適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量高考解答題專項四第3課時綜合問題課件

第3課時綜合問題高考解答題專項四考點一翻折問題典例突破例1.已知正三角形ABC的邊長為6,點E,D分別是邊AB,AC上的點,且滿足

(如圖1),將ADE沿DE折起到A1DE的位置(如圖2),且使A1E與底面BCDE成60°角,連接A1B,A1C.(1)求證:平面A1BE⊥平面BCDE;(2)求二面角A1-CD-E的余弦值.由余弦定理可得DE2=AD2+AE2-2AD·AEcos∠DAE=12,∴AE2+DE2=AD2,則DE⊥AB.折疊后,在題圖2中,則DE⊥A1E,DE⊥BE,∵A1E∩BE=E,∴DE⊥平面A1BE.∵DE?平面BCDE,故平面A1BE⊥平面BCDE.(2)解

過點A1在平面A1BE內(nèi)作A1M⊥BE,垂足為點M,∵平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1M?平面A1BE,∴A1M⊥平面BCDE,∴A1E與平面BCDE所成的角為∠A1EM=60°.∵DE⊥平面A1BE,以點E為坐標(biāo)原點,EB,ED所在的直線分別為x軸、y軸,垂直ED,BE的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Exyz如圖所示,名師點析翻折問題的兩個解題策略

對點訓(xùn)練1(2022廣東茂名模擬)如圖1所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,M為CD的中點,將△DAM沿AM折起,使點D到點P處,且平面PAM⊥平面ABCM,如圖2所示.(1)求證:PB⊥AM;(2)在棱PB上取點N,使平面AMN⊥平面PAB,求直線AB與平面AMN所成角的正弦值.

故在翻折后的四棱錐中,有PQ⊥AM,BQ⊥AM.又PQ∩BQ=Q,所以AM⊥平面PBQ,又PB?平面PBQ,所以PB⊥AM.過點M作MH⊥AN于點H,因為平面AMN⊥平面PAB,平面AMN∩平面PAB=AN,MH?平面AMN,所以MH⊥平面PAB,所以MH⊥PB.考點二與空間角有關(guān)的探究性問題典例突破例2.如圖1,在等邊三角形ABC中,點D,E分別為邊AB,AC上的動點,且滿足DE∥BC,記

=λ.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,連接MB,MC得到圖2,點N為MC的中點.(1)當(dāng)EN∥平面MBD時,求λ的值;(2)試探究:隨著λ值的變化,二面角B-MD-E的大小是否改變?如果是,請說明理由;如果不是,請求出二面角B-MD-E的正弦值大小.解(1)取MB的中點為P,連接DP,PN,因為MN=CN,MP=BP,所以NP∥BC.又DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四點共面.又EN∥平面BMD,EN?平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即四邊形NEDP為平行四邊形,(2)隨著λ值的變化,二面角B-MD-E的大小不改變.取DE的中點O,由平面MDE⊥平面DECB,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,方法總結(jié)與空間角有關(guān)的存在性問題的解題流程

對點訓(xùn)練2已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD的中點.(1)求證:PO⊥平面ABCD;(2)求平面EFG與平面ABCD的夾角的大小;(3)線段PA上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為?若存在,求線段PM的長度;若不存在,說明理由.(1)證明

因為△PAD是正三角形,O是AD的中點,所以PO⊥AD.又因為CD⊥平面PAD,PO?平面PAD,所以PO⊥CD.AD∩CD=D,AD,CD在平面ABCD中,所以PO⊥平面ABCD.(2)解

如圖,因為G為BC的中點,所以O(shè)G⊥AD.以O(shè)點為原點,分別以O(shè)A,OG,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則整理得2λ2-3λ+2=0,Δ<0,方程無解,所以在線段PA上不存在點M使得直線GM與平面EFG所成角為考點三最值、范圍問題典例突破例3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當(dāng)B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?解∵四邊形AA1B1B為正方形,∴A1B1⊥BB1.又BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,∴A1B1⊥平面BB1C1C.又AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C.∴AB⊥BC.又BB1⊥平面ABC,∴AB,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.(2)∵AB⊥平面BB1C1C,∴n=(1,0,0)為平面BB1C1C的一個法向量.設(shè)平面DFE的法向量為m=(x,y,z),取x=3,則y=1+λ,z=2-λ.∴m=(3,1+λ,2-λ)為平面DFE的一個法向量.方法總結(jié)求最值、范圍問題的常用思路

對點訓(xùn)練3已知Rt△ABC中,B=,AB=4,BC=1,E,F為AB,AC上的動點,且EF∥BC,將三角形AEF沿EF折起至如圖所示,使平面ABC⊥平面BCFE.(1)證明:平面ABC⊥平面ABE;(2)求平面AFC和平面ABE所成的銳二面角的余弦值的取值范圍.(1)證明由題意知