高考數(shù)學(xué)(深化復(fù)習(xí)-命題熱點(diǎn)提分)專題10-數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列-理

PAGEPAGE9專題10數(shù)列、等差數(shù)列﹑等比數(shù)列1．在數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(2n－1)2 B.eq\f(2n－12,3)C．4n－1 D.eq\f(4n－1,3)2．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)解析：∵a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，∴eq\f(1,2)a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋eq\r(2)或q＝1－eq\r(2)(舍)，∴eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝eq\f(a1q81＋q,a1q61＋q)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).答案：C3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝6，且1－eq\f(a2,2)為a1，a3的等差中項(xiàng)，則a7＋a8＋a9＝()A．－2 B．8C．10 D．14解析：依題意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即數(shù)列2,4，S9－6成等比數(shù)列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，選B.答案：B4．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10b11＝2，則a21＝()A．29 B．210C．211 D．212解析：由bn＝eq\f(an＋1,an)，且a1＝2，得b1＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(a2,2)，a2＝2b1；b2＝eq\f(a3,a2)，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝eq\f(a4,a3)，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}為等比數(shù)列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.答案：C5．已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則eq\f(a2＋a3,a1)等于()A．4 B．6C．8 D．10解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以eq\f(a2＋a3,a1)＝eq\f(2a1＋3d,a1)＝eq\f(8a1,a1)＝8，選C.答案：C6．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(3n－1) B.eq\f(nn＋3,2)C．n(n＋1) D.eq\f(n3n＋1,2)7.在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，則a5的值為()A.2 B.3 C.4 D.5解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，∴5a5＝10，∴a5＝2.答案A8.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2S4＝S5＋S6，則數(shù)列{an}的公比q的值為()A.－2或1 B.－1或2 C.－2 D.1解析法一若q＝1，則S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，顯然不滿足2S4＝S5＋S6，故A、D錯(cuò).若q＝－1，則S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不滿足條件，故B錯(cuò)，因此選C.法二經(jīng)檢驗(yàn)q＝1不適合，則由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化簡(jiǎn)得q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.答案C9.已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*，則S10的值為()A.－110 B.－90 C.90 D.11010.等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于()A.n(n＋1) B.n(n－1)C.eq\f(n（n＋1）,2) D.eq\f(n（n－1）,2)解析由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aeq\o\al(2,4)＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).答案A11.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3C.4 D.5解析由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得eq\f(an,bn)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a2n－1,\f(1,2)b1＋b2n－1)＝eq\f(\f(1,2)2n－1a1＋a2n－1,\f(1,2)2n－1b1＋b2n－1)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(72n－1＋45,2n－1＋3)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)(n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11時(shí)，eq\f(an,bn)為整數(shù).即正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.答案D12.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.解析根據(jù)題意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴當(dāng)n＝8時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大.答案813.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝________.答案314.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.解析由題意知，數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23，19,37,82}中，說明{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù)，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的連續(xù)四項(xiàng)為－24,36，－54，81，∴q＝eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，∴6q＝－9.答案.－915.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________.答案22解析根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1?ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.16.設(shè)函數(shù)f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝eq\f(1,2)，數(shù)列{an}滿足f(1)＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.答案an＝eq\f(1,nn＋1)17.若f(n)為n2＋1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2016(4)＝________.答案5解析因?yàn)?2＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，則f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，所以fk＋1(n)＝f(fk(n))為周期數(shù)列.可得f2016(4)＝5.18.數(shù)列{an}滿足eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋eq\f(1,23)a3＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋5，則an＝__________.答案an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14，n＝1,2n＋1，n≥2))解析∵eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋…＋eq\f(1,2n)an＝2n＋5.①∴eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,22)a2＋…＋eq\f(1,2n－1)an－1＝2(n－1)＋5.②由①－②得eq\f(1,2n)an＝2，∴an＝2n＋1(n≥2).又∵eq\f(1,2)a1＝2＋5，∴a1＝14.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14，n＝1，,2n＋1，n≥2.))19.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列{an}，定義Hn＝eq\f(n,a1＋2a2＋3a3＋…＋nan)為{an}的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn＝eq\f(2,n＋2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.答案an＝eq\f(2n＋1,2n)解析由Hn＝eq\f(n,a1＋2a2＋3a3＋…＋nan)可得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n,Hn)＝eq\f(nn＋2,2)，①a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝eq\f(n－1n＋1,2)，②①－②得nan＝eq\f(nn＋2,2)－eq\f(n－1n＋1,2)＝eq\f(2n＋1,2)，所以an＝eq\f(2n＋1,2n).20.已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)且an＋1＝an－aeq\o\al(2,n)(n∈N*).(1)證明：1≤eq\f(an,an＋1)≤2(n∈N*)；(2)設(shè)數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：eq\f(1,2n＋2)≤eq\f(Sn,n)≤eq\f(1,2n＋1)(n∈N*).證明(1)由題意得an＋1－an＝－aeq\o\al(2,n)≤0，即an＋1≤an，故an≤eq\f(1,2).由an＝(1－an－1)an－1得an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.由0＜an≤eq\f(1,2)得eq\f(an,an＋1)＝eq\f(an,an－a\o\al(2,n))＝eq\f(1,1－an)∈(1,2]，即1≤eq\f(an,an＋1)≤2成立.(2)由題意得aeq\o\al(2,n)＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1，①由eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(an,an＋1)和1≤eq\f(an,an＋1)≤2得1≤eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)≤2，所以n≤eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,a1)≤2n，因此eq\f(1,2n＋1)≤an＋1≤eq\f(1,n＋2)(n∈N*).②由①②得eq\f(1,2n＋2)≤eq\f(Sn,n)≤eq\f(1,2n＋1)(n∈N*).21.已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.22.成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是等比數(shù)列.(1)解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a－d，a，a＋d.依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d，10，18＋d.依題意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去).故{bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以bn＝b1·qn－1＝eq\f(5,4)·2n－1＝5·2n－3，即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝5·2n－3.23．在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\r