人教版六年級數(shù)學(xué)上冊【課本】六年級（上）第15講 數(shù)論綜合提高一

第十五講數(shù)論綜合提高一本講知識點匯總：整除整除的定義如果整數(shù)a除以整數(shù)b，所得的商是整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，也可以說b能整除a，記作．如果除得的結(jié)果有余數(shù)，我們就說a不能被b整除，也可以說b不整除a．整除判定尾數(shù)判斷法

能被2、5整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字能被2或5整除；

能被4、25整除的數(shù)的特征：末兩位能被4或25整除；

能被8、125整除的數(shù)的特征：末三位能被8或125整除．截斷求和法

能被9、99、999及其約數(shù)整除的數(shù)的特征．截斷求差法

能被11、101、1001及其約數(shù)整除的數(shù)的特征．分解判定：一些復(fù)雜整數(shù)的整除性，例如63、72等，可以把它們分拆成互質(zhì)的整數(shù)，分別驗證整除性．常用整除性質(zhì)已知、，則以及．（b＞c）已知，則．已知且，則．已知且，則．整除的一些基本方法：分解法：

①分解得到的數(shù)有整除特性；

②兩兩互質(zhì).數(shù)字謎法：

①被除數(shù)的末位已知；

②除數(shù)變?yōu)槌朔〝?shù)字謎的第一個乘數(shù).試除法：

①除數(shù)比較大；

②被除數(shù)的首位已知.同除法：

①被除數(shù)與除數(shù)同時除以相同的數(shù)；

②簡化后的除數(shù)有整除特性.

二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義

質(zhì)數(shù)是只能被1和自身整除的數(shù)；合數(shù)是除了1和它本身之外，還能被其它數(shù)整除的數(shù)．分解質(zhì)因數(shù)

分解質(zhì)因數(shù)是指把一個數(shù)寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式．如：，．典型題型整除基本整除問題：對各種整除的判別法要非常熟悉，尤其是9和11這種常見數(shù)字；9的考點：亂切法；11的考點：①奇位和減偶位和；②兩位截斷求和；③三位截斷，奇段和減偶段和．整除性質(zhì)的使用；整除與位值原理；整除方法在數(shù)字謎中的應(yīng)用．

質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)填數(shù)字：注意2和5的特殊性；判斷大數(shù)是否為質(zhì)數(shù)：逐一試除法；末尾0的個數(shù)問題：層除法．

（1）五位數(shù)沒有重復(fù)數(shù)字，如它能被75整除，那么這個五位數(shù)可能是多少？（2）如果六位數(shù)能被624整除，則三個方格中的數(shù)是多少？

（3）末三位是999的自然數(shù)能被29整除，這個數(shù)最小是多少？「分析」（1）75可以分解為3和25；（2）試除法解答這道題目；（3）試著把這道題目改為數(shù)字謎的形式進行解答．

練習(xí)1、（1）六位數(shù)沒有重復(fù)數(shù)字，如它能被36整除，那么這個六位數(shù)是多少？

（2）如果六位數(shù)能被324整除，則三個方格中的數(shù)是多少？

（3）末三位是999的自然數(shù)能被23整除，這個數(shù)最小是多少？

將自然數(shù)1，2，3，…，依次寫下去組成一個數(shù)：，如果寫到某個自然數(shù)N時，所組成的數(shù)恰好第一次能被36整除，那么這個自然數(shù)N是多少？

「分析」36可以分解為4和9，然后分別滿足N能被4和9整除，接下來就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何運用是關(guān)鍵．

練習(xí)2、將自然數(shù)1，2，3，…，依次寫下去組成一個數(shù)：，如果寫到某個自然數(shù)N時，所組成的數(shù)恰好第一次能被45整除，那么這個自然數(shù)N是多少？

已知是495的倍數(shù)，其中a，b，c分別代表不同的數(shù)字．請問：三位數(shù)是多少？

「分析」分解495=5×9×11，可知只要兩個三位數(shù)分別滿足是5、9、11的倍數(shù)即可，分情況討論即可確定兩個三位數(shù)分別是多少？

練習(xí)3、已知是396的倍數(shù)，其中a、b、c分別代表不同的數(shù)字．請問：三位數(shù)是多少？

一個各位數(shù)字互不相同的五位數(shù)可以被9整除，去掉末兩位之后形成的三位數(shù)可以被23整除，這個五位數(shù)的最小值等于多少？最大值呢？

「分析」根據(jù)“去掉末兩位之后形成的三位數(shù)可以被23整除”及最大值或最小值可確定五位數(shù)的前三位，然后根據(jù)9的整除特性確定其余數(shù)字．

練習(xí)4、一個各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)可以被9整除，去掉末兩位之后形成的兩位數(shù)可以被29整除，這個四位數(shù)的最大值等于多少？最小值呢？

72乘以一個三位數(shù)后，正好得到一個立方數(shù).這個三位數(shù)最大是多少？

「分析」立方數(shù)需滿足所含質(zhì)因數(shù)個數(shù)均為3的倍數(shù)，分解72可以確定質(zhì)因數(shù)的種類，滿足上述條件基礎(chǔ)上試數(shù)即可得出這個三位數(shù)．

在數(shù)列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n個數(shù)的乘積的末尾0的個數(shù)比前個數(shù)的乘積的末尾0的個數(shù)少3個，那么n最小是多少？

「分析」末尾0的個數(shù)決定于2和5的對數(shù)，有一對2、5就可以確定一個0，而題目數(shù)列中2的個數(shù)一定多于5的個數(shù)，所以只要使數(shù)列中數(shù)字滿足有三個質(zhì)因數(shù)5即可．

數(shù)學(xué)王國里的一顆明珠——梅森素數(shù)早在公元前300多年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就開創(chuàng)了研究的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數(shù)時指出：如果是素數(shù)，則是完美數(shù)（Perfectnumber）．1640年6月，費馬在給馬林·梅森的一封信中寫道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個非常重要的性質(zhì)．我相信它們將成為今后解決素數(shù)問題的基礎(chǔ)”．這封信討論了形如的數(shù)（其中p為素數(shù)）．梅森在歐幾里得、費馬等人的有關(guān)研究的基礎(chǔ)上對作了大量的計算、驗證工作，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中斷言：對于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，是素數(shù)；而對于其他所有小于257的數(shù)時，是合數(shù)．前面的7個數(shù)（即2，3，5，7，13，17和19）屬于被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4個數(shù)（即31，67，127和257）屬于被猜測的部分．不過，人們對其斷言仍深信不疑．雖然梅森的斷言中包含著若干錯誤，但他的工作極大地激發(fā)了人們研究型素數(shù)的熱情，使其擺脫作為“完美數(shù)”的附庸的地位．梅森的工作是素數(shù)研究的一個轉(zhuǎn)折點和里程碑．由于梅森學(xué)識淵博，才華橫溢，為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究型的數(shù)，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就把這種數(shù)稱為“梅森數(shù)”；并以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即．如果梅森數(shù)為素數(shù)，則稱之為“梅森素數(shù)”（即型素數(shù)）．2300多年來，人類僅發(fā)現(xiàn)47個梅森素數(shù)．由于這種素數(shù)珍奇而迷人，因此被人們譽為“數(shù)海明珠”．自梅森提出其斷言后，人們發(fā)現(xiàn)的已知最大素數(shù)幾乎都是梅森素數(shù)；因此，尋找新的梅森素數(shù)的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素數(shù)的歷程．

作業(yè)五位數(shù)沒有重復(fù)數(shù)字，如它能被225整除，那么這個五位數(shù)是多少？

（1）已知六位數(shù)是99的倍數(shù)，那么這個六位數(shù)是多少？

（2）已知六位數(shù)是72的倍數(shù)，那么這個六位數(shù)是多少？

的末