2021年北京市昌平區(qū)中考數學二模試卷（附答案詳解）

2021年北京市昌平區(qū)中考數學二模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分）

1.自2021年1月1日起，全市啟動九類重點人群新冠疫苗接種工作.昌平設置46個疫

苗接種點位，共配備醫(yī)務人員1200多名.截至3月28日18時-，昌平區(qū)累計新冠疫

苗接種共完成1015000人次，整體接種秩序井然,將1015000用科學記數法表示應為

()

A.10.15x106B.1.015x106C.0.1015x107D.1.015x107

2.下列幾何體的主視圖和俯視圖完全相同的是()

3.下列圖形中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

4.實數a,b,c,d在數軸上對應的點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

--------?-------?----?，！?>

ab0cd

A.|a|<\b\B.ad>0C.a+c>0D.d-a>0

5.如果一個多邊形的內角和與外角和相等，那么這個多邊形的邊數是（）

A.3B.4C.5

6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABC。和正方

形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比

是號點A,B,E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為

12,則點C的坐標為（）

A.（6,2）B.（6,4）C.(4,4)D.(8,4)

7.疫情期間進入學校都要進入測溫通道，體溫正常才可進入學校，昌平某校有2個測

溫通道，分別記為A、B通道，學生可隨機選取其中的一個通道測溫進校園.某日早

晨該校所有學生體溫正常.小王和小李兩同學該日早晨進校園時，選擇同一通道測

溫進校園的概率是（）

A.；B.|C.|D.|

8.世界各國溫度的計量單位尚不統(tǒng)一，常用的有攝氏溫度（°C）和華氏溫度（呼）兩種，

它們之間的換算關系如表所示：

攝氏（單位。C）0123456

華氏（單位。F）3233.835.637.439.24142.8

那么當華氏度與攝氏度對應相等時的溫度值是（）

A.32B.-20C.-40D.40

二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）

9.代數式近7』有意義時，x應滿足的條件是.

10.將一副三角板如圖擺放，斜邊AB與直角邊OE相交于點R則48FE=

11.寫出一個比我小的正整數是

12.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,C,。是網格線交

點，則△ABC的面積與AADB的面積大小關系為：S-BC

SA.（填“>”"=”或“<”）?

13.方程組的解為.

14.今年五月某中學舉行一次“新冠”防疫知識競賽，該校九年級1班、2班各選派了

6名學生參賽，為了全面了解、比較兩個班級的參賽學生的實力，請你根據表格成

績對他們進行統(tǒng)計分析：

第2頁，共27頁

1班657070707582

2班557070758082

請問：五覆siS機填”或“<”)

15.有一條拋物線，兩位同學分別說了它的一個特點：

甲：對稱軸是直線x=4；

乙：頂點到x軸的距離為2.

請你寫出一個符合條件的解析式：.

16.盒子里有甲、乙、丙三種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆乙粒

子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會變成第三種粒子.例如一顆甲粒子和一顆乙

粒子發(fā)生碰撞則變成一顆丙粒子，現有甲粒子6顆，乙粒子4顆，丙粒子5顆，如

果經過各種兩兩碰撞后，只剩下1顆粒子，給出下列結論：

①最后一顆粒子可能是甲粒子；

②最后一顆粒子一定不是乙粒子；

③最后一顆粒子可能是丙粒子.

其中正確結論的序號是：.

三、解答題(本大題共12小題，共68.0分)

17.計算：V8-(1)-1+|-2|-4sin45°.

f4x—6<2%

18.解不等式組：3X-2>￡,并把解集表示在數軸上.

I53

19.已知/+x-i=o,求代數式(3x+1)2-x(x-2)的值.

20.下面是小明同學設計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程.

已知：Z.AOB.

求作：Z.ADC,使乙4DC=2N4OB.

作法：如圖，

①在射線03上任取一點C；

②作線段OC的垂直平分線，交OA于點。，交OB于點、E,連接OC.

所以"DC即為所求的角.

根據小明設計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面證明(說明：括號里填寫作圖依據).

證明：是線段OC的垂直平分線，

0D=(),

???Z.A0B=(),

???Z.ADC=Z,A0B+乙DC0,

???/.ADC=2/.A0B.

第4頁，共27頁

21.已知關于x的一元二次方程/—4尤+a=0有兩個不相等的實數根.

(1)求a的取值范圍；

(2)請你給出一個符合條件的a的值，并求出此時方程的解.

22.如圖，矩形ABCD,延長4。至點F,使=連

接AC,CF,過點A作力E〃CF交CD的延長線于點E,

連接EF.

(1)求證：四邊形4CFE是菱形；

(2)連接BE交4。于點G.當48=2,tan乙4cB=：時，求8E的長.

23.為了解昌平區(qū)兩校學生對垃圾分類知識的掌握情況，從甲、乙兩所學校各隨機抽取

40名學生進行垃圾分類知識的測試，獲得了他們的成績(百分制)并對數據(成績)進

行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.甲、乙兩校40名學生成績的頻數分布統(tǒng)計表如表:

成績尤

50<x<6060<%<7070<x<8080<x<9090<x<100

學校

甲4159102

乙6315142

(說明：成績80分及以上為優(yōu)秀，70?79分為良好，60?69分為合格，60分以下

為不合格)

b.甲校成績在70Wx<80這一組的是：70,70,71,72,73,74,76,77,79.

c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數、眾數如表：

學校平均分中位數眾數

甲74.2n85

乙73.57684

根據以上信息，回答下列問題：

(1)寫出表中"的值；

(2)估計乙校200名學生中，成績優(yōu)秀的學生人數是；

(3)假設甲校200名學生都參加此次測試，并決定年級排名在前100名的學生都可

以被評為“垃圾分類知識標兵”榮譽稱號，預估甲校學生至少要達到分可

以獲得此榮譽稱號.

24.在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=§的圖象與直線/：y=-x-2交于點

4(a,-4),直線，與x軸交于點B.

(1)求〃，々的值；

(2)在y軸上存在一點C,使得SMBC=3,求點C的坐標.

第6頁，共27頁

25.如圖，AB為。。直徑，點C,力在。。上，且比=①,過點C作CE〃BD,交AB

延長線于點E.

(1)求證：CE為。。切線;

(2)過點C作CF14E交BO于”點，NE=30。，CH=6,求BE的長.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax?+bx+3a(aK0)與x軸的交點為點

力(1,0)和點艮

(1)直接寫出拋物線的對稱軸和點B的坐標；

(2)分別過點P(t,O)和點Q(t+2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N,記拋物

線在M,N之間的部分為圖象G(包括M,N兩點).記圖形G上任意一點的縱坐標的

最大值是相，最小值為〃.

①當a=2時，畫出拋物線的圖象，根據圖象直接寫出m-n的最小值；

②若存在實數f,使得m-n=2,直接寫出a的取值范圍.

27.如圖，在等腰直角A4BC中，AB=AC,^BAC=90°,點。是C4延長線上一點，

點E是AB延長線上一點，且4D=BE,過點A作OE的垂線交OE于點F,交BC

的延長線于點G.

(1)依題意補全圖形；

(2)當乙4EO=a,請你用含a的式子表示乙4GC；

(3)用等式表示線段CG與AO之間的數量關系，并寫出證明思路.

28.對于平面直角坐標系xOy中的圖形M,N,給出如下定義：P為圖形M上任意一點，

。為圖形N上任意一點，如果P,。兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為

圖形M,N間的“閉距離”，記作d(M,N).特殊地，當圖形M與圖形N有公共點時，

規(guī)定d(M,N)=0.

已知點4(-2,0),B(0,2遮)，C(2,0),

(1)①求d(點0,線段48)；

第8頁，共27頁

②若d(線段CD,直線AB)=1,直接寫出，"的值；

(2)。。的半徑為〃若d(。。，線段48)41,直接寫出r的取值范圍；

(3)若直線y=W%+b上存在點E,使d(E,A4BC)=l,直接寫出。的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:將1015000用科學記數法表示為：1.015X106.

故選：B.

科學記數法的表示形式為ax1(F的形式，其中1<|a|<10,〃為整數.確定n的值時，

要看把原數變成〃時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當

原數絕對值>1時，〃是正數；當原數的絕對值<1時，〃是負數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax10幾的形式，其中

|a|<10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

2.【答案】D

【解析】解：A、主視圖是矩形，俯視圖是圓，故本選項不合題意；

8、主視圖是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故本選項不合題意；

C、主視圖是矩形，俯視圖是三角形，故本選項不合題意；

。、主視圖和俯視圖完全相同，是等圓，故本選項符合題意.

故選：D.

主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形.

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵.注意所有的看到的棱都應表現在三視

圖中.

3.【答案】A

【解析】解：A、等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.故本選項符合題意：

8、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

C、正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.故本選項不合題意；

。、正六邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.故本選項不合題意.

故選：4

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形

兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖

重合.

第10頁，共27頁

4.【答案】D

【解析】解：由實數a,b,c,d在數軸上對應的點的位置可知，a<b<O<c<d,

???|a|>\b\,ad<0,a+c<0,d-a>0,

因此選項。正確，

故選：D.

根據實數在數軸上的位置，得出各個數的大小關系，再根據絕對值的大小，判斷相關代

數式的符號.

本題考查數軸表示數，有理數的四則運算法則，理解符號、絕對值是確定有理數的必要

條件.

5.【答案】B

【解析】解：設多邊形的邊數為〃，根據題意

(n-2>180°=360°,

解得n=4.

故選：B.

利用多邊形的內角和與外角和公式列出方程，然后解方程即可.

本題考查了多邊形的內角和公式與多邊形的外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與

邊數無關，任何多邊形的外角和都是360。.

6.【答案】B

【解析】解：?.?正方形AB8和正方形BEFG是以原點。為位似中心的位似圖形，且相

似比是：，正方形BEFG的邊長為12,

BC//EF,g=BC=4,

OBC~2OEF,

OBBC1OB1

???一二—=一,即nn-----=

OEEF3OB+123

解得，08=6,

???點C的坐標為(6,4),

故選:B.

根據位似圖形的概念得到BC〃EF,進而證明△OBCs^OEF,根據相似三角形的性質列

出比例式，計算即可.

本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，掌握位似變換的兩個圖形相似、對

應邊平行是解題的關鍵.

7.【答案】C

【解析】解：畫樹狀圖如圖：

開始

小王AB

小李AABAAB

共有4個等可能的結果，小王和小李兩同學該日早晨進校園時，選擇同一通道測溫進校

園的結果有2個，

.??小王和小李兩同學該日早晨進校園時，選擇同一通道測溫進校園的概率為：=

42

故選：C.

畫樹狀圖，得出所有等可能的結果和滿足條件的結果，再由概率公式求解即可.

此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數

之比.

8.【答案】C

【解析】解：設華氏度y與攝氏度x的函數關系式是、=卜%+兒

9

卜=三，

(b=32

即y與x的函數關系式是y=1x+32；

令y=x,

則x=：x+32,

解得，x=-40,

即當華氏度與攝氏度對應相等時的溫度值是-40度.

故選：C.

根據題意目中的數據可以求得y與x的函數關系式，令y=x即可解答本題.

本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答.

9.【答案】x>2

第12頁，共27頁

【解析】解：由題意，得2%-420,

解得%>2.

故答案為：x>2.

根據二次根式的被開方數是非負數得到2x-4>0,求解即可.

考查了二次根式的意義和性質.概念：式子迎(a20)叫二次根式.性質：二次根式中

的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.

10.【答案】60°

【解析】解：乙DAE=4E=45°,/.CAF=30°,

???AEAF=^LDAE-^DAF=15°,

ABFE=Z.FAE+NE=150+45°=60°,

故答案為：60°.

根據已知條件得到NZME=4E=45。，/.CAF=30°,根據角的和差得到4E4F=

^DAE-ADAF=15°,由外角的性質即可得到結論.

本題考查了三角形外角的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形的內角和定理是

解題的關鍵.

11.【答案】2

【解析】解：：4<8<9,

2<V8<3.

???寫出一個比我小的正整數是2.

故答案為：2(答案不唯一).

先估計%的大小，再根據條件確定答案.

本題考查了估計無理數的大小，知道算術平方根與平方的關系是解題的關鍵.

12.【答案】=

【解析】解：AB2=8,BC2=2,AC2=10,

???AB2+BC2=AC2,

??.△ABC是直角三角形，

S?ABC=5xV2x2V2=2,S“BD=ax2x2=2,

S&ABC=SAAB。＞

故答案為：=.

根據勾股定理逆定理證明△4BC是直角三角形，然后分別求出△4BC的面積和44BD的

面積，即可求解.

本題考查了三角形的面積，勾股定理逆定理，掌握三角形的面枳公式是本題的關鍵.

13?【答案】

【解析】解：憶［二/

①+②，得3%=6,

解得：x=2,

把％=2代入②，得2—y=2,

解得：y=0,

所以方程組的解是｛；z0，

故答案為：g：o.

①+②得出3x=6,求出x把x=2代入②求出y即可.

本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關

鍵.

14.【答案】=<

【解析】解：：五=65+70X3+75+82;口入石=55+70x2+75+80+82=

66

sf=-x[(65-72)2+3x(70+72)2+(75-72)2+(82-72)2]=警，

63

S/=：X[(55-72)2+2x(70+72)2+(75-72)2+(82-72)2+(80-72)2]=竽,

63

***X]—'%2'S：<S：.

故答案為：=,<.

根據算術平均數和方差的定義分別列式計算即可.

本題主要考查方差，解題的關鍵是掌握算術平均數和方差的定義.

15.【答案】y=2x2-16%-34(答案不唯一)

【解析】解：設拋物線y=ax2+bx+c,

對稱軸％=-3=4,

2a

第14頁，共27頁

頂點到X軸的距離為2,

即頂點坐標為(4,-2)或(4,2),

把頂點坐標代入拋物線解析式得：

16a2+4b+c=±2,

b.

v-----=4,

2a

即：2b+c=±2,

滿足這樣條件的拋物線不唯一.

設Q=2,2b+c=2時

(a=2

則卜=—16

(c=-34

設a=2,2b+c=-2時,

a=2

則b=-16,

c=-30

故其中一個符合條件解析式為：y=-2x2-16%-34.

故答案為：y=—2/—16x—34.答案不唯一.

設拋物線丫=aM+汝+c,根據對稱軸公式得對稱軸x=-a=4,頂點到x軸的距離

為2,即可得頂點坐標為(4,-2)或(4,2),把頂點坐標代入拋物線解析式，即2b+c=±2,

滿足這樣條件的拋物線不唯一.設a=2,根據氏c的關系取值即可得到拋物線解析式.

本題考查了二次函數的性質.解本題的關鍵熟練掌握二次函數的頂點坐標和對稱軸.

16.【答案】①③

【解析】解：由題目知每次碰撞都會減少一個粒子，現在共有15顆粒子，碰撞14次后

只剩1顆粒子，

(1)每次碰撞后乙粒子的數量增多或者減少一個，題目中開始有8顆乙粒子，14次碰撞

之后剩余的乙粒子也是偶數不可能是1個；

(2)每次碰撞之后，甲，丙粒子的總數不變或者減少兩個，題目中甲和丙粒子之和為11

個，無論碰撞多少次甲和丙都沒有了是不可能的，

綜上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能是乙，

故答案為：①③.

由題目可知每次碰撞都會減少一個粒子，分別從每種粒子的角度分析碰撞后有沒有剩余

來判斷最后的粒子是什么粒子.

本題是一道推理論證題，找出每次碰撞后粒子的變化規(guī)律是解題的關鍵.

17.【答案】解：原式=2&—2+2—4X立

2

=2V2-2+2-2V2

=0.

【解析】直接利用特殊角的三角函數值以及負整數指數幕的性質、二次根式的性質分別

化簡得出答案.

此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

18.【答案】解：解不等式4x-6<2x,得：%<3,

解不等式平>：,得：x>|,

則不等式組的解集為|<x<3,

將不等式組的解集表示在數軸上如下：

------------------------------------

0132y

2

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取

大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

19.【答案】解：(3x+l)2-4X-2)

=9x2+6x+1-x2+2x

=8x2+8x+1,

,■x2+x—1=0,

X2+X=1,

二原式=8(x2+x)+1=9.

【解析】根據完全平方公式、單項式乘多項式把原式化簡，把已知等式變形，代入計算

即可.

本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵.

20.【答案】DC線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等DCO等邊對

第16頁，共27頁

等角

【解析】解：⑴如圖,

乙4DC即為所求作：

（2）證明：:ED是線段0C的垂直平分線，

0D=DC（線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等），

40=ZOC。（等邊對等角），

???^ADC=4。+4DC。（三角形任意一個外角等于與它不相鄰的兩內角的和），

???Z,ADC=2/-A0B,

故答案為線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；三角形任意一個外角

等于與它不相鄰的兩內角的和.

（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形；

（2）先根據線段垂直平分線的性質得到。。=DC,則根據等腰三角形的性質得到4。=

乙DC0,然后根據三角形外角性質得到N40C=2AA0B.

本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結

合了幾何圖形的性質和基本作圖方法，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質,

結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

21.【答案】解：（1）;關于》的一元二次方程》2—4%+￡1=0有兩個不相等的實數根.

???△=42-4xlxa>0,

解得a<4.

(2)由(1)知，實數a的取值范圍為a<4,

故取a=3,

則——4%+3=0,即(x—3)(x—1)=0,

解得,X]=3,x2=1.

【解析】(1)根據判別式的意義得到4=42-4x1xa>0,然后解不等式即可.

(2)根據(1)中a的取值范圍，任取一〃的值，然后解方程即可.

本題考查了一元二次方程a/+bx+c=0(a40)根的判別式△=b2-4ac：當4>0,

方程有兩個不相等的實數根；當△=(),方程有兩個相等的實數根；當△<(),方程沒有

實數根.

22.【答案】解：(1)證明：???矩形ABCC,

???/.ADC=90°,

:.AF1CE,

vDF=AD,

：.AE=EF,AC=CF,

:.Z-AED=乙FED,

-AE//CF,

:./.AED=乙ECF,

:.乙FED=Z-ECF,

???EF=CF,

???AE=EF=AC=CF,

???四邊形ACFE是菱形；

(2)解：如圖，

???矩形ABC。，

???Z.ABC=乙BCE=90°,CD=AB=2,

由(1)知四邊形ACFE是菱形，

:,CD=DE=2,

???EC=4,

vAB=2,tan乙4cB=

2

???BC=4,

???BE=VfiC24-CE2=4V2.

第18頁，共27頁

【解析】(1)利用矩形的性質證得/F1CE,利用垂直平分線的性質證得4E=EF,AC=

CF,進而證得4E=EF=AC=CF,可求證；

(2)利用(1)可求得CE=4,利用三角函數求得BC,進而利用勾股定理可求得.

本題考查了矩形的性質，垂直平分線的性質和勾股定理等知識，關鍵是熟練運用這些性

質解答.

23.【答案】6070

【解析】解：(1)甲校40名學生的成績從小到大排列，處在中間位置的兩個數，即第20、

第21位的兩個數都是70,因此中位數是70,即n=70；

⑵200x嗤=60(人)，

故答案為：60；

(3)由甲校學生成績的中位數是70分,即一半學生在70分以上，一半學生在70分以下，

200名學生中的前100名，即一半獲獎，因此至少要在70分，

故答案為：70.

(1)根據中位數的意義求解即可；

(2)求出乙校優(yōu)秀學生占調查人數的百分比即可；

(3)根據中位數的意義進行判斷即可.

本題考查中位數、眾數，理解中位數、眾數的意義是正確解答的前提.

24.【答案】解：(1)將點Z(a,—4)的坐標代入y=-刀一2中，

得—4=—CL—2>

解得a=2；

???點4(2,—4),

將點4(2,-4)的坐標代入反比例函數y=g中，

得k=2x(-4)=-8；

答：。，女的值為2,-8；

(2)當y=0,-x-2=0,解得％=-2,

二點B的坐標為(一2,0).

設P(0,t)，

S^ABC=5>

-x|t+2|x2+—x|t+2|x2=3,

即|t+2|=|,

t=-3或一;，

.?"(0,-》或「(0,一今.

【解析】(1)先將點A坐標代入y=-x-2中可求出a=2,然后把A點坐標代入反比例

函數y=：中可確定女的值：

(2)利用一次函數解析式可確定3點坐標，設C(O,t),利用三角形面積公式得到：x|t+

2|x2+|x|t+2|x2=3,然后求出，可得到C點坐標.

本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標,

把兩個函數關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩

者無交點.也考查了待定系數法求函數解析式.

■:CD=BD>

：.OC1BD,

???CE//BD,

???OC1CE,

:.CE為O。切線；

(2)解：在RtACE。中，NE=30。，

???AEOC=60°,

OB-OC,

??.△BOC為等邊三角形，

???Z,CBO=乙BCO=60°,

vBD1OC,CF1OB,

乙CBD=AOCF=乙BCE=30°,

???乙CKH=乙CHK=乙KCH=60°,BC=BE,

：?CK=CH=6,

第20頁，共27頁

在RtABCK中，tanzCB/C=tan30°=—=—=—,

BCBC3

???BC=BE=6V3.

【解析】(1)連接CO,8。與AC交于點K,由垂徑定理得出。ClBD,由平行線的性質

得出OCJ.CE,則可得出結論；

(2)證明△BOC為等邊三角形，由等邊三角形的性質得出NCB。=4BCO=60°,求出

CK=CH=6,由銳角三角函數的定義可得出答案.

本題主要考查了切線的判定與性質，銳角三角函數的定義，勾股定理，等邊三角形的判

定與性質，直角三角形的性質，垂徑定理，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵.

26.【答案】解：⑴拋物線y=ax?+%+3a(a。0)與x軸的交點為點4(1,0),

二0=a+b+3a,

即b=-4a,

???對稱軸為直線x=—*=2,

???B點是函數圖象與x軸的另一交點，

N(3,0),

???頂點坐標為(2,-2),

???m-n的最大值為0-(-2)=2；

②?.?點P(t,0)和點Q(t+2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N,

由(1)知b=-4a,

M(t,at?—4at+3a),N(t+2,a(t+2)?—4a(t+2)+3a),

又?.?拋物線對稱軸為2,頂點坐標為(2,-2),

???根據M、N點的相對位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論a的取值:

(1)當。>0,且two時，即圖象G在對稱軸左側時，

此時M點的縱坐標最大，N點的縱坐標最小，

???at2-4at+3Q—[a(t+2)2-4a(t+2)+3a]=2,

解得t=1

a

又t40,a>0,

???1—LW0且a>0,

a

0<a<1,

(口)當口>0,且降2時，即圖象G在對稱軸右側時,

此時N點的縱坐標最大，M點的縱坐標最小，

???a(t+2)2—4a(t+2)+3a-(at2-4at+3a)=2,

解得t=j,

a

又N2,a>0,

1

：?—IN2且a>0,

a

0<a<p

(in)當Qvo,且two時,即圖象G在對稱軸左側時,

此時N點的縱坐標最大，M點的縱坐標最小，

:.a(t+2)2—4a(t+2)+3a—(at2—4at+3a)=2,

解得t=L-l,

a

又???￡N2,a<0,

1

：?—122且a<0,

a

:.a<0,

(W)當Q<0,且t22時，即圖象G在對稱軸右側時，

此時M點的縱坐標最大，N點的縱坐標最小，

ad—4at+3a-[<z(t+2)2—4a(t+2)+3a]=2,

解得t=1」，

a

又??,t<0,a<0,

1

?**1—W0且a<0?

a

???a<-1,

第22頁，共27頁

綜上，a的取值范圍為a<0或0<aW1.

【解析】(1)根據A點的坐標代入函數可以得出系數關系式，根據對稱軸公式可求出對

稱軸，再根據對稱性求出B點坐標；

(2)①當a=2時，根據函數解析式可以求出頂點坐標，根據給出的P、。點坐標可以確

定r值，即進一步確定G的圖像，即可求出zn—n最小值；

②分a>0和a<0兩大情況，再每種情況下按t的取值范圍分兩小類，分別討論a的取

值范圍.

本題考查二次函數的綜合應用，難度較大，解題的關鍵是分類討論圖象G上縱坐標的大

小值.

27.【答案】解：(1)依題意補全圖形如圖1所示：

圖1

(2)???AB=AC,ABAC=90°,

乙ACB=45°,

???乙AGC+Z.CAG=乙ACB=45°,

vZ-AF1DE,

???^.AFE=90°=Z.DAE,

???Z.AED+Z.EAF=Z.DAF+^EAF=90°,

???Z-DAF-Z.AED=a,

???Z.CAG=Z-DAF=a,

:.Z-AGC=45°-a；

(3)CG=V2AD,證明思路如下：

過G作GH1AC交4c的延長線于H,如圖2所示:

E

則4G/M=90°=^DAE,ACGH是等腰直角三角形,

得CH=GH,CG=V2GH,

設AB=AC=a,AD=BE=b,CH=GH=m,

由(2)可知，/LAED=Z.HAG,則△ADESAHGA,

zpMEHAa+da+m

得一=—，即Hn---=----，

^ADHGbm

整理得：am+bm=ab+bm9則m=b,

故CG=y/2m=V2b=y[2AD-

【解析】(1)依題意補全圖形即可；

(2)由等腰直角三角形的性質和三角形的外角性質得4GC+^CAG=45°,再證NC/G=

Z-DAF=a,即可求解；

(3)過G作GH14C交AC的延長線于〃，則△CGH是等腰直角三角形，得CH=GHXG=

設4B=AC=a,AD=BE=b,CH=GH=m,再證△ADEfHGA,得第=黑,

得出?n=b,即可得出結論.

本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等