福建省三明市數(shù)學二模試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年福建省三明市高考數(shù)學二模試卷（理科)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A=｛x｜1＜2x≤16}，B=｛x｜x＜a｝，若A∩B=A，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)＞02．已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．6名同學合影留念，站成兩排三列，則其中甲乙兩人不在同一排也不在同一列的概率為（）A． B． C． D．4．設F1，F(xiàn)2為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為Γ上一點,PF2與x軸垂直，直線PF1的斜率為，則雙曲線Γ的漸近線方程為（)A．y=±x B． C． D．y=±2x5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,若輸入x的值為2，則輸出S的值為（)A．64 B．84 C．340 D．13646．已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且，則S2016=（）A．3?21008﹣3 B．22016﹣1 C．22009﹣3 D．22008﹣37．已知函數(shù)f(x）=sin(x+φ）﹣2cos(x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于直線x=π對稱，則cos2φ=（）A． B． C． D．8．在區(qū)域中，若滿足ax+y＞0的區(qū)域面積占Ω面積的，則實數(shù)a的值是()A． B． C． D．9．在四面體ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，則直線AB與CD所成角的余弦值為（）A．﹣ B．﹣ C． D．10．函數(shù)的圖象大致是（)A． B． C． D．11．已知F1,F2是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q,且點Q為線段PF2的中點，則(其中e為橢圓C的離心率）的最小值為(）A． B． C． D．12．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉微在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合)在一起的方形傘（方蓋)．如圖,正邊形ABCD是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線,若該幾何體的正視圖與側視圖都是半徑為r的圓，根據(jù)祖暅原理，可求得該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知向量，滿足=（，1），｜|=1,且=λ,則實數(shù)λ=．14．已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為20,則a=．15．已知函數(shù)f(n）=n2cos（nπ),數(shù)列{an}滿足an=f（n)+f（n+1）（n∈N+)，則a1+a2+…+a2n=．16．對于定義域為R的函數(shù)f（x）,若滿足①f（0）=0；②當x∈R，且x≠0時，都有xf’(x）＞0；③當x1≠x2，且f(x1）=f（x2）時，x1+x2＜0，則稱f(x）為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個函數(shù)：g（x）=;φ（x）=ex﹣x﹣1．則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)個數(shù)為．三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中,角A，B，C所對的邊分別為a，b,c,且B=60°，c=4．（Ⅰ)若b=6,求角C的正弦值及△ABC的面積;(Ⅱ)若D,E在線段BC上,且BD=DE=EC，,求AD的長．18．如圖,在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，AD=AP=2，，E為CD的中點，點F在線段PB上．（Ⅰ）求證：AD⊥PC；(Ⅱ)試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．19．某市政府為了引導居民合理用水,決定全面實施階梯水價,階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6。60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7。80元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0，2］，（2，4］，…，（14，16]分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）假設用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計全市的居民用水情況．(i）現(xiàn)從全市居民中依次隨機抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率;（ⅱ)試估計全市居民用水價格的期望（精確到0.01）；（Ⅱ)如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費y(元）與月份x的散點圖，其擬合的線性回歸方程是．若李某2016年1～7月份水費總支出為294。6元，試估計李某7月份的用水噸數(shù)．20．已知橢圓的右焦點F(1，0），橢圓Γ的左,右頂點分別為M,N．過點F的直線l與橢圓交于C，D兩點，且△MCD的面積是△NCD的面積的3倍．（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；（Ⅱ）若CD與x軸垂直，A，B是橢圓Γ上位于直線CD兩側的動點,且滿足∠ACD=∠BCD,試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．21．已知函數(shù)f（x）=e2x（ax2+2x﹣1），a∈R．(Ⅰ)當a=4時,求證:過點P（1,0)有三條直線與曲線y=f（x）相切；（Ⅱ)當x≤0時，f（x）+1≥0，求實數(shù)a的取值范圍．請考生在（22）、（23）兩題中任選一題作答．注意:只能做所選定的題目．如果多做,則按所做第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若直線l的極坐標方程為，曲線C的極坐標方程為:ρsin2θ=cosθ，將曲線C上所有點的橫坐標縮短為原來的一半,縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線C1．（Ⅰ)求曲線C1的直角坐標方程;（Ⅱ）已知直線l與曲線C1交于A，B兩點，點P（2，0），求|PA|+｜PB｜的值．[選修4—5：不等式選講］23．已知函數(shù)f(x）=|2x﹣a｜+｜2x﹣1|，a∈R．（I）當a=3時，求關于x的不等式f（x）≤6的解集；（II）當x∈R時，f（x）≥a2﹣a﹣13，求實數(shù)a的取值范圍．

2017年福建省三明市高考數(shù)學二模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A={x｜1＜2x≤16｝,B={x|x＜a}，若A∩B=A，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞4 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)＞0【考點】18：集合的包含關系判斷及應用．【分析】由A∩B=A得A?B,可解得結論．【解答】解：A=｛x｜1＜2x≤16}={x｜0＜x≤4}，∵A∩B=A，∴A?B，∵B={x｜x＜a},∴a＞4，故選A．2．已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)，求出復數(shù)的共軛復數(shù)，進一步求出在復平面內(nèi)對應的點的坐標得答案．【解答】解:∵=，∴復數(shù)的共軛復數(shù)為：．∴在復平面內(nèi)對應的點的坐標為:(，），位于第四象限．故選：D．3．6名同學合影留念，站成兩排三列,則其中甲乙兩人不在同一排也不在同一列的概率為（)A． B． C． D．【考點】CB:古典概型及其概率計算公式．【分析】求出甲乙兩人不在同一排也不在同一列的站隊方法、6名同學的站隊方法，即可得出結論．【解答】解：根據(jù)題意,分3步進行討論:1、先安排甲,在6個位置中任選一個即可,有C61=6種選法；2、在與甲所選位置不在同一排也不在同一列的2個位置中，任選一個，安排乙，有C21=2種選法;3、將剩余的4個人,安排在其余的4個位置，有A44=24種安排方法；則甲乙兩人不在同一排也不在同一列的站隊方法有6×2×24=288種；又6名同學的站隊方法有A66=720，∴所求概率為=，故選B．4．設F1，F(xiàn)2為雙曲線(a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為Γ上一點,PF2與x軸垂直，直線PF1的斜率為,則雙曲線Γ的漸近線方程為（)A．y=±x B． C． D．y=±2x【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出PF2，則=，化簡整理即可得出a，b的關系,得出漸近線方程．【解答】解：把x=c代入得y=±,∴PF2=，∵直線PF1的斜率為，∴==,∴，即2c2﹣2a2﹣3ac=0，∴2e2﹣3e﹣2=0，∴e=2或e=﹣（舍)．∴=2，即，∴b=a，∴雙曲線的漸近線方程為y=±x．故選：C．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,若輸入x的值為2，則輸出S的值為（）A．64 B．84 C．340 D．1364【考點】EF:程序框圖．【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的x，S的值，當S=84時滿足條件S≥64，退出循環(huán)，輸出S的值為84．【解答】解:模擬程序的運行，可得x=2,S=0S=4不滿足條件S≥64，x=4，S=20不滿足條件S≥64,x=8,S=84滿足條件S≥64，退出循環(huán)，輸出S的值為84．故選:B．6．已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且，則S2016=(）A．3?21008﹣3 B．22016﹣1 C．22009﹣3 D．22008﹣3【考點】8E:數(shù)列的求和．【分析】an+1?an=2n（n∈N*)，a1=1，可得an+2?an+1=2n+1，=2,因此數(shù)列｛an}奇數(shù)項與偶首項分別成等比數(shù)列，公比為2，首項分別1，2分別求出和即可．【解答】解：∵an+1?an=2n（n∈N＊），a1=1，∴a2=2,a3=2．又an+2?an+1=2n+1，∴=2，∴數(shù)列｛an｝奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比為2，首項分別為1，2．∴S2016=（a1+a3+…+a2015）+（a2+a4+…+a2016）=+=3?21008﹣3．故選：A7．已知函數(shù)f（x)=sin（x+φ）﹣2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于直線x=π對稱，則cos2φ=（）A． B． C． D．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應用；H2:正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意可得f()=f（)，化簡可得tanφ的值，再根據(jù)cos2φ==，計算求的結果．【解答】解：∵函數(shù)f(x）=sin（x+φ）﹣2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的圖象關于直線x=π對稱,∴f（）=f()，即cosφ+2sinφ=﹣cosφ﹣2sinφ，即cosφ=﹣2sinφ，即tanφ=﹣，則cos2φ====，故選:A．8．在區(qū)域中，若滿足ax+y＞0的區(qū)域面積占Ω面積的，則實數(shù)a的值是（）A． B． C． D．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】先利用二元一次不等式（組）與平面區(qū)域,根據(jù)約束條件畫出可行域，然后求出區(qū)域的面積即可，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合確定a的值【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分)可知A（0，1），B（0，﹣1），C(1，0），x，y滿足約束條件，則點P（x，y）所在區(qū)域的面積就是三角形的面積:S△ABC=×2×1=1．設y=﹣ax，結合圖形可知a＜0時,才能滿足滿足ax+y＞0的區(qū)域面積占Ω面積的,由,解得xD=，則S△OAD=×1×=，解得a=﹣，故選：C．9．在四面體ABCD中,若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，則直線AB與CD所成角的余弦值為（)A．﹣ B．﹣ C． D．【考點】LM：異面直線及其所成的角．【分析】如圖所示，構造長方體,求出長方體的長、寬、高，EF∥AB,∠FOC為直線AB與CD所成角，利用余弦定理可得結論．【解答】解：如圖所示,構造長方體,設長方體的長、寬、高分別為a，b，c,則，∴a=，b=1，c=,即CE=1，CF=，F(xiàn)B=,∵EF∥AB,∴∠FOC為直線AB與CD所成角，△OCF中，OC=OF=，CF=，∴cos∠FOC==，故選D．10．函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【考點】3O:函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及特殊點的坐標所在位置判斷即可．【解答】解：函數(shù)可知：f（﹣x）=f(x),函數(shù)的定義域是{x|x≠0｝，當x=e時,函數(shù)的圖象經(jīng)過（e，），是第一象限的點,x=1,f（1）=0，排除B，C．x→0，f（x)→0,顯然A不滿足題意．故選：D．11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點,點P在橢圓C上,線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q,且點Q為線段PF2的中點，則（其中e為橢圓C的離心率）的最小值為（）A． B． C． D．【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】如圖所示,由切線的性質(zhì)可得:OQ⊥PF2．又點O為線段F1F2的中點,利用三角形中位線定理可得：OQ∥PF1,PF1⊥PF2．再利用橢圓的定義、勾股定理可得（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c)2，化為:b=．c2=a2﹣b2=．代入，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示,由切線的性質(zhì)可得：OQ⊥PF2．又點O為線段F1F2的中點,Q為線段PF2的中點，∴OQ∥PF1，∴PF1⊥PF2．∴|PF1|=2｜OQ｜=2b，｜PF2｜=2a﹣2b．在Rt△PF1F2中，（2b）2+（2a﹣2b）2=(2c）2，化為：b2+（a﹣b）2=c2=a2﹣b2，化為：b=．∴c2=a2﹣b2==．∴===≥=，當且僅當a2=時取等號．∴（其中e為橢圓C的離心率）的最小值為．故選：C．12．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉微在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體，它由完全相同的四個曲面構成,相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘(方蓋)．如圖，正邊形ABCD是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，若該幾何體的正視圖與側視圖都是半徑為r的圓，根據(jù)祖暅原理，可求得該幾何體的體積為(）A． B． C． D．【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)祖暅原理，可求得該幾何體的體積為與中截面面積為(2r)2的球的體積．【解答】解：由題意,根據(jù)祖暅原理,可求得該幾何體的體積為與中截面面積為（2r）2=πR2的球的體積相等，所以幾何體的體積為；故選C．二、填空題:本大題共4小題,每小題5分．13．已知向量，滿足=（，1)，||=1，且=λ，則實數(shù)λ=±2．【考點】9J：平面向量的坐標運算．【分析】由=λ,可得=|λ｜，解出即可得出．【解答】解：∵=λ,∴=｜λ|，∴2=｜λ｜,解得λ=±2．故答案為：±2．14．已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為20，則a=2．【考點】DB：二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項中常數(shù)項與后一項x的二次項乘積，加上第一項x的系數(shù)與第二項x的系數(shù)乘積之和等于20，由此解得a的值．【解答】解：∵已知（1+ax)（1+x)5=（1+ax)（1+x+x2+x3+x4+x5）展開式中x2的系數(shù)為+a=20，求得a=2，故答案為：2．15．已知函數(shù)f(n）=n2cos（nπ)，數(shù)列｛an｝滿足an=f（n）+f(n+1）（n∈N+)，則a1+a2+…+a2n=﹣2n．【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】函數(shù)f（n）=n2cos(nπ），數(shù)列｛an｝滿足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），可得：a2k﹣1=4k﹣1．a(chǎn)2k=﹣4k﹣1．a(chǎn)2k﹣1+a2k=﹣2．即可得出．【解答】解:函數(shù)f(n）=n2cos（nπ），數(shù)列｛an}滿足an=f（n）+f（n+1）（n∈N+），a2k﹣1=f（2k﹣1）+f（2k)=﹣（2k﹣1）2+（2k）2=4k﹣1．a(chǎn)2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k）2﹣（2k+1)2=﹣4k﹣1．∴a2k﹣1+a2k=﹣2．∴a1+a2+…+a2n=﹣2n．故答案為:﹣2n．16．對于定義域為R的函數(shù)f（x），若滿足①f（0）=0；②當x∈R，且x≠0時,都有xf’（x）＞0；③當x1≠x2，且f（x1）=f（x2）時，x1+x2＜0，則稱f（x）為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個函數(shù):g(x）=;φ（x）=ex﹣x﹣1．則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)個數(shù)為2．【考點】3T：函數(shù)的值；5A:函數(shù)最值的應用；6B:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】逐個條件進行驗證：首先可驗證四個函數(shù)都滿足條件①;對于條件②,若f′（x)的符號容易判斷，可驗證不等式xf'（x）＞0成立，若f′（x）的符號不容易判斷，可理解到為函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增,通過函數(shù)的單調(diào)性進行判斷，可排除不滿足條件的g(x）和Φ(x)；對剩余的函數(shù)驗證條件③，h（x）和Φ（x）都在區(qū)間（﹣∞,0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+∞）上單調(diào)遞增，所以由條件③可設x1＜0＜x2，則有h（﹣x2)﹣h（x1）=h（﹣x2)﹣h（x2），構造函數(shù)F（x）=h(﹣x）﹣h（x),通過求導判斷F(x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，從而判斷F（x2)與F(0）的大小關系，即得到h（﹣x2）與h（x1)的大小關系，從而得到x1+x2的符號，判斷條件③是否成立，函數(shù)φ（x)同樣的方法來驗證條件③．【解答】經(jīng)驗證，g（x），h(x),Φ（x）,φ（x）都滿足條件①；xf′（x）＞0?,或．即條件②等價于函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0，+∞）上單調(diào)遞增．而容易驗證g（x）是奇函數(shù)，由及函數(shù)的性質(zhì)可知g(x）在區(qū)間(﹣∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)性相同,故g(x)不滿足條件②．由復合函數(shù)的單調(diào)性法則知h(x）在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞減，顯然在（0,+∞）上單調(diào)遞增，故h(x）滿足條件②．Φ′（x）=﹣3x2+3x，xΦ′（x）=﹣3x3+3x2=﹣3x2（x﹣1),當x＞1時，xΦ′（x）＜0，故Φ(x）不滿足條件②．φ′（x）=ex﹣1，xφ′（x）=x（ex﹣1）,滿足條件②．故由條件②可排除g（x)和Φ（x）；由函數(shù)h（x）的單調(diào)性知:當x1≠x2，且h（x1）=h（x2）時，x1x2＜0，不妨設x1＜0＜x2．則ln（﹣x1+1）=2x2，設F（x）=ln（x+1）﹣2x,x＞0．則F′（x）=＜0,F（x)在（0,+∞）上是減函數(shù)，所以F（x2)＜F（0）=0，即ln（x2+1）＜2x2，即ln（x2+1）＜ln（﹣x1+1)，所以x2+1＜﹣x1+1,即x1+x2＜0,故h(x）也滿足條件③,所以h（x)是“偏對稱函數(shù)”．由φ（x)的單調(diào)性知當x1≠x2，且φ（x1）=φ(x2）時，x1x2＜0,不妨設x1＜0＜x2．則，﹣x2＜0，φ（x1）﹣φ（﹣x2）=φ（x2）﹣φ(﹣x2）=．令F（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，F(xiàn)′(x）=,當且僅當ex=e﹣x即x=0時，“=”成立，所以F(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，所以F（x2）＞F（0)=0，即φ（x1）﹣φ(﹣x2）＞0,所以φ（x1）＞φ（﹣x2）,所以x1＜﹣x2，所以x1+x2＜0．所以φ（x）是“偏對稱函數(shù)”．故答案為:2三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,且B=60°，c=4．（Ⅰ）若b=6，求角C的正弦值及△ABC的面積；（Ⅱ）若D，E在線段BC上,且BD=DE=EC，，求AD的長．【考點】HT:三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式和三角形的面積公式即可求出，（Ⅱ）設BD=x，由余弦定理求出x的值,再根據(jù)勾股定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）B=60°，c=4,b=6，在△ABC中，由正弦定理，得，又b＞c,所以B＞C,則C為銳角，所以，則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=，所以△ABC的面積．（Ⅱ）設BD=x，則BE=2x，，又B=60°，c=4，在△ABE中，由余弦定理得12x2=16+4x2﹣2?4?2x?cos60°，即8x2=16﹣8x，解得x=1，則BE=2，所以∠AEB=90°，在直角△ADE中，．18．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，AD=AP=2，，E為CD的中點,點F在線段PB上．（Ⅰ)求證：AD⊥PC；(Ⅱ）試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．【考點】MI：直線與平面所成的角；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】(I）利用勾股定理的逆定理證明AD⊥AP，BC⊥AC，從而AD⊥平面PAC，得出AD⊥PC；（II）由面面垂直的性質(zhì)可得AP⊥平面ABCD，建立空間坐標系，設=λ，求出平面PCD的法向量和平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=｜cos＜＞｜，解出λ即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，連接AC,因為,BC=2，∠ABC=45°，由余弦定理得，∴AC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，又AD∥BC,∴AD⊥AC，∵AD=AP=2，，∴AD2+AP2=DP2,∴PA⊥AD，又AP∩AC=A,AP?平面PAC,AC?平面PAC，∴AD⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴AD⊥PC．（Ⅱ)∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD，以A為原點，以直線DA,AC,AP坐標軸建立如圖所示空間直角坐標系A﹣xyz,則A（0，0，0），D（﹣2,0，0）,C（0,2，0）,B（2,2，0），E（﹣1,1，0),P（0，0,2），所以，，,設（λ∈［0,1］），則，F(xiàn)（2λ,2λ，﹣2λ+2），∴，平面ABCD的一個法向量為=（0，0，1）．設平面PDC的法向量為=(x,y，z），則，∴，令x=1，得=（1,﹣1，﹣1）．∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，∴|cos＜＞|=｜cos＜＞|，即=，∴2﹣2λ=,解得,∴當時,直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等．19．某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價:若用水量不超過12噸時,按4元/噸計算水費;若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7。80元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量(單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,2］，（2，4]，…，（14，16]分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）假設用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計全市的居民用水情況．（i）現(xiàn)從全市居民中依次隨機抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率；（ⅱ）試估計全市居民用水價格的期望(精確到0。01);(Ⅱ)如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費y（元）與月份x的散點圖,其擬合的線性回歸方程是．若李某2016年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數(shù)．【考點】BK：線性回歸方程;CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】(Ⅰ）（i)由題意,從全市居民中依次隨機抽取5戶，每戶居民月用水量超過12噸的概率為，即可求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率;(ⅱ）由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖,可得居民每月的水費數(shù)據(jù)分組與概率分布表，即可估計全市居民用水價格的期望（精確到0。01)；（Ⅱ）求出7月份的水費為294。6﹣240=54。6元．居民月用水量為t噸，相應的水費為f（t）元，即可得出結論．【解答】解：（Ⅰ)（i）由題意,從全市居民中依次隨機抽取5戶，每戶居民月用水量超過12噸的概率為，因此這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都這超過12噸的概率為．…（ii）由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖,可得居民每月的水費數(shù)據(jù)分組與概率分布表如下：月用水量x(噸）（0，12]（12，14]（14，16］價格X(元/噸）44.204。60概率P0.90.060。04所以全市居民用水價格的期望E（X）=4×0.9+4.2×0。06+4。6×0.04≈4。04噸．…（Ⅱ）設李某2016年1～6月份的月用水費y(元）與月份x的對應點為（xi，yi）（i=1，2，3，4,5，6），它們的平均值分別為,，則,又點在直線上，所以,因此y1+y2+…+y6=240，所以7月份的水費為294。6﹣240=54。6元．設居民月用水量為t噸，相應的水費為f（t)元，則f（t）=，t=13，f（t）=6。6×13﹣31。2=54。6,∴李某7月份的用水噸數(shù)約為13噸．…20．已知橢圓的右焦點F（1，0），橢圓Γ的左,右頂點分別為M，N．過點F的直線l與橢圓交于C，D兩點，且△MCD的面積是△NCD的面積的3倍．（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；（Ⅱ）若CD與x軸垂直，A，B是橢圓Γ上位于直線CD兩側的動點，且滿足∠ACD=∠BCD，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．【考點】KL：直線與橢圓的位置關系．【分析】（I)由橢圓右焦點F（1，0），△MCD的面積是△NCD的面積的3倍，求出a，b，由此能求出橢圓Γ的方程．（II）法一：當∠ACD=∠BCD，則kAC+kBC=0,設直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為﹣k，則AC的直線方程為，代入中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3)x+4k2﹣12k﹣3=0，由此能求出直線AB的斜率是定值．法二：設AB方程：y=kx+m，代入中,整理得（4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韋達定理、根的判別式、直線方程、橢圓性質(zhì)，結合已知條件，能求出直線AB的斜率是定值．【解答】解：(I）因為橢圓的右焦點F（1，0）,所以c=1，因為△MCD的面積是△NCD的面積的3倍，所以MF=3NF,即a+c=3（a﹣c），所以a=2c=2，所以b2=3，則橢圓Γ的方程為．…(II）解法一：當∠ACD=∠BCD，則kAC+kBC=0,設直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為﹣k，不妨設點C在x軸上方，，設A(x1,y1）,B(x2,y2）,則AC的直線方程為,代入中整理得（3+4k2)x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0,；同理．…所以，,…則==，因此直線AB的斜率是定值．…(II）解法二：依題意知直線AB的斜率存在，所以設AB方程：y=kx+m，代入中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，設A（x1,y1）,B(x2,y2），所以,，…△=64k2m2﹣4（4k2+3）(4m2﹣12)=16（12k2﹣3m2+9）＞0當∠ACD=∠BCD，則kAC+kBC=0，不妨設點C在x軸上方，，所以，整理得，…所以，整理得12k2+12（m﹣2）k+9﹣6m=0，…即（6k﹣3）(2k+2m﹣3)=0，所以2k+2m﹣3=0或6k﹣3=0．…當2k+2m﹣3=0時，直線AB過定點，不合題意；當6k﹣3=0時，，符合題意，所以直線AB的斜率是定值．…21．已知函數(shù)f（x）=e2x（ax2+2x﹣1），a∈R．（Ⅰ）當a=4時，求證：過點P(1，0）有三條直線與曲線y=f（x）相切；(Ⅱ）當x≤0時,f（x）+1≥0，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）方法一、求出f（x)的解析式和導數(shù)，設直線與曲線y=f(x）相切,其切點為（x0，f（x0）），求出切線的方程,代入P的坐標，整理成三次方程,運用兩點存在定理，考慮方程的根的情況即可得證；方法二、求出f（x）的解析式和導數(shù),設直線與曲線y=f（x）相切，其切點為（x0,f（x0)），求出切線的方程，代入P的坐標，整理成三次方程,構造三次函數(shù)，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間及極值，即可得證；（Ⅱ)由題意可得當x≤0時，e2x(ax2+2x﹣1)+1≥0,構造，設，求出導數(shù)，討論a的范圍，運用單調(diào)性即可得到a的范圍．【解答】解法一：（Ⅰ）證明：當a=4時，f(x)=e2x(4x2+2x﹣1），f’（x)=e2x?2（4x2+2x﹣1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x）…設直線與曲線y=f(x）相切，其切點為（x0,f(x0）），則曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為：y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），因為切線過點P（1，0),所以﹣f（x0)=f’（x0）（1﹣x0），…即，∵，∴，…設g（x)=8x3﹣14x+1，∵g（﹣2）=﹣35＜0，g（0）=1＞0，g（1）=﹣5＜0，g（2）=37＞0…∴g(x）=0在三個區(qū)間（﹣2，0)，（0，1），（1，2）上至少各有一個根．又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程8x3﹣14x+1=0恰有三個根，故過點P（1，0）有三條直線與曲線y=f（x）相切．…(Ⅱ）∵當x≤0時，f（x）+1≥0,即當x≤0時,e2x(ax2+2x﹣1）+1≥0，∴當x≤0時，，…設，則，…設，則．(1）當a≥﹣2時，∵x≤0，∴,從而m’（x）≥0（當且僅當x=0時，等號成立）∴在(﹣∞,0]上單調(diào)遞增,又∵m（0）=0,∴當x≤0時，m（x）≤0，從而當x≤0時,h'（x）≤0，∴在（﹣∞，0］上單調(diào)遞減,又∵h(0）=0，從而當x≤0時，h(x)≥0，即于是當x≤0時，f(x)+1≥0，…（2)當a＜﹣2時，令m’(x）=0，得，∴，故當時，,∴在上單調(diào)遞減，又∵m（0）=0，∴當時，m(x）≥0，從而當時，h’(x）≥0，∴在上單調(diào)遞增，又∵h（0）=0，從而當時，h（x）＜0，即于是當時,f（x）+1＜0，…綜合得a的取值范圍為［﹣2,+∞）．…解法二:（Ⅰ)當a=4時,f（x)=e2x(4x2+2x﹣1)，f’（x）=e2x?2(4x2+2x﹣1）+e2x（8x+2)=2e2x（4x2+6x)，…設直線與曲線y=f(x）相切,其切點為(x0，f(x0）），則曲線y=f（x）在點（x0，f(x0））處的切線方程為y﹣f(x0）=f'(x0)(x﹣x0），因為切線過點P（1，0）,所以﹣f(x0）=f'（x0）（1﹣x0)，…即，∵,∴…設g（x）=8x3﹣14x+1，則g’(x）=24x2