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文檔簡介

概率統(tǒng)計

第十五講隨機變量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

開課系：數(shù)學(xué)系3.3協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)

一.協(xié)方差定義與性質(zhì)

1.協(xié)方差定義若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,

易見Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).當(dāng)Cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？例2

設(shè)(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y2

1}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨立的。證:X與Y不相關(guān).而故,X與Y不獨立.2.協(xié)方差性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)證:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY) =abE(XY)-aE(X)bE(Y) =ab[E(XY)-E(X)E(Y)] =abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);證:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z) =E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).證:由方差性質(zhì)(3)的證明過程有注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)方差與協(xié)方差的定義期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比不相關(guān)與獨立切比雪夫不等式期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比期望方差協(xié)方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)當(dāng)X與Y獨立時E(XY)=E(X)E(Y)EX:設(shè)隨機變量XB（12,0.5

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