2017中國西部數(shù)學邀請賽試題及解析

2017中國西部數(shù)學邀請賽1.設(shè)素數(shù)、正整數(shù)滿足.證明：.1.按照中的因子所含的冪次分情形討論.〔1〕假設(shè)存在，使得，則.于是，.〔2〕假設(shè)對任意的，，由條件，知存在，使得且.則.于是，.當，則；當，則，綜上，.2、為正整數(shù)，使得存在正整數(shù)滿足：，求的最大可能值.2、的最大可能值為，顯然：由等式得，所以：又等號無法成立，則而則取，可使上式等號成立3.如圖1，在中，為邊上一點，設(shè)的心分別為，的外心分別為，直線與交于點.證明：.3.由及心的性質(zhì)，知為外接圓弧的中點.如圖2，延長交于點，則為中的旁心，且為的中點類似地，延長交于點，則為中的旁心，且為的中點過點作.只需證明、、三線共點對用角元塞瓦定理，只需證明：事實上，由，知，則同理：，又所以只需證明：即在邊上的投影長度一樣.如圖3，設(shè)在邊BC上的投影分別為則同理：所以：，命題得證4、給定整數(shù)，甲、乙兩人在一每個小方格都是白色的的方格紙上玩游戲：兩人輪流選擇一個白色小方格將其染為黑色，甲先進展.如果*個人染色后，每個的正方形中都至少有一個黑色小方格，則游戲完畢,此人獲勝.問誰有必勝策略"4、解將方格紙按從上到下標記行，從左到右標記列.假設(shè)，則甲將第行第列的小方格染為黑色后，每個正方形中至少有一個黑格，因此甲獲勝.下面假設(shè)，我們證明當為奇數(shù)時，甲存獲勝策略；當是偶數(shù)時，乙有獲勝策略.對于一個已經(jīng)有假設(shè)干個方格染為黑色的局面：如果有兩個不相交的正方形所含的全是白格，并且方格紙白格總數(shù)為奇數(shù)，我們稱其為“好局面〞；如果有兩個不相交的正方形所含的全是白格，并且方格紙白格總數(shù)為偶數(shù)，稱其為“壞局面〞.我們證明當*人面對好局面時，他有獲勝策略^假設(shè)甲面對好局面，他先取定兩個不相交的正方形和，其中都是白格，由于白格總數(shù)為奇數(shù)，可選取不在中的另一個白格，將它染為黑色，此時白格總數(shù)為偶數(shù)，且中仍然都是白格，因此變?yōu)橐粋€壞局面輪到乙面對壞局面，如果他染色后.仍有兩個不相交的正方形中都是白格，此時白格總數(shù)是奇數(shù)，又回到好局面；如果他染色后，不存在兩個不相交的正方形，注意到此時至少有一個全白格的正方形，設(shè)是所有全白格正方形，則它們兩兩相交，故必包含于*個的正方形，因此的中心方格是的公共格，這樣甲將染為黑色后，所有正方形中都含有黑格，于是甲獲勝.總之，當*人面對好局面時，他可以在自己的下一回合獲勝或是仍面對好局面，而游戲必在有限步完畢，因此他有獲勝策略.由上述論證亦可知.當*人面對壞局面時，他要么讓對方下一回合即可獲勝，要么留給對方好局面，因此對方有獲勝策略；在時.由于四個角上的正方形互不相交，且一開場都是白格.因此當是奇數(shù)時，一幵始是好局面，甲有獲勝策略；當是偶數(shù)時.一開場是壞局面，乙有獲勝策略.5.九個正整數(shù)〔允許一樣〕滿足：對任意的，均存在與不同的，使得；求滿足上述要求的有序九元數(shù)組的個數(shù).5.對滿足條件的正整數(shù)組，將從小到大排列為.由條件，知分別存在及，使得.①注意到，.②結(jié)合式①，知結(jié)論②中的不等號均為等號于是，.因此，設(shè)，其中，.由條件，知使的的值只能為，即.③〔1〕當時，有，此時，得到一組.〔2〕當中恰有一個為時，記另一個為，由式③知.該條件也是充分的.此時，可以取這種不同值，且每個值對應一組，進而，對應九組不同的，共有個數(shù)組.〔3〕當時，由條件，知存在*個，使得，與式③比擬得，則必有.故.該條件也是充分的.此時，對，每個值對應一組，進而，對應組不同的，共有個數(shù)組.綜上，知符合條件的數(shù)組個數(shù)為.6.如圖，在銳角中，點分別在邊上，線段與交于點分別為線段的中點。證明：為的垂心的充分必要條件是四點共圓且.6.如圖4，延長，與交于點，延長，與交于點.充分性。由四點共圓知.又，從而，均為直角三角形.注意到，分別為斜邊的中點.則故所以：.類似地，.因此，為的垂心.必要性.假設(shè)為的垂心，則.故類似地，，于是利用比例性質(zhì)及，知又因為為的垂心，所以，則所以：四點共圓。設(shè)四邊形的外心為易知，.從而，.類似地，.于是，四邊形為平行四邊形，即.過點作的平行線，與交于點注意到，為邊的中點.則.由熟知的外心性質(zhì)，知為的垂心.因此，，即.7.設(shè)正整數(shù)，其中，為非負整數(shù)，為奇數(shù).證明：對任意正整數(shù)，方程①的整數(shù)解的個數(shù)能被整除.7.設(shè)方程①的解的個數(shù)為為方程①的一個非負整數(shù)解，不妨設(shè)其中有個非零項注意到，的每個分量有正負兩種情形，恰對應原方程的個整數(shù)解.設(shè)為該方程恰有個非零項的非負整數(shù)解的個數(shù)，則.因為個非零項的非負整數(shù)解有種位置可選，所以，.于是，要證明，只需證明：注意到，.則分子中的因子個數(shù)至少為，而分母中的因子個數(shù)為其中，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)。故分母中的因子至多有個.因此，，即.8.整數(shù).證明：對任意正實數(shù)，均有.①8.對用第二數(shù)學歸納法.當時，式①左邊.假設(shè)，則式①，命題成立；假設(shè)，則式①，命題成立.假設(shè)命題對所有正整數(shù)成立，考慮時的情形.對，記，定義.容易驗證,記，并設(shè).當時，式①左邊.由，且當有所以：由均值不等式得式①左邊當時，則式①左邊由歸納假設(shè)得：，所以：式①左邊當時，結(jié)合時的證明得：式①左邊綜上，命題得證注：取知常數(shù)為最正確附：本屆邀請賽預選題1.如圖5，的外接圓為，為平分線上一點，與交于點與交于點與交于點〔點在線段上〕，與分別交于點.證明：1.先證明一個引理引理如圖6，在圓中，三條弦共點于與交于點與交于點與圓交于兩點。假設(shè)與圓分別交于點分別與交于點，則分別三點共線.證明：設(shè)與交于點與交于點〔假設(shè)平行，設(shè)其交于無窮遠處〕.對圓接六邊形，由帕斯卡定理，知三點共線.對圓接六邊形，由帕斯卡定理，知三點共線.于是，三點共線.從而，點與重合，此即三點共線.類似地，三點共線.引理得證.如圖7，延長分別與交于點，記分別與交于點.由引理，知分別三點共線.聯(lián)結(jié).由為弧的中點四點共圓.2.為銳角的一點，關(guān)于邊的中點的對稱點為，關(guān)于邊的對稱點為，的中點記為，類似定義點.假設(shè)點在邊、上的射影分別為.證明：與中心對稱.2.如圖8，設(shè)線段的中點分別為.下面證明點與重合，即只需證明：點到的距離相等，點到的距離也相等.設(shè)點到所在的直線的距離為，即證，依題意得.于是，故延長至點，使得，則.又，從而，結(jié)合，知四邊形為矩形.故從而，，即點到的距離相等.類似地，點到的距離也相等.因此，點與重合.設(shè)的中點為，類似可得點與也重合.綜上，與中心對稱3.給定整數(shù).求最小的正實數(shù)，使得對任意復數(shù)，均有3.當時，??；當時，取以上兩種情形均有.下面證明：對任意復數(shù)，均有事實上，對，由三角不等式對從到求和即得：綜上，所求最小的正實數(shù)為.4.設(shè)為正實數(shù)集，滿足：〔1〕，且對任意的，有.〔2〕存在的一個子集，使得中的數(shù)均能唯一表示成中假設(shè)干數(shù)〔允許一樣〕的乘積〔兩種寫法假設(shè)只有因子順序不同，則視為同一種〕.問：是否一定為正整數(shù)集？4.不一定.取{為整系數(shù)多項式，且對任意的有}.易知集合滿足條件〔1〕.接下來證明集合滿足條件〔2〕.取{在上不可約}.對集合中的任一元素，可以分解為首項系數(shù)為正的假設(shè)干不可約整系數(shù)多項式的乘積.則.由于沒有正實根，其任一因子均沒有正實根，且首項系數(shù)為正，于是，對所有的，均有.從而，.下面證明分解的唯一性.設(shè)則整系數(shù)多項式有根，但為超越數(shù)，故恒為，即，于是，由整系數(shù)多項式唯一分解定理，知為的排列。故為同一種分解。取，知.因此，不為正整數(shù)集.5.記為所有整數(shù)數(shù)列構(gòu)成的集合.求所有滿足：對任意，均有.5.，易驗證這樣的符合條件.接