2021年高考文數(shù)真題試卷（全國(guó)乙卷）附答案

2021年高考文數(shù)真題試卷(全國(guó)乙卷)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。(共12題；共51分)

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則G(MUN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

A

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算，補(bǔ)集及其運(yùn)算

因?yàn)閁={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4}則MUN={1,2,3,4),

于是Cu(MUN)蟲(chóng)5}。

故答案為：A

【分析】先求MUN,再求Cu(MUN)。

2.設(shè)iz=4+3i,則Z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

C

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

因?yàn)閕z=4+3i,所以Z="2=竺==3—4〃

I-1

故答案為：C

【分析】直接解方程，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，得到結(jié)果。

3.已知命題p：3xGR,sinxVl；命題q：Vx￡R,e岡21,則下列命題中為真命題的是()

A.pAqB.-ipAqC.pA-iqD.-i(pVq)

A

【考點(diǎn)】全稱(chēng)量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應(yīng)用

因?yàn)槊}P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題P，q的真假，然后判斷選項(xiàng)的真假。

4,函數(shù)f(x)=sin:+cos:的最小正周期和最大值分別是()

A.3n和V2B.3n和2C.6兀和D.6n和2

C

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象，y=Asin(u)x+(j))中參數(shù)的物理意義，正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最

值

因?yàn)閒(x)=sin+cos;=^sin(-+=)，所以周期7=竽=6兀，值域［―&，網(wǎng)

332343

即最大值是近,

故答案為：Co

【分析】先將f（x）解析式化成4sin（3x+s）的形式，再由正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算周期，再由正弦函

數(shù)的性質(zhì)，得到它的最大與最小值。

%+y>4

5?若x,y滿足約束條件｛%-y42，則z=3x+y的最小值為（）

y<3

A.18B.10C.6D.4

C

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

作出線性約束的可行域（如圖陰影部分所示區(qū)域），

故答案為：C

【分析】先作出可行域，再通過(guò)目標(biāo)函數(shù)以及可行域，確定最優(yōu)解，進(jìn)一步得到答案。

6.cos2——cos2—=（）

1212

A.iB.—C.—D.—

2322

D

【考點(diǎn)】二倍角的余弦公式

因?yàn)镃OS?看—COS?居=.匕吧拉_u空嚙=1（COS工—COS巧=逅

1212222k6672

故選D。

【分析】由降幕公式，可以化成特殊角的三角函數(shù)求值。

7.在區(qū)間(0,)隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于|的概率為()

3c2〃1cl

AA.-B.-C.-D.-

4336

B

【考點(diǎn)】幾何概型

由幾何概型得：P=1—

2-°3

故答案為：B

【分析】由幾何概型概率公式即可得到結(jié)果。

8.下列函數(shù)中最小值為4的是()

44

A=x2+2%+4B.=|sinx|+7—7C=2X+22~xD.=Inx+—

jJyyjvmx

c

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義，指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

基本不等式

對(duì)于A因?yàn)閥=(x+l產(chǎn)+3,則ymin=3;故A不符合題意；

44

對(duì)于B：因?yàn)檠?|sinx|+扁3，設(shè)t=|sinx|(t€(01]),則y=g(t)=t+；(0<tS1)由雙溝函數(shù)知，

函數(shù)y=g(t)=t+lo<twi)是減函數(shù)，所以ymin=g⑴=5,所以B選項(xiàng)不符合；

對(duì)于C：因?yàn)閥=2丫+22r=2X+^>2M噎=4,當(dāng)且僅當(dāng)4=X=1時(shí)"="成立，

即ymin=4,故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D：當(dāng)(0,1)時(shí)，y=Inx+^<0>故D選項(xiàng)不符合，

故答案為：C.

【分析】A,用配方法求出干凈函數(shù)的最小值，判斷不符合；B.換元利用雙溝函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，

判斷不適合；C.變形后用基本不等式計(jì)算出最小值，判斷符合；D舉反列說(shuō)明其不符合。

9.設(shè)函數(shù)f(x)=*，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.心-1)-1B.心-1)+1C.&+1)-1D.&+1)+1

B

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

對(duì)于A：因?yàn)?1(刈=1.1卜：1,=手=-1=2—2"(—%)=—2—2,則11(兇±h(X),所以h(X)不是奇函

數(shù)，故A不符合；

對(duì)于B：因?yàn)閔(x)=f(x-l)+l,=:y：:+1=-,4(-x)=一何則h(-X)=h(X),所以h(X)是奇函數(shù)，故B符合；

l+(x—1)XX

對(duì)于C：h(x)=f(x+l)—L=二-1二告一2,%(一%)=—2,則h(-X)*h(X),所以C不符

合；對(duì)于D：h(x)=f(x+l)+l,=+：；+1=三，力(一%)=則M-X)/h(X),故D不符合.

故答案為：B.

【分析】設(shè)選項(xiàng)的各個(gè)函數(shù)是h(x),分別計(jì)算h(-x),與h(x)比較，就可以得到正確選項(xiàng)是B。

10.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，P為BiDi的中點(diǎn)，則直線PB與ADi所成的角為()

.n一九一re_n

AqB-3CqD.-

D

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角

如圖，連接AC,設(shè)AC與BD交于。，連接ODi,ADi,BP,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為X,

因?yàn)镈iP||OB||BD,且DF=BO=；BD,所以四邊形ODiPB是平行四邊形，所以BP||0Di,所以42。

即為所求的角，易證40平面BDDiBi,故4。10D1,又40=^AC="5,所以

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過(guò)平移線，作出所要求的角。

11.設(shè)B是橢圓C：9+V=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)p在c上，則|PB|的最大值為()

A.1B.V6C.V5D.2

A

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

由題意知BO1),設(shè)P(x,y)則|PB|2=(x-0)2+(y-l)2=x2+y2-2y+l=5(l-y2)+y2-2y+l

=-4y2-2y+6=-4(y+4產(chǎn)+^,因?yàn)橐?WyW1,所以當(dāng)y=-［時(shí)，|PB|2max=*此時(shí)，|PB|max

_5

~2，

故答案為：A

【分析】先寫(xiě)出B的坐標(biāo)，然后設(shè)任意點(diǎn)P（x,y）,再用兩點(diǎn)間的距離公式，表示出|PB|,再用本文法計(jì)算

|PB|的最大值即可。

12.設(shè)awO,若x=a為函數(shù)f（x）=a（x-a/（x一b）的極大值點(diǎn)，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

D

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)a>0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則（如圖1）,必有a<b,ab<a2.故B,C項(xiàng)錯(cuò)；

當(dāng)a<0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則（如圖2）,必有a>b>a。故A錯(cuò)。

故答案為：D.

【分析】對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論，根據(jù)極值點(diǎn)的意義，作圖分析，得到正確選項(xiàng)。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分(共4題；共17分)

13.已知向量a=(2,5),b=(入,4),若d//b，則入=.

8

5

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

因?yàn)檎?2,5)了=(入,4),且0萬(wàn),則2x4—52=0,則

【分析】根據(jù)向量平行的條件即可得到結(jié)果。

14.雙曲線1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為_(kāi)_____.

45

V5

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系

由題意得，a2=4,b2=5,所以c2=a?+b2=9,所以c=3(c>0),所以橢圓的右焦點(diǎn)是(3,0),則右焦點(diǎn)(3,0)到直線x+2y-8

的距離為d=.狀丁=V5.

【分析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后用點(diǎn)到直線的距離公式求焦點(diǎn)到直線的距離即可。

15.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為舊，B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

2V2

【考點(diǎn)】余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算

11“取廣

ABC=-cicsinB=-acsin60u=—ac=V3=>ac=4,

224

于是b=y/a2+c2-2accosB—y/a2+c2—ac=72ac—2>/2

【分析】根據(jù)面積的值，計(jì)算出ac,再由余弦定理求解。

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，

則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可).

②⑤或③④

【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖

當(dāng)俯視圖為④時(shí)，右側(cè)棱在左側(cè)，不可觀測(cè)到，所以為虛線，故選擇③為側(cè)視圖；

當(dāng)俯視圖為⑤時(shí)，左側(cè)棱在左側(cè)可觀測(cè)到，所以為實(shí)線，故選擇②為側(cè)視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關(guān)系。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(共5題；共50分)

17.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和

一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為土和歹，樣本方差分別記為才和S2?

(1)求無(wú)，y,si2,S22；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果y-x>2居豆，則認(rèn)為

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

(1)解：各項(xiàng)所求值如下所示

x=—(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

y=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

s1f=-10

X[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,

sf=x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)得y-x=0.3,2交隹=0.34

yio

顯然歹-元V2禺I,所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【分析】(1)先計(jì)算新舊樣本平均數(shù)元歹，再直接用公式計(jì)算S12,s?；

⑵由(1)中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得：y-x=0.3,2套1=0.34,顯然歹-￡<2,可得到答案。

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD1底面ABCD,M為BC的中點(diǎn)，且PB_LAM.

(1)證明：平面PAM1平面PBD；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ADCD的體積.

(1)因?yàn)镻D1底面ABCD,AMu平面ABCD,

所以PD1AM,

又PB1AM,PBCPD=P,

所以AM1平面PBD,

而AMu平面PAM,

所以平面PAM1平面PBD.

(2)由(1)可知，AM1平面PBD,所以AM1BD,

從而△DAB?△ABM,

設(shè)=%,4D=2x,則器=卻，

ABAD

即2x2=1,

解得“當(dāng)，所以AD=夜.

因?yàn)镻D1底面ABCD,

故四棱錐P-ABCD的體積為V=|x(lxV2)xl=^.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面垂直的判定

【分析】(1)由PD垂直平面ABCD,及PB垂直AM,可以證明AMJL平面PBD,從而可能證明

平面PAM1平面PBD；

(2)由連接BD(1)可得AM1BD,證明△D4B?△4BM通過(guò)計(jì)算，求出高AD=近，再用棱錐

體積公式直接得到答案。

19.設(shè)｛a?)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足垢=等，已知的,3a2,9a3成等差數(shù)列.

⑴求｛an｝和｛bn)的通項(xiàng)公式；

(2)記Sn和Tn分別為｛an］和｛bn)的前n項(xiàng)和.證明：Tn<^.

(1)因?yàn)椋梗鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且由，3a2,9a3成等差數(shù)列，

2

所以6a2=+9a3，所以6axq=ar+9a1q,

即9q2_6q+1=0,解得q=：,所以即=(鄉(xiāng)”】，

所以也=等=a.

（2）證明：由⑴可得Sn=與岸=|（1—點(diǎn)），

3

〃=!+專(zhuān)+…+舒+招>①

沔，+尹…+攀+^T-②

①-②得|加=[+專(zhuān)+專(zhuān)+，“+去―^7=32_^__2L_=|（1_2.）__2L,,

所以與=久一點(diǎn)）一部，

所以4一胃=久1-親）一建一、（1_勃=-彘（°,

所以.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和

【分析】由%,3a2,9a3成等差數(shù)列，列關(guān)系式等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比q,進(jìn)而得到an,再由b0

與an的關(guān)系求得bn；

（2）先根據(jù)條件求得的,再由錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求得4的表達(dá)式，最后用求差比較法，證明〃〈事.

20.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求C的方程.

（2）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足而=9而，求直線OQ斜率的最大值.

（1）拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F4,0）,準(zhǔn)線方程為x=-f,

由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為々-（—：）=P=2,

所以該拋物線的方程為y2=4x；

(2)設(shè)Q(x0,y0)，則PQ=9QF=(9-9x0,-9y0),

所以P(10xo-9,10yo),

由P在拋物線上可得(lOyoA=4(10沏-9),即g=至禁，

_yo_yo_10yo

所以直線0Q的斜率kK0Q=-=區(qū)國(guó)=通帝,

10

0

當(dāng)y0=時(shí)，5=0；

當(dāng)y°HO時(shí)，/，。<?=亞您，

當(dāng)y0>0時(shí)，因?yàn)?5yo+^>2J25yo=30,

此時(shí)0<%Q〈；，當(dāng)且僅當(dāng)25yo=7，即％=:時(shí)，等號(hào)成立;

oZ03

當(dāng)y。<o時(shí)，k°Q<o；

綜上，直線0Q的斜率的最大值為1.

【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系

【分析】(1)根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可求得P的值，就可以寫(xiě)出拋物線的方程；

(2)先設(shè)出Q的坐標(biāo)M(xo,yo),在代入己知等式PQ=9QF,用(xo,yo)表示出P(10x0-9,10y0),再代

入拋物線方程，推導(dǎo)出xo,yo的關(guān)系，再表示出0Q的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即

可。

21.已知函數(shù)/(%)=%3-%2+ax4-1.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(%)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)由函數(shù)的解析式可得：f(%)=3%2—2%4-a，

導(dǎo)函數(shù)的判別式4=4—12a，

當(dāng)/=4-12aS0,a29時(shí)，f>0J(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)/=4-12a>0,a<9時(shí)，/'(乃=0的解為：/=三亙,工2=七亙，

當(dāng)(-守)時(shí)，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(勺守，土產(chǎn))時(shí)，,(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(四守,+叼時(shí)，f'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

綜上可得：當(dāng)a2：時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<；時(shí)，/(x)在(一8,二旦紅)上單調(diào)遞增，在(空王當(dāng)，葉旦紅)上單調(diào)遞減，在

S666

(文豆至,+F上單調(diào)遞增.

6

(2)由題意可得：f(x0)=XQ—XQ+ax0+1>f(x0)=3XQ—2x0+a>

則切線方程為：y—(瑞一瑞++1)=(3詔-2*o+a)(x—&),

切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則:0-(瑞-詔+ax。+1)=(3詔-2xo+a)(0-,

整理可得：2端一詔一1=0,即：(x0—l)(2%o+x0+1)=0,

解得：x0=1?則f(殉)=/(I)=l-l+a+l=a+l,

即曲線y=/(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(%)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(l,a+l).

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)分類(lèi)討論a的取值，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)x。,通過(guò)求導(dǎo)求出切線的斜率，寫(xiě)出切線的方程，再利用切線過(guò)原點(diǎn)的條件，就

可以得到X。的值，進(jìn)一步得到公共點(diǎn)坐標(biāo)。

四、［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(共1題；共2分)

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，OC的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫(xiě)出。c的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F(