最優(yōu)扁擔(dān)及最佳使用方式

關(guān)于“最優(yōu)扁擔(dān)及最正確使用方式〞的探究摘要“扁擔(dān)〞是一種簡(jiǎn)單實(shí)用且省力的運(yùn)輸工具，但其本身的固有屬性，使用者的行進(jìn)方式等都將對(duì)省力的程度造成影響。本文即針對(duì)扁擔(dān)的參數(shù)及使用者的舒適程度等建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而討論分別在平地行走與上樓時(shí)，扁擔(dān)行進(jìn)的最正確方式。文中首先根據(jù)簡(jiǎn)化的扁擔(dān)示意圖進(jìn)展受力分析，以建立扁擔(dān)的數(shù)學(xué)模型為根底，進(jìn)而考慮“扁擔(dān)—重物系統(tǒng)的固有頻率〞、“挑擔(dān)者的步頻、步伐〞“扁擔(dān)設(shè)計(jì)〞等因素對(duì)挑擔(dān)者肩部產(chǎn)生的壓強(qiáng)及舒適程度的影響，得出當(dāng)挑夫的行進(jìn)頻率與扁擔(dān)的固有頻率一致、扁擔(dān)實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度梁、當(dāng)挑夫的步伐頻率為系統(tǒng)固有頻率的1.2—1.5倍時(shí)，挑夫可以走得既輕快又省力等結(jié)論。其次，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步分析和求解，分別得出了在平地上與上樓時(shí)扁擔(dān)的最優(yōu)參數(shù)及挑夫的最正確行進(jìn)方式。當(dāng)行走在平地上時(shí)，當(dāng)扁擔(dān)的固有頻率在18—23Hz之間，扁擔(dān)的厚度按照*一公式變化，步伐頻率為“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)固有頻率的1.2—1.5倍，且手臂自然下垂擺動(dòng)時(shí)，舒適度最高。當(dāng)需要上樓梯時(shí)，除了保證平地行走扁擔(dān)的最優(yōu)參數(shù)外，還應(yīng)按照與水平面一定的偏角選取路線，才能保證挑夫的輕松與平安。最后，根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)模型求最優(yōu)與分析的結(jié)果，我們針對(duì)不同的實(shí)際情況給出了相應(yīng)的建議或方案，并根據(jù)實(shí)際生活情況對(duì)模型進(jìn)展檢驗(yàn)，證明模型具有一定的可行性，有應(yīng)用開(kāi)展前景。關(guān)鍵詞：固有頻率；等強(qiáng)度梁；受迫振動(dòng)；行進(jìn)頻率；舒適度一、問(wèn)題重述“最好的扁擔(dān)和最正確的使用方式〞探究扁擔(dān)是勤勞樸實(shí)的中國(guó)人民幾千年來(lái)留下的一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的工具。扁擔(dān)可以由不同的原材料制作，常見(jiàn)的有桑木、竹子等。根據(jù)制作材料的不同，扁擔(dān)有“硬〞和“彈〞兩種不同類性，在擔(dān)貨物的時(shí)候，“硬〞扁擔(dān)不會(huì)變形，而“彈〞扁擔(dān)的兩端則會(huì)隨著走動(dòng)而上下抖動(dòng)。此題目以探究“最好的扁擔(dān)和最正確的使用方式〞為目標(biāo)，建立和求解數(shù)學(xué)模型。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們將扁擔(dān)轉(zhuǎn)化為如下理想簡(jiǎn)化模型：一根質(zhì)量不計(jì)的、寬度固定、長(zhǎng)度1.6米的理想硬桿，其與肩部的接觸面積固定為S，長(zhǎng)桿的兩個(gè)最遠(yuǎn)端分別固定著一樣的彈簧，彈簧的長(zhǎng)度和勁度系數(shù)均可由同學(xué)們選定，彈簧下面掛貨物。1.請(qǐng)建立擔(dān)扁擔(dān)的數(shù)學(xué)模型，建立一個(gè)衡量擔(dān)扁擔(dān)者舒適程度的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)；2.請(qǐng)嘗試給出一個(gè)平地?fù)?dān)扁擔(dān)行進(jìn)的最正確情況，至少包括扁擔(dān)應(yīng)有的參數(shù)和人的理想行進(jìn)方式；3.請(qǐng)嘗試給出上樓梯情況下，擔(dān)扁擔(dān)行進(jìn)的最正確情況，至少包括扁擔(dān)應(yīng)有的參數(shù)和人的行進(jìn)方式。二、問(wèn)題分析此題是一個(gè)探究最好的扁擔(dān)固有參數(shù)以及使用者最正確行進(jìn)方式，能讓使用者最省力、最舒適的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即需要根據(jù)題意和生活經(jīng)歷提煉出影響使用者受力的因素，用數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)展綜合描述，進(jìn)而根據(jù)數(shù)學(xué)模型在理論上分析出減小使用者所受的壓強(qiáng)與舒適度的量化關(guān)系。探尋所受壓強(qiáng)最小，舒適度最高時(shí)扁擔(dān)的參數(shù)與使用者的行進(jìn)方式，給出實(shí)際建議。另外，在挑擔(dān)上樓梯時(shí)為防止受傷，挑夫一般不能直上直下，轉(zhuǎn)而采取“之〞字型的路線，但是路線會(huì)因此變長(zhǎng)，時(shí)間也將花費(fèi)更多。因此，面臨不同坡度且不同高度的樓梯時(shí)，應(yīng)選取怎樣的上樓方式〔比方：一個(gè)周期的路線包括多少級(jí)臺(tái)階〕，扁擔(dān)是否要做調(diào)整等，都是要重點(diǎn)關(guān)注與解決的問(wèn)題。三、模型假設(shè)〔1〕一根質(zhì)量不計(jì)的、寬度固定、長(zhǎng)度1.6米的理想硬桿，其與肩部的接觸面積固定為S，長(zhǎng)桿的兩個(gè)最遠(yuǎn)端分別固定著一樣的彈簧，彈簧下面掛貨物?！?〕由于掛鉤的摩擦力、空氣阻力等外力影響的因素很小，我們假設(shè)“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)的摩擦系數(shù)為0，并且忽略空氣阻力?！?〕由于當(dāng)擔(dān)扁擔(dān)者不同時(shí)，即因?yàn)槿说捏w質(zhì)差異，如：身高，腿長(zhǎng)，臂展，氣力大小和身體強(qiáng)健程度的，會(huì)對(duì)我們建立的數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生影響，由于這些因素具有隨機(jī)性和不可控性，為方便起見(jiàn)，我們忽略這種體質(zhì)差異，即將人的體質(zhì)參數(shù)設(shè)為定值，不影響結(jié)果?！?〕挑擔(dān)者右手腕輕松地搭擱在扁擔(dān)上，左手自然擺動(dòng)，不對(duì)“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)施加力的作用。因?yàn)楦鶕?jù)生活經(jīng)歷，假設(shè)挑擔(dān)者嘗試縮短或抓緊懸繩，乃至直接拉住重物或非自然地去輔助支撐扁擔(dān)，一段時(shí)間后將引起手臂以及肩肘關(guān)節(jié)的疲勞，因此會(huì)大大降低挑擔(dān)者的舒適程度。四、符號(hào)說(shuō)明QUOTE:彈簧的固有長(zhǎng)度QUOTE:彈簧的勁度系數(shù)〔模擬扁擔(dān)的剛度系數(shù)〕QUOTE:扁擔(dān)兩端分別掛的重物的質(zhì)量P:扁擔(dān)兩端分別掛的重物的重力QUOTE:“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)無(wú)阻尼固有角頻率QUOTE:挑擔(dān)者行走的固有角頻率λ:重物的振幅F:重物對(duì)挑擔(dān)者的附加作用力t:挑擔(dān)的時(shí)間QUOTE:扁擔(dān)橫截面的厚度b:扁擔(dān)的寬度QUOTE:梁上的正應(yīng)力d：肩部的振幅2d：挑擔(dān)者抬腳的高度QUOTE：臺(tái)階高度QUOTE：一步的步長(zhǎng)c：阻尼比r：粘性阻尼系數(shù)QUOTE：重物對(duì)肩膀動(dòng)反作用力的幅值QUOTE：重物對(duì)肩膀動(dòng)作用力的幅值S：QUOTE/QUOTEQUOTE：人上樓梯時(shí)走“之〞字型的行進(jìn)偏角QUOTE：人上樓梯加速階段的加速度QUOTE：人上樓梯減速階段的加速度QUOTE：人上樓梯加速階段所用時(shí)間QUOTE：人上樓梯減速階段所用時(shí)間QUOTE：樓梯的坡度五、模型的建立與求解5.1扁擔(dān)的數(shù)學(xué)模型理論根底挑著扁擔(dān)靜止不動(dòng)時(shí)，其肩膀所受的總作用力大致為兩端所懸掛重物的重量之和，方向豎直向下。當(dāng)挑擔(dān)者行進(jìn)在平地上時(shí)，由于重物的上下振動(dòng)，挑擔(dān)者所受到的作用力并不總等于重物的總重力，在*些條件下，其受到的作用力會(huì)小于懸掛物的總重力，挑擔(dān)者會(huì)因此感受到“省力〞的舒適。具體針對(duì)可能“省力〞的條件分析如下：〔1〕肩部垂直鼓勵(lì)引起的振動(dòng)由于雙腿支撐時(shí)人體重心較低，擺動(dòng)腿越過(guò)直立的支撐腿時(shí)重心較高，使得肩部高度產(chǎn)生相應(yīng)的變化，對(duì)扁擔(dān)提供垂直方向的震蕩鼓勵(lì)[1]。主要的研究對(duì)象“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)受迫振動(dòng)的頻率與挑夫在行進(jìn)過(guò)程中重心起伏變化的頻率一致?；趯?duì)稱性，扁擔(dān)前后局部可同時(shí)繞支撐點(diǎn)即與肩部最初接觸的點(diǎn)振動(dòng)?！?〕扁擔(dān)近似為等強(qiáng)度梁扁擔(dān)和肩膀的接觸處位于扁擔(dān)的中部，扁擔(dān)對(duì)于其與肩膀的接觸線是左右對(duì)稱的。扁擔(dān)一半的力學(xué)模型是材料力學(xué)中的懸臂梁，整根扁擔(dān)相當(dāng)于左右兩根在固支端并在一起的兩根懸臂梁。把扁擔(dān)做成中間厚兩端薄的近似等強(qiáng)度梁的形狀,減輕了扁擔(dān)的重量,但這受益不是很大,因?yàn)楸鈸?dān)本身重量不大,減輕重量也減輕不了多少。節(jié)省材料對(duì)制作扁擔(dān)也沒(méi)有實(shí)質(zhì)的意義,因?yàn)楣?jié)省下來(lái)的木料成了廢品,還要花費(fèi)額外的勞動(dòng)。它的實(shí)質(zhì)意義在于,在保證強(qiáng)度要求的前提下減小了扁擔(dān)的剛度,增加了其柔度,降低了“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)的固有頻率,這使得挑夫的步伐頻率比擬容易大于“扁擔(dān)—重物〞系統(tǒng)的固有頻率。這樣,在挑行的過(guò)程中,挑夫就可以既走得快,又省力。數(shù)學(xué)模型及量化分析〔1〕重物的上下振動(dòng)對(duì)挑擔(dān)者的影響設(shè)扁擔(dān)為E，E的上下運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于人重心的運(yùn)動(dòng)，扁擔(dān)E驅(qū)動(dòng)著彈簧和其下懸掛的物體在豎直方向的投影為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)E上下振動(dòng)時(shí)，物體M受到向上的彈性力F。扁擔(dān)—重物系統(tǒng)無(wú)阻尼固有角頻率為：QUOTE=QUOTE，人行走的角頻率為QUOTE(_^)/(_()^^)??D_Dd__________????__________________D_Dd__________?λ為重物的振幅，當(dāng)QUOTE(^)/(_^^)?〖〗^?____________________由此可知，雙腿支撐時(shí)肩部到達(dá)低位，扁擔(dān)對(duì)肩部向下作用力到達(dá)最大，雙腿左右擺動(dòng)時(shí)扁擔(dān)對(duì)肩部載荷較小。當(dāng)重物質(zhì)量較輕時(shí)，扁擔(dān)系統(tǒng)的固有頻率比擬大,挑夫要加快步伐,才能使其行進(jìn)頻率與固有頻率相等,即重物越輕,要求挑夫頻率越快才越省力。但是，當(dāng)過(guò)于輕載,挑夫行進(jìn)頻率無(wú)法到達(dá)固有頻率時(shí),挑夫只有降低頻率行走,此時(shí)省力不太明顯。不過(guò)由于扁擔(dān)有一些顫悠,作用在肩上的力按周期性變化,這樣與沒(méi)有顫悠的擔(dān)子比擬起來(lái)還是覺(jué)得省力。如果載重超過(guò)額定值,但未到達(dá)扁擔(dān)的最大載重量值時(shí),其固有頻率比擬小,挑夫只能放慢腳步行進(jìn)。在生活中不同長(zhǎng)度、不同厚度以及不同材質(zhì)的扁擔(dān)制作,在工藝上結(jié)合一定的額定載重量,將其按等強(qiáng)度梁進(jìn)展設(shè)計(jì),使其額定固有頻率在18—23Hz之間為最正確?！?〕關(guān)于扁擔(dān)設(shè)計(jì)成等強(qiáng)度梁與舒適度的關(guān)系假設(shè)一：扁擔(dān)兩端所挑重物質(zhì)量一樣，重力均為P,此時(shí)可取一半長(zhǎng)度看做懸臂梁，即：QUOTEm；假設(shè)二：扁擔(dān)橫截面為高(厚)h，寬b的矩形截面，且由題意知b固定為常數(shù)；懸臂梁變力分析如圖：梁上*處所受彎矩為：據(jù)先畫(huà)出彎矩圖為：設(shè)梁上最大正應(yīng)力為QUOTE，抗彎截面系數(shù)為QUOTE，則可知：QUOTEQUOTE[QUOTE](1)其中QUOTE，且QUOTE隨著*的變化而變化，帶入公式(1)中有：也即：可得：扁擔(dān)厚度按此變化可最大節(jié)省材料，同時(shí)實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度梁，但*<0.8,即在扁擔(dān)邊緣時(shí)存在極端情況，理想情況厚度可為0，但易知實(shí)際情況不可能，故存在實(shí)際誤差?！?〕挑擔(dān)者步伐對(duì)其省力程度的影響當(dāng)抬腳高度為2d,肩部振幅為d。肩膀運(yùn)動(dòng)為：BQUOTEe=2.718…歐拉常數(shù)；QUOTEQUOTE為虛數(shù)單位，t是時(shí)間；重物對(duì)肩膀的動(dòng)反作用為2mBQUOTE,振幅：QUOTE;因?yàn)楸鈸?dān)是有一定剛度的，兩側(cè)彈簧可使重物在行進(jìn)時(shí)做受迫振動(dòng)時(shí)，重物施加給肩膀的力時(shí)變化的，有時(shí)大，有時(shí)小，我們假設(shè)重物上下振動(dòng)的振幅為H，則H與h存在關(guān)系：QUOTEc=QUOTE假設(shè)重物對(duì)肩膀的作用力為QUOTE,則有QUOTE_QUOTE已經(jīng)確定，所以當(dāng)QUOTE_QUOTE會(huì)隨之增大，以當(dāng)QUOTE_QUOTE會(huì)隨之減小。又知QUOTE是重物作用在肩膀上的力，希望越小越好，因此QUOTED_Dd__________òe??________________圖1.1分析圖1.1我們可以得到以下結(jié)論：〔1〕當(dāng)r較小〔認(rèn)為r的值不大于0.1為較小〕時(shí)，隨著S的增大，QUOTE的值在s<0.7時(shí)〔0.7只是一個(gè)估計(jì)值，實(shí)際圍與估計(jì)值存在誤差〕，QUOTE的值幾乎穩(wěn)定或變化幅值很小，但此時(shí)的QUOTE值并不是最小的，因此這不是所需要的圍。QUOTE的值在SQUOTE之間，尤其是當(dāng)S的值在1附近時(shí)〔此時(shí)QUOTE〕,QUOTE的值會(huì)變的非常大，這時(shí)最不利于挑夫省力，所以我們要防止挑夫的步伐頻率與扁擔(dān)—重物系統(tǒng)的固有頻率相近或一樣?！?〕當(dāng)r的值在0.1—0.15圍時(shí)，其S的變化為QUOTE的影響與〔1〕中的情況相似，但值得注意的是，當(dāng)S=1附近時(shí)，QUOTE的值雖然是趨近于最大的，但其值的大小遠(yuǎn)不像〔1〕中的則離譜，盡管如此，我們還是要防止w與QUOTE相近或一樣?！?〕當(dāng)c的值較大〔0.15—0.3〕時(shí)，QUOTE在S=1.2處左右取得最大，而在S>1.2時(shí)，QUOTE會(huì)逐漸降低?！?〕當(dāng)r>0.3，見(jiàn)下列圖1.2，后面會(huì)有緩慢的上升，但是仍然不能認(rèn)為S的值越大越好。因?yàn)镼UOTE,且QUOTE,所以QUOTE,令λ=·QUOTE,可知當(dāng)λ取最小時(shí)，QUOTE取最小，又2mB為常數(shù)，因此僅討論QUOTE·QUOTE即可。圖1.2圖1.3由圖1.3〔代碼段②見(jiàn)附錄〕可得以下結(jié)論：〔1〕λ與c、S的關(guān)系在0~2之間時(shí)，其圖形中數(shù)據(jù)變化情況與η和c、S的關(guān)系相差不大?！?〕但當(dāng)挑夫的步伐頻率不斷增大時(shí)，λ的值幾乎成了一個(gè)指數(shù)函數(shù)，但是不管是什么函數(shù)，λ的值都是不斷增加的?！?〕不管c的值如何影響，λ總是在S=〔1.2,1.5〕能取得一個(gè)最優(yōu)值〔最小值〕。因此，當(dāng)我們僅考慮扁擔(dān)因素所影響的舒適度時(shí)〔忽略人的因素，每個(gè)人的腳長(zhǎng)不同，每一步的適宜步長(zhǎng)也不同；人因體質(zhì)差異使步伐頻率受限；以及人的氣力大小等不可控因素〕，可得出如下結(jié)論：當(dāng)挑夫的步伐頻率為扁擔(dān)—重物系統(tǒng)固有頻率的1.2—1.5倍〔具體數(shù)值因r與k決定〕時(shí)。挑夫可以走得既輕快又省力。5.2衡量挑扁擔(dān)者舒適程度的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)及模型分析以5.1的各數(shù)學(xué)模型為根底，挑擔(dān)者的舒適程度取決于其所受到的壓強(qiáng)的大小。以下分析貨物單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)肩膀產(chǎn)生的壓強(qiáng)及舒服度。扁擔(dān)—重物系統(tǒng)無(wú)阻尼固有角頻率為0=t設(shè)重物對(duì)扁擔(dān)產(chǎn)生向下的力為F2則F2=mgcosθF2=mgcos(t)扁擔(dān)兩端受力情況一樣，故：F3=2F2=2mgcos(t)從伸開(kāi)腿邁步到腿到達(dá)最大角過(guò)程中每一時(shí)刻肩膀所受由貨物做前后單擺運(yùn)動(dòng)引起的壓強(qiáng)大小為：P=F3/S=2mgcos(t)/S可知當(dāng)t=tma*，即=ma*時(shí)存在P=Pmin,此時(shí)肩膀所受擺動(dòng)造成的壓強(qiáng)最小，最舒服。5.2在平地時(shí)挑夫擔(dān)扁擔(dān)行進(jìn)的最正確情況5.2.1平地行進(jìn)時(shí)扁擔(dān)的最正確參數(shù)(1)扁擔(dān)的額定固有頻率重物的上下振動(dòng)會(huì)使得挑夫肩膀上所受到的向下的作用力發(fā)生改變。并且當(dāng)挑夫處于雙腿支撐的狀態(tài)時(shí)，其肩部收到的向下的作用力到達(dá)最大。同時(shí)，貨物的質(zhì)量和扁擔(dān)的材質(zhì)等對(duì)挑夫的步伐頻率也有一定的影響。而通過(guò)中(1)的不斷分析研究我們可以得到，應(yīng)使扁擔(dān)的額定固有頻率在18—23Hz之間為最正確。〔2〕扁擔(dān)的厚度設(shè)計(jì)扁擔(dān)的薄厚對(duì)擔(dān)扁擔(dān)者肩部舒適度有之間的關(guān)系，扁擔(dān)設(shè)計(jì)的太薄，不易于挑起重物，且會(huì)使擔(dān)扁擔(dān)者肩部感到不適。扁擔(dān)設(shè)計(jì)的太厚，則顯得過(guò)于笨重，使擔(dān)扁擔(dān)者難以掌控，既浪費(fèi)材料又不能起到提高舒適度的作用。于是我們?cè)诘摹?〕中利用將扁擔(dān)理想化成等強(qiáng)度梁的方法研究扁擔(dān)厚度對(duì)舒適度及合理設(shè)計(jì)扁擔(dān)的影響，最終我們得到：當(dāng)扁擔(dān)的厚度按照變化時(shí)，可以最大節(jié)省材料，同時(shí)實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度梁。值得注意的是，由于*<0.8,即在扁擔(dān)邊緣時(shí)存在極端情況，理想情況厚度可為0，但易知實(shí)際情況不可能，故存在實(shí)際誤差。5.2.2挑夫在平地上的理想行進(jìn)方式〔1〕平地行進(jìn)時(shí)的理想步伐頻率挑夫在行進(jìn)過(guò)程中由于步伐頻率的不同，會(huì)使得扁擔(dān)在上下振動(dòng)時(shí)的振幅產(chǎn)生變化，而振幅的變化則會(huì)影響到挑夫肩膀上所受到的動(dòng)作用力的變化，利用以下幾個(gè)公式QUOTE和QUOTE;通過(guò)借助數(shù)學(xué)軟件matlab的功能分析了c和s的變化對(duì)肩膀所受動(dòng)作用力的幅度QUOTE的影響，并通過(guò)一系列的比照分析，我們可以得到以下結(jié)論：挑夫在平地的行進(jìn)時(shí)，最好能以扁擔(dān)—重物系統(tǒng)固有頻率的1.2倍—1.5倍前行，并且盡量要保持勻速前行，這樣，挑夫可以走的既輕快又省力?！?〕平地行進(jìn)時(shí)的手臂動(dòng)作如果挑夫的擔(dān)扁擔(dān)時(shí)用雙手在肩部前方緊緊的握住扁擔(dān)，則就必然會(huì)對(duì)扁擔(dān)施加一個(gè)拖力或壓力，然而這種拖力或壓力總是會(huì)不自覺(jué)的影響扁擔(dān)自由的上下振動(dòng)，從而可能引起扁擔(dān)的不平衡，甚至?xí)?dǎo)致扁擔(dān)以肩部為支點(diǎn)進(jìn)展轉(zhuǎn)動(dòng)，而這樣又會(huì)造成挑夫的左右晃動(dòng)，貨物的前后擺動(dòng)。挑夫和貨物的無(wú)規(guī)則晃動(dòng)亂成一氣，必然不能到達(dá)省力的左右，相反，還需要白白的浪費(fèi)許多力氣在維持扁擔(dān)平衡上，并且還會(huì)引起挑夫手臂和關(guān)節(jié)的疲勞，這顯然不是我們想看到的。而通過(guò)不斷的分析研究，我們得出了較為正確的手臂動(dòng)作：擔(dān)扁擔(dān)事，挑夫應(yīng)當(dāng)自然的將一只胳膊輕輕的搭載扁擔(dān)上，而另一只胳膊隨著挑夫的前進(jìn)步伐自由的擺動(dòng)，這樣，既不會(huì)影響到貨物的自由顫抖，也不會(huì)造成手臂和關(guān)節(jié)上的疲勞。5.3上樓梯情況下挑擔(dān)的最優(yōu)方案5.3.1上樓進(jìn)時(shí)扁擔(dān)的最正確參數(shù)〔1〕扁擔(dān)的額定固有頻率易知此參數(shù)與扁擔(dān)材質(zhì)有關(guān)不發(fā)生變化，同第二問(wèn)?！?〕扁擔(dān)的厚度設(shè)計(jì)我們依然需要把扁擔(dān)設(shè)計(jì)成等強(qiáng)度梁，但此時(shí)需考慮因人上樓梯時(shí)存在兩個(gè)加速度即加速時(shí)a1和減速時(shí)a2，此時(shí)兩個(gè)階段扁擔(dān)不再受恒定的力，彎矩也同前兩問(wèn)不一樣。但需要知道的是，我們不能根據(jù)不同階段的受力情況不斷隨時(shí)改變扁擔(dān)的厚度，所以關(guān)于扁擔(dān)的厚度參數(shù)仍采取前兩問(wèn)扁擔(dān)靜止?fàn)顟B(tài)下受力對(duì)應(yīng)的厚度變化情況，故仍遵循QUOTE變化5.3.2挑夫在上樓時(shí)的理想行進(jìn)方式〔1〕挑夫上樓時(shí)的行進(jìn)頻率挑夫上樓時(shí)垂直方向雖然存在力的改變，但因?yàn)楸鈸?dān)固有參數(shù)不變故此時(shí)行進(jìn)頻率不發(fā)生改變。〔2〕挑夫上樓時(shí)的偏角θ挑夫上樓時(shí)抬腳運(yùn)動(dòng)是一個(gè)先加速后減速的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程也決定了挑夫上一個(gè)臺(tái)階在*,y,z方向的位移，據(jù)此求出重力做功和摩擦力做功，通過(guò)分析參數(shù)樓梯坡度α和臺(tái)階高度h，根據(jù)總功和最小確定此時(shí)挑夫按照“之〞型行進(jìn)時(shí)行進(jìn)方向與正前方的夾角θ，如下列圖所示：因?yàn)樘_上升時(shí)產(chǎn)生加速度a1且m為確定常量故需要使盡可能小盡可能大，這樣扁擔(dān)上下振動(dòng)的振幅越小，我們應(yīng)盡量減小振幅，所以我們認(rèn)為此階段運(yùn)動(dòng)情況為先勻加速再勻減速由第〔1〕〔2〕問(wèn)知人的步行頻率為，則跨一步所需時(shí)間為而在時(shí)間，人腳抬起的高度必須不得小于QUOTE才能完成上一個(gè)臺(tái)階的動(dòng)作，所以有：此時(shí)能保證盡可能小盡可能大，經(jīng)過(guò)查文獻(xiàn)所得最大約為2m/s，聯(lián)立以上三式并帶入數(shù)據(jù)解得：所以：≥h=1\*GB3①即邁出一步時(shí)腳抬起的高度不得小于h，另外做功分三局部：克制重力做功W1==2\*GB3②假設(shè)考慮兩個(gè)加速階段，克制摩擦力在水平*方向的做功W2=QUOTEtanθ尚未考慮克制摩擦力在水平y(tǒng)方向的做功就發(fā)現(xiàn)式子過(guò)于繁瑣無(wú)法求出θ，故我們此時(shí)假設(shè)運(yùn)動(dòng)為勻速，簡(jiǎn)化求解?？酥浦亓ψ龉1==3\*GB3③克制摩擦力在水平*方向做的功為W2=QUOTE=4\*GB3④克制摩擦力在水平y(tǒng)方向做的功W3=QUOTE=5\*GB3⑤需要總共W1+W2+W3最小，則化簡(jiǎn)得：W=QUOTE=QUOTE令t=QUOTEW=QUOTE令z=QUOTEW=QUOTE=QUOTE可知是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，當(dāng)z=QUOTE時(shí)有最小值，此時(shí)即當(dāng)人按此偏角走“之〞型時(shí)為最正確行進(jìn)方向。六、模型的評(píng)價(jià)與改良此題通過(guò)建立多個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來(lái)分析各影響因素與挑擔(dān)者舒適程度的關(guān)系。其中利用了等價(jià)分析法、幾何分析法、多因素分析法、最優(yōu)化等方法，把原本頗具抽象的研究問(wèn)題量化，使得分析更易于理解與準(zhǔn)確。文中在建立模型時(shí)循序漸進(jìn)，先分別考慮各因素對(duì)舒適程度的作用，進(jìn)而借助權(quán)重以區(qū)分各因素的影響程度，使模型更切合實(shí)際。在分析上樓梯挑擔(dān)時(shí)，充分利用所建立的模型，構(gòu)建出最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)分析目標(biāo)函數(shù)的取值圍，結(jié)合特殊情況，給出最優(yōu)的策略建議。另外，運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程，加快了模型的求解速度。但是，為了簡(jiǎn)化模型，考慮的因素可能不夠全面，所以此模型的運(yùn)用有一定的局限性與理想化。但是，如果題目給出更多的信息，則可以確定各因素對(duì)目標(biāo)的具體權(quán)重，這樣便會(huì)使模型更加精準(zhǔn)，也進(jìn)一步提高了模型適用性與實(shí)際效果。七、參考文獻(xiàn)[1]義同，嵐.關(guān)于扁擔(dān)的力學(xué).力學(xué)與實(shí)踐，2002,24(5)：76-78[2]漆安慎,杜嬋英.力學(xué)根底[M].:高等教育,1982:430.[3]延柱，文良，立群.振動(dòng)力學(xué).:高等教育,1988.[4]鴻文.材料力學(xué)1高等教育第五版[5]尤明慶.關(guān)于扁擔(dān)挑運(yùn)力學(xué)原理的注記,2011,33八、附錄圖1.1對(duì)應(yīng)代碼段：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s).^2)).^(1/2);>>y5=((1+(2*c(5).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(5).*s).^2)).^(1/2);>>y10=((1+(2*c(10).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(10).*s).^2)).^(1/2);>>y11=((1+(2*c(11).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(11).*s).^2)).^(1/2);>>y12=((1+(2*c(12).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(12).*s).^2)).^(1/2);>>y13=((1+(2*c(13).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(13).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(14).*s).^2)).^(1/2);>>y15=((1+(2*c(15).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y20=((1+(2*c(20).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(20).*s).^2)).^(1/2);>>y25=((1+(2*c(25).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(25).*s).^2)).^(1/2);>>plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25)>>te*t(1.27,5.32,'c=0.3');>>te*t(1.18,1.63,'c=0.25');>>te*t(1.07,9.93,'c=0.05');>>te*t(0.614,2.82,'c=0.15');>>te*t(0.694,5.32,'c=0.10--');>>te*t(0.956,7.34,'c=0.08');>>te*t(0.614,2.82,'c=0.15---');圖1.2對(duì)應(yīng)代碼：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s).^2)).^(1/2);>>y5=((1+(2*c(5).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(5).*s).^2)).^(1/2);>>y10=((1+(2*c(10).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(10).*s).^2)).^(1/2);>>y11=((1+(2*c(11).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(11).*s).^2)).^(1/2);>>y12=((1+(2*c(12).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(12).*s).^2)).^(1/2);>>y13=((1+(2*c(13).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(13).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y14=((1+(2*c(14).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(14).*s).^2)).^(1/2);>>y15=((1+(2*c(15).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(15).*s).^2)).^(1/2);>>y20=((1+(2*c(20).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(20).*s).^2)).^(1/2);>>y25=((1+(2*c(25).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(25).*s).^2)).^(1/2);>>y30=((1+(2*0.35.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.35.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y40=((1+(2*0.40.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.40.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y45=((1+(2*0.45.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.45.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y50=((1+(2*0.50.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.50.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y55=((1+(2*0.55.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.55.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>y60=((1+(2*0.60.*s).^2)./((1-s.^2)+(2*0.60.*s).^2)).^(1/2).*s.^2;>>plot(s,y1,s,y2,s,y3,s,y4,s,y5,s,y10,s,y11,s,y12,s,y13,s,y14,s,y15,s,y20,s,y25,s,y30,s,y40,s,y45,s,y50,s,y55,s,y60)圖1.3對(duì)應(yīng)代碼段：>>s=0:0.1:10;>>c=0.05:0.01:0.3;>>y1=((1+(2*c(1).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(1).*s).^2)).^(1/2);>>y2=((1+(2*c(2).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(2).*s).^2)).^(1/2);>>y3=((1+(2*c(3).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(3).*s).^2)).^(1/2);>>y4=((1+(2*c(4).*s).^2)./((1-s.^2)+(2*c(4).*s