考生成績在６０分至８４分之間的概率．解：由題設(shè)知：外語成績Ｘ近似服從正態(tài)分布X～N（μ,σ2）其中μ＝７２，σ2未知，由于即：查表得：因此σ=12所以解因X～N（0