間斷有限元方法

2016年夏季學(xué)期研究生課程考核（讀書報(bào)告、研究報(bào)告）考核科目:間斷有限元方法及其應(yīng)用學(xué)生所在院（系）:理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生所在學(xué)科:學(xué)生姓名:學(xué)號(hào)學(xué)生類別考核結(jié)果閱卷人1．引言間斷Galerkin(DG)方法兼有有限元與有限體積方法的特征。如同一般有限元方法那樣，DG方法利用單元多項(xiàng)式空間作為近似解和檢驗(yàn)函數(shù)空間，但是與傳統(tǒng)的有限元方法不同,有限元函數(shù)空間基函數(shù)都是完全間斷的分片多項(xiàng)式，各個(gè)單元之間的通信也需要像有限體積方法那樣通過在單元邊界上構(gòu)造合適的數(shù)值流通量來實(shí)現(xiàn)。因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限體積方法的優(yōu)點(diǎn)，又克服了各自的不足。該方法可采用局部高階插值的方法構(gòu)造基函數(shù)，具有靈活處理邊界條件以及可顯式求解間斷問題的能力，克服了一般有限元方法不適于間斷問題的缺點(diǎn),以及有限體積方法必須通過擴(kuò)大模板進(jìn)行重構(gòu)來提高精度的不足。因此間斷Galerkin(DG)方法的出現(xiàn)拓展了傳統(tǒng)有限元方法的應(yīng)用范圍，改善了人們對(duì)傳統(tǒng)有限元方法的認(rèn)識(shí)。2．DG的基本概念間斷Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年為解決中子輸運(yùn)方程問題而提出。隨后眾多學(xué)者對(duì)間斷有限元方法提出了改進(jìn)和發(fā)展特別是90年代以來，以Cockbum和舒其望為代表提出了Runge-Kutta間斷Galerkin(RKDG)方法，該方法結(jié)合TVD(TVD:TotalVariationDiminishing)Runge-Kutta時(shí)間離散方法和間斷有限元求解一維雙曲守恒律方程(組)以至于高維雙曲守恒律方程(組)，能夠適合復(fù)雜計(jì)算區(qū)域和邊界條件，可以精確的捕捉激波和接觸間斷。它不但在光滑區(qū)域可以保證高精度，而且在間斷區(qū)域可以保持?jǐn)?shù)值無振蕩，分辨率高，可以證明收斂到熵解。這些優(yōu)點(diǎn)使得RKDG成為計(jì)算流體力學(xué)流行的方法之一，并被廣泛應(yīng)用到氣象學(xué)、海洋學(xué)、湍流、電磁學(xué)、石油勘探、水動(dòng)力學(xué)等離子物理和圖像處理等領(lǐng)域。同樣是在20世紀(jì)70年代,內(nèi)懲罰(IP:InteriorPenalty)類方法被獨(dú)立地提出來求解摘圓和拋物方程。內(nèi)懲罰方法后來也被歸為間斷Galerkin方法一種，本文記為內(nèi)懲罰間斷Galerkin(IPDG)方法。內(nèi)懲罰間斷有限元的發(fā)展與同時(shí)代求解雙曲守恒律的間斷有限元方法保持相對(duì)對(duì)立，該方法的側(cè)重點(diǎn)在于選擇合適的懲罰項(xiàng)保持格式的穩(wěn)定性，而不在于如何構(gòu)造數(shù)值流通量?；贒G方法求解雙曲守恒律的巨大成功，許多學(xué)者考慮運(yùn)用DG方法的思想求解擴(kuò)散方程，但如果只是簡單地將DG方法推廣到擴(kuò)散方程得到的數(shù)值格式并不準(zhǔn)確。例如考慮一維熱傳導(dǎo)方程。u—utxx將求解區(qū)域Q剖分為網(wǎng)格I=[x ,x],j=1,...N,其中心點(diǎn)的坐標(biāo)為j j-丄j+丄221x=(x +x)，網(wǎng)格步長Ax=x-x，記為u+和u-為u在x處的左j2 j-1 j+1 j j+1 j-1 j+1 j+丄 j+12222J222，定義單元端點(diǎn)處的跳躍和均值分別為：[u]二u+-u-,1u=丄(u++u-)。注意，在不引起混淆的情況下，我們?nèi)匀挥胾表示數(shù)值解。選取有限元空間為Pk匕)為在單元1上的k次多項(xiàng)式。定義方程⑴的DG弱解形式為：求uGV，對(duì)VvGV，使得hhhu為數(shù)值流量，舒其望己經(jīng)證明數(shù)值流量，簡單的取在端點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)均值u=1(u++u-)會(huì)導(dǎo)致解不穩(wěn)定,數(shù)值解與精確解是不相容的，與真解有0(1)的誤x2xx差，稱之為“subtleinconsistency"。3．求解擴(kuò)散方程的各種DG方法的構(gòu)造LDG方法LDG方法是Cockbum和舒其望在1998年提出的,其思想來源于F.Bassi和S.Rebay求解可壓縮Navier-Stokes方程的文章。LDG通過引入輔助變量將含有高階導(dǎo)數(shù)的微分方程寫成只含有一階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程組,然后用DG方法進(jìn)行空間離散。引入輔助變量q=u將方程(1)重新寫為u=q，q=utxx然后應(yīng)用DG得到下列格式：求u,qgV，對(duì)Vv,wgV，使得hh(4)正確的設(shè)計(jì)數(shù)值流量u,q是得到穩(wěn)定和高精度方法的關(guān)鍵，可以證明u,q［礙皿+［鄧放―(和〕心+(和)咕=0Jqwdjc十Juyv(4)正確的設(shè)計(jì)數(shù)值流量u,q是得到穩(wěn)定和高精度方法的關(guān)鍵，可以證明u,q交替地選取左右極限值u=u-,q=q+，或者u=u+,q=q-均可以保證格式穩(wěn)定而且達(dá)到最優(yōu)收斂階。當(dāng)LDG格式(4)中基函數(shù)取為每個(gè)單元上的局部基函數(shù)時(shí)輔助變量q是局部可解的，這正是該方法被稱為“局部”間斷Galerkin方法的由來。Baumann-OdenDG方法Baumann-OdenDG方法并不引入輔助變量，而是通過在弱形式(3)的單元邊界上添加懲罰項(xiàng)以保證穩(wěn)定性。其格式為求uGV，對(duì)VvGV，使得hh小)，.&)這里的數(shù)值流量u直接取為端點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)均值u=1(u++u-)就可以保證xx2xx該格式的穩(wěn)定性。實(shí)際上Baumann-Oden方法也可以認(rèn)為是一種內(nèi)懲罰類方法。dGRPDG方法Gassner等將雙曲守恒律中的黎曼問題推廣到擴(kuò)散方程。對(duì)方程(1)兩端同時(shí)乘以檢驗(yàn)函數(shù)v，在時(shí)空區(qū)域Q=[xi .1乘以檢驗(yàn)函數(shù)v，在時(shí)空區(qū)域Q=[xi .1,x]X[tn,tn+1]求積分，通過分部積分可得j-j+22dGRPDG格式，求ugV對(duì)VvgV，使得hh其中u，u是數(shù)值流量，通過求解擴(kuò)散方程的廣義黎曼問題而得到。Cheng-ShuDG方法Cheng-ShuDG方法在熱傳導(dǎo)方程（1）兩邊同時(shí)乘以檢驗(yàn)函數(shù)v，在單元I上j積分，通過多次的分部積分將近似解上的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到檢驗(yàn)函數(shù)上，在界面上設(shè)計(jì)合適的數(shù)值流量得到Cheng-ShuDG格式：求ugV，對(duì)VvgV，使得hh必-[叫血+（D_&+（昴;）出_伽；）心=0 （7）其中數(shù)值流量定義為u=p[u]+u-,u=u+。該DG方法最大的優(yōu)勢(shì)是可以x0△xx推廣到具有高階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程，例如KDV方程，而且該方法求解高階偏導(dǎo)數(shù)的波動(dòng)方程時(shí),數(shù)值流量的構(gòu)造更為簡單。4.總結(jié)盡管上述的DG方法在各自的應(yīng)用范圍具有各自的優(yōu)勢(shì)，但是作為DG類方法它們共同的優(yōu)勢(shì)在于：DG方法具有一致的高精度,可以通過在每個(gè)單元上提高單元插值多項(xiàng)式的次數(shù)來實(shí)現(xiàn)高階精度，而不用像