2021年北京二中高考數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2021年北京二中高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.設(shè)集合力=[-2,2],B={y\y=(x-l)2,x&A},則AnB=()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-2,9]

2.已知定義域為R的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，當時，/。)=|%-。2|一。2,且對xeR,恒有/(%+

1)>/(x),則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[0,2]B.C.[-1,1]D.[-2,0]

3.下圖實線是函數(shù)y=/(x)(0WxW2a)的圖象，它關(guān)于點4(a,a)對稱.如

果它是一條總體密度曲線，則正數(shù)a的值為()

A.立

2

B.1

C.2

D.V2

4.若a€R,則“a=2”是“(a-l)(a-2)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若sin0-a)=|,則cos(y+2a)=()

A.JB.IC.-iD.J

6993

6.實驗中學(xué)“數(shù)學(xué)王子”張小明在自習課上，對正整數(shù)1,2,3,4,按如下形1

23

式排成數(shù)陣好朋友王大安問他“由上而下第20行中從左到右的第三個數(shù)是456

多少”張小明自上而下逐個排了兩節(jié)課，終于找到了這個數(shù)，聰明的你一定78910

知道這個數(shù)是（）

A.190B.191C.192D.193

3__

7.6.在AAFC中，b'=ac,旦2+c=3,cos3=，則AkS3C=

33

A.-B.——C.3D.-3

22

8.如圖所示，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等腰梯形，等腰直角三

角形和長方形，則該幾何體體積為（）

正視圖側(cè)視圖

9.已知定義在R上的函數(shù)若函數(shù)k（x）=/（%）+ax恰有2個零點，則實數(shù)a

的取值范圍為（）

A.—1)U{0}U(1,4-00)B.(―1,—^)U{0}U(1,4-00)

C.(-l,-j)U{0}U(-|,+c?)D.(-o),-l)u{0}u(-j,l)

10.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=g(x)=x+1B./(x)=x,g(x)=?

C./(x)-x,Ig(x)-Vx1D./(x)-|x|.g(x)-

二、單空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.國家新能源汽車補貼政策，刺激了電動汽車的銷售，據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)今年Q型電動汽

車的銷售將以每月10%的增長率增長；R型電動汽車的銷售將每月遞增20輛，已知該地區(qū)今年1

月份銷售Q型和R型車均為50輛，據(jù)此推測該地區(qū)今年Q型汽車銷售量約為輛；這兩款車

的銷售總量約為輛.（參考數(shù)據(jù)：l」ii=2.9,LI短。3.1,l.M3a3.5）

12.若函數(shù)/（%）=cosx-s譏x在［-a,a］是單調(diào)遞減，貝!la的最大值是.

13.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空

車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

馬-，=』相切,

14.已知拋物線/=瞬的準線旨與雙曲線郎則雙曲線烈的離心率忽=

15.設(shè)0WXW2,則函數(shù)1=9"一2+3的最大值為

三、解答題（本大題共6小題，共85.0分）

16.如圖，在直棱柱4BC-4—G中,4BaC=《4B=4C=V7,44i=3,

D是BC的中點，點E在棱BBi上運動.

(1)證明：AD1QE

(2)當異面直線4C,GE所成的角為g時，求三棱柱6-4/汪的體積.

17.已知函數(shù)/Q)=sin(三一》.

(1)請用“五點法”畫出函數(shù)f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖(先在所給的表格中填上所需

的數(shù)值，再畫圖)；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.某數(shù)學(xué)興趣小組有男生2名，記為a,b,女生3名，記為c,d,e.現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加學(xué)校

數(shù)學(xué)競賽.

(1)寫出所有的基本事件并計算其個數(shù)：

(2)求參賽學(xué)生中恰好有1名男生的概率；

(3)求參賽學(xué)生中至少有1名男生的概率.

19.已知圓Fi：(x+V3)2+y2=16.圓心為國,定點尸2(四,0)，P為圓&上一點，線段PF2的垂直

平分線與直線P&交于點Q.

(1)求點Q的軌跡C的方程：

(2)過點(0,2)的直線/與曲線C交于不同的兩點4和B,且滿足N40B<90。(。為坐標原點)，求直線［斜

率的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(%)=ax+Inx,

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)設(shè)g(%)=%2-2%+2,若對任意%1G(0,+oo),均存在%?€[0,1],使得/(%力＜9(不)，求實數(shù)a的

取值范圍.

21.若一3e{a—3,2a-l,a2+l)，求實數(shù)a的值.

參考答案及解析

1.答案：c

解析:解：??,集合A=[-2,2],

B={y\y=(x-l)2,xEA]={y|0<y<9]=[0,9],

AryB=[0,2].

故選：C.

求出集合4,B,由此能求出4nB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：

本題考查學(xué)生應(yīng)用知識分析解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合的能力，用圖象分析解決問題的能力,

屬中檔題.

解：定義域為R的函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，

當x>0時,/(%)=1…=仁2m，

f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以的圖象如圖所示：

當x<0時，函數(shù)的最大值為a2,

???對xGR,恒有f(x+1)>/-(%),/'(x)向左移動1個單位得到f(x+1)的圖象，

???122a2-(-2a2),解得一gWa<p

故選B.

3.答案：A

解析：

本題考查了總體密度曲線，解題時注意總體密度曲線是頻率分布直方圖當組距無限小時的曲線，所

有與x軸圍成的圖形的面積為頻率和1,屬于中檔題.

由題意得，總體密度曲線關(guān)于點4(a,a)對稱，所以曲線與x=2a,x軸圍成的區(qū)域的面積為等于三角

形的面積2a2,令其等于1求出a的值.

解：因為總體密度曲線關(guān)于點H(a,a)對稱

所以曲線與x=2a,x軸圍成的區(qū)域的面積為2a2

所以2a2=1,

所以a=立，

2

故選A.

4.答案：A

解析：

本題考查充分條件和必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

由(a-l)(a-2)=0,得0=1或。=2,結(jié)合充分、必要條件即可判斷.

解：由(a-l)(a—2)=0,得a=1或a=2,

故“a=2”是“(a-l)(a-2)=0”的充分不必要條件.

故選A.

5.答案：C

解析：解：由sin/一a)=cos碎一/一a)]=cos(g+a)

???cos《+a)=I，

那么：cos(y+2a)=cos2(^+a)

=2cos2c+a)—1

2x(|)2-l

=--1

9

故選：C.

整體思想，利用二倍角和誘導(dǎo)公式進行化簡即可得到答案.

本題考查了整體構(gòu)造思想和二倍角和誘導(dǎo)公式的靈活運用的化簡能力.屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：試題分析：前19行有的數(shù)字個數(shù)為：1+2+3+4+…+19=190個；第20行從191開始數(shù)

第3個數(shù)是193,故選。

考點：本題考查了歸納推理的運用

點評：先通過數(shù)字找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律再計算.

7.答案：B

△ABC中，?b?=ac,a+c=3,cosB———,

4

.'.b2=a2+c2-2ac,cosB=(a+c)2-ac=9-b2,

22

解析：.$=2.

則cos(?！狟)=t)2(—cosB)—2X(-—)--1■,

故選B.

8.答案：A

解析：解：由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，

由側(cè)視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱柱側(cè)棱長為4,

???三棱柱的體積為:x1x1x4=2,

由正視圖與俯視圖知兩個三棱錐的高為1,

???三棱錐的體積為:xixlxlxl=p

???幾何體的體積，=2-2xi=1.

63

故選A.

由三視圖知幾何體是直三棱柱削去兩個相同的三棱錐，根據(jù)側(cè)視圖得三棱柱的底面為直角邊長為1的

等腰直角三角形，三棱柱側(cè)棱長為4,

根據(jù)正視圖與俯視圖知兩個三棱錐的高為1,分別計算棱柱和三棱錐的體積，作差求解.

本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾

何量.

9.答案：B

解析：解：作出函數(shù)/'(X)的圖象，如圖示:

考慮直線丫=萬，y=-x,y=與曲線f(x)相切，

由直線y=-ax與曲線y=/'(x)的位置關(guān)系可得：

當一aG(-a),-l)u{0}U(表1)時有兩個交點，

即ae(-1,-i)u{0}u(1,+8)時函數(shù)y=k(x)恰有兩個零點.

故選：B.

作出函數(shù)/(x)的圖象，求得直線與曲線相切的情況，結(jié)合圖象即可得到所求范圍.

本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題解法，注意運用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查運算能力，屬于

中檔題.

10.答案:D

解析：

由題意，判斷定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同即可.

解：選項4：不同，定義域，/(x)的是{x|xH1},g(x)的是R；選項B：不同，定義域，/(x)的是R,

g(x)的是{x|xw0}；

選項C：不同，對應(yīng)關(guān)系，/(x)=x,g(x)=|x|；

選項》定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，故相同；

故選。.

本題考查了函數(shù)相等，判斷定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同即可.

11.答案：1050；2970

解析：解：由題意可得，今年Q型電動汽車的月銷售量構(gòu)成以50為首項，以1.1為公比的等比數(shù)列，

則今年Q型電動汽車的銷售量為理言1050;

R型電動汽車的月銷售量構(gòu)成以50為首項，以20為公差的等差數(shù)列，

則R型電動汽車的銷售量為12X50+工尹x20=1920.

這兩款車的銷售總量約為：1050+1920=2970.

故答案為：1050；2970.

由題意可得，今年Q型電動汽車的月銷售量與R型電動汽車的月銷售量分別構(gòu)成等比數(shù)列和等差數(shù)列,

然后利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前幾項和求解.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題.

12.答案：；

解析：

本題主要考查兩角和的余弦公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

由題意利用兩角和的余弦公式，化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得a的最大值.

解：???函數(shù)/(x)=cosx-sinx=V2cos(x+孑)，

令2/OT《x+?《兀+2kn,k6Z,即一巳+2kn<x<—+2kn,k￡Z,

444

則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為卜3+2時,牛+2同，kGZ,

當k=o時，

44

—a>--

由題意可得：3H4，

a<T

求得3,故a的最大值為三

44

故答案為：=

4

13.答案：40

解析：解：先排7個空車位，由于空車位是相同的，則只有1種情況，其中有6個空位符合條件，

考慮三車的順序，將3輛車插入6個空位中，則共有1X短=120種情況，

由于甲車在乙、丙兩車之間，則有符合要求的坐法有1x120=40種；

故答案為：40.

根據(jù)題意，先排好7個空車位，注意空車位是相同的，其中有6個空位符合條件，考慮順序，將3車插

入6個空位中，注意甲必須在乙、丙兩車之間，由倍分法分析可得答案.

本題考查排列、組合的應(yīng)用，對于不相鄰的問題采用插空法.

14.答案：避

解析：試題分析：拋物線/=據(jù)的準線象％=-2與雙曲線線：鳥_,解=』相切，所以a=2,b=,

“雙曲線。的離心率酎=卜普匯-心'

V#

考點：本題主要考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)。

點評：簡單題，涉及圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題，往往與a,b,c,e,p有關(guān)，熟練掌握它們的內(nèi)在

聯(lián)系是解題的關(guān)鍵。

15.答案:66

解析:

函數(shù)卜工-工+觀察得：先對函數(shù)解析式變形得：：再利用換元法,

=92*33，y=（3*）-2x3*-3:

化為：卜=八一2f+3=（r-l>+2：即:給定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題而解決.

解：由題得：：

y=（3*）-2x3,-3:

令：r則:對稱軸為

|3=Lre[l:9]s|y=r-2f+3=(r-l)+2,|7^T，

所以，y在［1,9］上是單調(diào)遞增函數(shù)，當t=9,即x=2時取到最大值，最大值為y=66.

所以，函數(shù)y=9x—2x3x+3的最大值為66,此時x的值為2.

故答案為66.

16.答案：（1）證明：如圖所示，

vAB=AC=V2，。是BC的中點，

???AD1BC,

???直棱本主4BC—4181G中，???8Bil/0,

又BCCBB］=B,

???4DJ■平面BCGBi，B

■:C1Eu平面BCGBI，

A：AD1CrE.

(2)解：?.TC〃4IGL，

???48傳141為異面直線4C,GE所成的角，為爭

???4傳114出，44i_L&G，

A】B]n/A]—A],

:.A1C1_L平面4遇881，

???A1C11ArEf

AXE=&Gtang=VIxV3=V6,B1E=JA.一4局=2,

二三棱柱G-&BiE的體積V=|xShA1B1ExAC=[x；x企x2x或=|.

解析：(1)由AB=4C=VL。是BC的中點，可得4。1BC,再利用直棱柱的性質(zhì)可證：4。_1_平面

BCCiBi，即可得出；

(2)由4C〃&G，可得N81G4為異面直線4C,GE所成的角，為g,利用線面垂直的判定定理可得；

41GL平面因此&GJ.4E.利用三棱柱G-的體積U=打5必8速x&G即可得出.

本題考查了線面與垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì)、三棱錐的體積計算

公式、異面直線所成的角，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.答案:解：(1)令X=^一(則x=2x+|.填表：

Z3n3

2581114

X

333TT

7137r

X0n27r

2T

y010-10

???(5分)

(2)令2/CTT3-2k7r+](k￡Z)...(8分)

解得4k-1<x<4fc+|(/cGZ)...(10分)

所以函數(shù)y=sin(^-勺的單調(diào)增區(qū)間為[4k-J,4/c+|](fceZ)...(12分)

解析：(1)分別令學(xué)冶=0,p兀，y.2n,得到相應(yīng)的x的值及y的值，再描點即可；

(2)令2時~^<^~^<2kn+^(feeZ)可解得該函數(shù)的增區(qū)間.

本題考查五點法作函數(shù)y=Asin^x+9)的圖象，著重考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)某數(shù)學(xué)興趣小組有男生2名，記為a,b,女生3名，記為c,d,e,現(xiàn)從中任選2名

學(xué)生去參加學(xué)校數(shù)學(xué)競賽.

基本事件共計10個，分別為：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).

(2)參賽學(xué)生中恰好有1名男生包含的基本事件有：

(a,c),(a,d),(Q,e),(b,c),(b,d),(b,e),共6個,

二參賽學(xué)生中恰好有1名男生的概率P1=卷=|.

(3)參賽學(xué)生中至少有1名男生包含的基本事件有：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(瓦d),(b,e),共7個，

???參賽學(xué)生中至少有1名男生的概率P2=(.

解析：本題考查概率、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

(1)利用列舉法能寫出所有的基本事件并計算其個數(shù).

(2)利用列舉法求出參賽學(xué)生中恰好有1名男生包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出參賽學(xué)生中恰好

有1名男生的概率.

(3)利用列舉法求出參賽學(xué)生中至少有1名男生包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出參賽學(xué)生中至少

有1名男生的概率.

19.答案：解：(1)圓Fi：(%+V3)2+y2=16)圓心為廣式―V5,0),

由IQF1I+\QF2\=IQFI|+\QP\=|P&|=4>IF1F2I=2百，

.1.Q的軌跡C是以&(-6,0),F2(遮,0)為焦點，長半軸長為2的橢圓，

點Q的軌跡C的方程：?+f=1.…(4分)

(2)由題可得直線，存在斜率，設(shè)其方程為y=依+2,設(shè)直線/與曲線C交于不同的兩點Z(xi，yi)和

B(無2必)，

(y=kx+2

，注2_i，整理得：(l+4fc2)x2+16fcx+12=0,則有△>(),解得

(4+y-

由韋達定理可知：X1+%2=-熱5，尤1.%2=77^

由4A0B<^OA-OB>0,

即Xl%2+%丫2>0，解得卜2<4....(8分),

根據(jù)弦長公式可知：IABI=J1+k2.Jg+刀2)2—4%9

\AB\=4?軟2-3)(1+絲,設(shè)1+412=te(4,17),

11l+4k2

則MB|=2^-i|-1+1e(0,等)，

直線I斜率的取值范圍(0,誓)....(12分)

解析：(1)由圓Fl：(x+K)2+y2=i6,圓心為Fl(-百,0),由由IQ&I+IQF2I=IQ&I+|QP|=

|Pa|=4>I&F?I=2V3,Q的軌跡C是以，長半軸長為2,Fi(—百,0),尸2(百,。)為焦點的橢圓，即

可求得點Q的軌跡C的方程：

(2)設(shè)直線48的方程為:y=kx+2,代入橢圓方程,△>0,解得1>*由右4OB<^OAOB>0,

即與小+，，2>0,解得1<4,根據(jù)韋達定理及弦長公式可知|AB|=強靄里豆，設(shè)1+4/=

tG(4,17),即可求得直線，斜率的取值范圍.

本題考查橢圓的定義及標準方程，考查直線與