新教材2023-2024學年高中數學第二章平面解析幾何2.8直線與圓錐曲線的位置關系課件新人教B版選擇性必修第一冊

第二章2.8直線與圓錐曲線的位置關系課程標準1.理解直線與圓錐曲線的三種位置關系;2.能用坐標法求解直線與圓錐曲線的有關問題;3.掌握數形結合思想的應用.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點1直線與圓錐曲線的位置關系(1)從幾何角度看,可分為三類:無公共點,有且只有一個公共點及有兩個相異的公共點.(2)從代數角度看,可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程,消元后所得方程解的情況來判斷.設直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線平行或重合;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸平行(或重合).②若a≠0,設Δ=b2-4ac.Δ>0時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點;Δ=0時,直線和圓錐曲線相切于一點;Δ<0時,直線和圓錐曲線沒有公共點.過關自診1.直線y=x+1與橢圓x2+=1的位置關系是(

)A.相離

B.相切C.相交

D.無法確定C因為Δ=22+12=16>0,所以直線與橢圓相交.2.橢圓與圓類似,是封閉曲線,能否用中心到直線的距離來判斷直線與橢圓的位置關系?解

不能.橢圓雖然與圓類似,但中心到橢圓上各點的距離不完全相等.知識點2直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長

(2)當斜率k不存在時,可求出交點坐標,利用軸上兩點間距離公式直接運算.過關自診頂點在原點,焦點在x軸上且截直線2x-y+1=0所得弦長為

的拋物線方程為

.

y2=12x或y2=-4x解析

設所求拋物線的方程為y2=ax(a≠0).①直線方程變形為y=2x+1,②設拋物線截直線所得弦為AB.將②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一判斷位置關系角度1.點與橢圓位置關系的判斷【例1】

已知點P(k,1),橢圓

=1,點P在橢圓外,則實數k的取值范圍為

.

變式探究若將本例中P點坐標改為“P(1,k)”呢?規(guī)律方法

處理點與橢圓位置關系問題時,緊扣判定條件,然后轉化為解不等式等問題,注意求解過程與結果的準確性.對于橢圓來說:角度2.直線與圓錐曲線的位置關系判斷【例2】

[北師大版教材例題]討論直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1的公共點的個數.消去y,整理,得(1-k2)x2-2kx-2=0.(1)當k=1時,x=-1.(2)當k=-1時,x=1.(3)當k≠±1時,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.規(guī)律方法

判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時,可將直線l的方程代入曲線C的方程,消去y(或x)得一個關于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當a≠0時,若Δ>0,則直線l與曲線C相交;若Δ=0,則直線l與曲線C相切;若Δ<0,則直線l與曲線C相離.(2)當a=0時,即得到一個一次方程,則直線l與曲線C相交,且只有一個交點.此時,若C為雙曲線,則l平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l平行于拋物線的對稱軸.(3)當直線與雙曲線或拋物線只有一個公共點時,直線與雙曲線或拋物線可能相切,也可能相交.變式訓練1[北師大版教材例題]已知直線l經過點A(0,1),且與拋物線C:y2=x有唯一的公共點,求直線l的方程.解

如圖.(1)當直線l的斜率不存在時,直線l:x=0(y軸)與拋物線C相切于原點,符合條件.(2)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx+1.①當k2=0時,直線l的方程為y=1,此時,方程組有唯一的實數解,符合條件;②當k2≠0時,方程(*)有唯一的實數解的充要條件是Δ=(2k-1)2-4k2=0,解得此時,方程組有唯一的實數解,符合條件.綜上,滿足題意的直線l有三條:x=0,y=1,y=x+1.探究點二相交弦長問題【例3】

[北師大版教材例題]已知直線l過橢圓C:

=1的中心,且交橢圓C于A,B兩點,求|AB|的取值范圍.

解

(1)當直線l的斜率不存在時,直線l:x=0,代入橢圓方程解得

(2)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=kx.將橢圓方程化簡、整理,得x2+2y2=4.將②代入①,得x2+2(kx)2=4,化簡、整理,得(2k2+1)x2=4.③

規(guī)律方法

若直線l與圓錐曲線F(x,y)=0相交于A,B兩點,求弦AB的長可用下列兩種方法:(1)把直線的方程與圓錐曲線的方程聯立,解得點A,B的坐標,然后用兩點間距離公式,便得到弦AB的長,一般來說,這種方法較為麻煩.(2)不求交點坐標,可用一元二次方程根與系數的關系求解.設直線方程為y=kx+m,與圓錐曲線F(x,y)=0交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則當k=0時,直線平行于x軸,∴|AB|=|x1-x2|.變式訓練2[人教A版教材例題]如圖,過雙曲線

=1的右焦點F2,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點,求|AB|.解

由雙曲線的標準方程可知,雙曲線的焦點分別為F1(-3,0),F2(3,0).因為直線AB的傾斜角是30°,且經過右焦點F2,所以直線AB的方程為探究點三中點弦問題(1)以P(2,-1)為中點的弦所在直線的方程;(2)斜率為2的平行弦中點的軌跡方程;(3)過Q(8,2)的直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程.解

設弦的兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點為R(x,y),則2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B兩點均在橢圓上,兩式相減,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2),規(guī)律方法

對中點弦問題,常用的解題方法——平方差法,其解題步驟為

變式訓練3[人教A版教材習題]已知雙曲線x2-=1,過點P(1,1)的直線l與雙曲線相交于A,B兩點,P能否是線段AB的中點?為什么?解

P不能是線段AB的中點.理由:設A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,線段AB的中點為M(x0,y0),因為過點P(1,1)的直線l與雙曲線x2-=1相交于A,B兩點,易知,直線l的方程不是x=1.設經過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),即y=kx-k+1.與雙曲線的方程聯立并消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①當k=2時,方程①變?yōu)?x2-4x+3=0,此時Δ=16-24=-8<0,所以方程①沒有實數根.所以不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,使P是線段AB的中點.成果驗收·課堂達標檢測123451.直線y=kx-k+1與橢圓

=1的位置關系為(

)A.相交

B.相切 C.相離

D.不確定A解析

∵y=kx-k+1,∴y-1=k(x-1),過定點(1,1),定點在橢圓

=1內部,故選A.123452.過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條A123453.已知直線l:x-y+m=0與雙曲線x2-=1交于不同的兩點A,B,若線段AB的中點在圓x2+y2=5上,則m的值是

.

±1解析

設線段AB的中點為M(x0,y0).∴x0=m,∴y0=x0+m=2m.∵點M(x0,y0)在圓x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,檢驗可知判別式Δ>0,故m=±1.123454.拋物線x2=-y上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值為

.

123455.

如圖,橢圓