中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題33 圖形的相似（解析版）

專題33圖形的相似【考查題型】【知識要點(diǎn)】知識點(diǎn)一相似圖形相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形?！咀⒁馐马?xiàng)】1）相似圖形的形狀相同，大小不一定相同，全等圖形是特殊的相似圖形；2）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；3）圖形的相似與圖形的位置無關(guān)。相似多邊形的概念：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。【注意事項(xiàng)】1）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比,一般用k表示；2）若已知四邊形與四邊形的相似比是,那么四邊形與四邊形的相似比是。知識點(diǎn)二比例線段的概念及性質(zhì)比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比的外項(xiàng)，b、c叫比的內(nèi)項(xiàng)，【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時，即ab=b【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成（即：第一條第二條=第三條第四條）比例的性質(zhì)：①基本性質(zhì)：②變形：核心內(nèi)容：③合、分比性質(zhì)：【注意】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：④等比性質(zhì)：如果，那么⑤黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比?！咀⒁狻?）(叫做黃金分割值).簡記為：2）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個。3）黃金三角形的概念：頂角是360的等腰三角形。4）黃金矩形的概念：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形。【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)。知識點(diǎn)三平行線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

把l4（圖1）或l3（圖2）看作平行底邊BC的直線，再根據(jù)平分線分線段成比例的定理，我們可以得出，平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長線相交），所構(gòu)成的三角形和原三角形相似。知識點(diǎn)四相似三角形的判定相似三角形的概念：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”，讀作“相似于”。相似三角形的判定:判斷定理一：三邊成比例的兩個三角形相似，即：若，則∽【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三邊的長度，再看對應(yīng)邊的比例是否相等。判斷定理二：兩邊成比例并且夾角相等的兩個三角形相似。即：若，且∠C＝則∽判斷定理三：兩個角分別相等的兩個三角形相似。

即：若，,則∽判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似。即：在中，若或,則【小結(jié)】三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應(yīng)相等(ASA)

兩角一對邊對應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對應(yīng)相等(SAS)

三邊對應(yīng)相等(SSS)、斜邊和一直角邊相等(HL）兩角對應(yīng)相等

兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等

三邊對應(yīng)成比例斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例【常見的相似三角形】見附件pdf知識點(diǎn)五相似三角形的性質(zhì)1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3）相似三角形周長的比等于相似比。4）相似三角形面積比等于相似比的平方。知識點(diǎn)六位似位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),對應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心?！咀⒁馐马?xiàng)】1）位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。2）位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形。常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè)。（即畫位似圖形時，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個。）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過位似中心。位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)，位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線。2)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比。3)在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則位似圖形上與它對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky)。畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。2）確定位似比。3）以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線。4）順次連結(jié)各截取點(diǎn)，即可得到要求的新圖形。平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似的區(qū)別：平移：和原圖形一模一樣（和原圖形全等且能與原圖形重合）軸對稱：面積和原圖形一樣也是全等，和平移的不同點(diǎn)就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們?nèi)龋┬D(zhuǎn)：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點(diǎn)是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的圖形，而旋轉(zhuǎn)可以旋轉(zhuǎn)出無數(shù)個。位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等邊就不一定相等了。【總結(jié)】平移軸對稱旋轉(zhuǎn)位似原圖形全等全等全等相似考查題型一比例的性質(zhì)典例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．【答案】1.2【分析】設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，依題意得，，解得，故答案為：1.2．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關(guān)鍵．變式1-1．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________【答案】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．變式1-3．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知非負(fù)實(shí)數(shù)，，滿足，設(shè)的最大值為，最小值為，則的值為__．【答案】+##0.6875【分析】設(shè)，則，，，可得；利用a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)可得k的取值范圍，從而求得m，n的值，結(jié)論可求．【詳解】解：設(shè)，則，，，．，，為非負(fù)實(shí)數(shù)，，解得：．當(dāng)時，取最大值，當(dāng)時，取最小值．，．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解不等式組，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用等，設(shè)是解題的關(guān)鍵．考查題型二成比例線段典例2．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得求解即可．【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴

∴，即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．變式2-1．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為__________________．【答案】或4【分析】分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，求出矩形的周長即可；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為，求出矩形的周長即可．【詳解】解：分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，矩形的周長為：；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為：，矩形的周長為；綜上所述，該矩形的周長為或4，故答案為：或4．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，的平分線交于，延長到使，是的中點(diǎn)，交于，連接．(1)當(dāng)四邊形是矩形時，如圖，求證：①；②．(2)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請給出結(jié)論②的證明．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）①證明即可；②連接BG，CG，證明，即可證明；（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣，證明即可；②的結(jié)論，作，證明即可．【詳解】（1）證明：①證明過程：四邊形ABCD為矩形，平分為等腰直角三角形②證明：連接BG，CG，G為AF的中點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，平分，（2）作，如圖所示由（1）同理可證：四邊形ABCD為平行四邊形G為AF的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例可得，【點(diǎn)睛】本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁，涉及全等三角形的證明，相似三角形的證明，正確作出輔助線并由此得到相應(yīng)的全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．考查題型三黃金分割典例3．（2022·山西·中考真題）神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（

）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求解．【詳解】解：動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約等于0.618，這個比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．熟知黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．變式3-1（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對【答案】A【分析】點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，則，即可求解．【詳解】解：由題意知，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB＜PA，PB＝x，則PA＝20?x，∴，∴（20?x）2＝20x，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．變式3-2（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（

）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米【答案】A【分析】根據(jù)a:b≈0.618，且b=2即可求解．【詳解】解：由題意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割比的定義，根據(jù)題中所給信息即可求解，本題屬于基礎(chǔ)題．變式3-3（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓中扇子對應(yīng)的圓心角（）與剩余圓心角的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則的度數(shù)是__________．【答案】90°##90度【分析】根據(jù)題意得出α=0.6β，結(jié)合圖形得出β=225°，然后求解即可．【詳解】解：由題意可得：α：β=0.6，即α=0.6β，∵α+β=360°，∴0.6β+β=360°，解得：β=225°，∴α=360°-225°=135°，∴β-α=90°，故答案為：90°．【點(diǎn)睛】題目主要考查圓心角的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，得出兩個角度的關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式3-4（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為2米，則線段的長為______米．【答案】##【分析】根據(jù)點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，可得，代入數(shù)值得出答案．【詳解】∵點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，∴．∵AB=2米，∴米．故答案為：（）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．考查題型四相似多邊形的性質(zhì)典例4．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，又四邊形的面積是2，∴四邊形的面積為18，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．變式4-1（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3，則它們的周長比是1：3，面積比是1：6；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．其中真命題有（

）A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)有關(guān)性質(zhì)，對命題逐個判斷即可．【詳解】解：①直徑是圓的對稱軸，直徑為線段，對稱軸為直線，應(yīng)該是直徑所在的直線是圓的對稱軸，為假命題；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3，面積比是1：9，而不是1：6，為假命題；③根據(jù)平行和垂直的有關(guān)性質(zhì)，可以判定為真命題；④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；故答案選C．【點(diǎn)睛】此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．變式4-2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC的面積為36，它的對角線OB與雙曲線y相交于點(diǎn)D，且OD：OB＝2：3，則k的值為（

）A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16【答案】D【分析】過D點(diǎn)作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足為E、F，由雙曲線的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D點(diǎn)在矩形的對角線OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比為OD:OB＝2:3，由相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根據(jù)在反比例函數(shù)y圖象在第二象限，即可算出k的值．【詳解】解：過D點(diǎn)作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足為E、F，∵D點(diǎn)在雙曲線y上，∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，∵D點(diǎn)在矩形的對角線OB上，∴矩形OEDF∽矩形OABC，∴，∵S矩形OABC=36，∴S矩形OEDF=16，∴|k|=16，∵雙曲線y在第二象限，∴k=-16，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是過D點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)造矩形，再根據(jù)相似多邊形的面積的性質(zhì)求出|k|．考查題型五平行線分線段成比例定理典例5（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為的邊上一點(diǎn)，，過作交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)得出，根據(jù)，得出，根據(jù)、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故C正確．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．變式5-1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．變式5-2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】過點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，∵，∴，又∵，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．變式5-3（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點(diǎn)M，連接DF并延長交BC于點(diǎn)N，連接MN，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】設(shè)，首先證明，再利用平行線分線段成比例定理求出，推出，，可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，四邊形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，設(shè)正方形的邊長為，求出，．變式5-4（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．平分，，，，，，設(shè)，則，，，，，設(shè)，則，，，，的周長，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．變式5-5（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．【答案】或【分析】由題意可求出，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問題得解．【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，∴，即，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，，∴，在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，綜上，的值為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．變式5-6（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，B在第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)C在y軸上，經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點(diǎn)D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為______．【答案】18【分析】過點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，可得，設(shè)OC＝a，CN＝2b，則MN＝b，根據(jù)?OABC的面積為15表示出BM的長度，根據(jù)CD＝2BD求出ND的長，進(jìn)而表示出A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求出．【詳解】解：過點(diǎn)D作DN⊥y軸于N，過點(diǎn)B作BM⊥y軸于M，∴，∴，∵CD＝2BD，∴，即，設(shè)OC＝a，CN＝2b，則MN＝b，∵?OABC的面積為15，∴BM＝，∵，∴，∴，∵CD＝2BD，∴，∴ND＝BM＝，∴A，D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，3b），（，a＋2b），∴?3b＝（a＋2b），∴b＝a，∴k＝?3b＝?3×a＝18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．考查題型六相似三角形的判定典例6．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：．【答案】見解析【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．變式6-1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項(xiàng)中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：若選①，證明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．選擇②，不能證明．若選③，證明：∵，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．變式6-2（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O．與相交于點(diǎn)F．(1)若平分，求證：；(2)找出圖中與相似的三角形，并說明理由;(3)若，，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)，與相似，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)判定兩個三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；（3）根據(jù)得出，根據(jù)得出，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示：四邊形為矩形，，，，，又平分，，，又與互余，與互余，；（2）解：，與相似．理由如下：，，，又，

，，，；（3）解：，，，，在矩形中對角線相互平分，圖中，①，，，，在矩形中，②，由①②，得（負(fù)值舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合問題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握兩個三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．變式6-3（2020·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，連接AC、BC，OD⊥BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD、AD，AD與BC交于點(diǎn)F，CG與BA的延長線交于點(diǎn)G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）由垂徑定理得，由圓周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；（2）連接OC，由圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OBC＝∠OCB，證出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出結(jié)論；（3）連接BD，由圓周角定理得∠CAD＝∠CBD，則sin∠CAD＝sin∠CBD＝，設(shè)DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，則BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+()2＝r2，解得r＝，則AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵OD⊥BC，∴,∴∠CAD＝∠FCD，又∵∠ADC＝∠CDF，∴△ACD∽△CFD；（2）證明：連接OC，如圖1所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，∴∠OCB＝∠GCA，∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，∴CG⊥OC，∵OC是⊙O的半徑，∴CG是⊙O的切線；（3）解：連接BD，如圖2所示：∵∠CAD＝∠CBD，∵OD⊥BC，∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE，設(shè)DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x在Rt△BDE中，BE＝，∴BC＝2BE＝,在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，即(r﹣x)2+()2＝r2，，解得：r＝，∴AB＝2r＝9x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+()2＝(9x)2，∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定，三角函數(shù)等知識．本題綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．變式6-4（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖矩形ABCD中，AB=20，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)F在DG上，將沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，此時．（1）求證：（2）求AD的長；（3）求的值．【答案】（1）見解析；（2）12；（3）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠D=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，證得∠EGC=∠GFH，則可得出結(jié)論；（2）由面積關(guān)系可得出GH：AH=2：3，由折疊的性質(zhì)得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，則可得出答案；（3）由勾股定理求出DG=16，設(shè)DF=FH=x，則GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形所以，(2)解：(3)解：在直角三角形ADG中，由折疊對稱性知，解得：x=6，所以：HF=6在直角三角形GHF中，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．考查題型七相似三角形的性質(zhì)典例7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知，，若，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．相似三角形的相似比等于周長比，相似三角形的相似比等于對應(yīng)高，對應(yīng)角平分線，對應(yīng)中線的比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．變式7-1（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判定，得到相似比為，再根據(jù)兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此解題即可．【詳解】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，相似比為，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式7-2（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴兩個相似三角形的相似比為1:3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．變式7-3（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，∴A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，∴與△AOB位似的三角形為△GOH，設(shè)OA=x，則OB=，∴OC=，∴OD=，…∴OG=，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問題，相似三角形的性質(zhì)等，理解題意，找出相應(yīng)邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵．變式7-4．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若的面積為2，，，則的面積是________．【答案】12【分析】延長EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示：延長EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，，，，，，，令，則，，，，，，設(shè)，，，，求出,，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識，具有一定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．變式7-5（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四邊形對邊平行證明，得到即可求出；（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運(yùn)用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵．考查題型八利用相似三角形相關(guān)知識解決實(shí)際問題典例8．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出AB，再根據(jù)外徑的長度解答．【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），∵外徑為10cm，∴9+2x=10，∴x=0.5（cm）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長．變式8-1（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計(jì)時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據(jù)園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設(shè)此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE⊥AC于點(diǎn)D，則AB=6cm，AC=6cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE為等腰直角三角形，∴CD=DE，圓柱體內(nèi)液體的體積為：圓錐的體積為，設(shè)此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，∴，∴，解得：x=3，即此時“沙漏”中液體的高度3cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．變式8-2（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點(diǎn)的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【分析】參照題目中所給的“跳眼法”的方法估測出距離即可．【詳解】由“跳眼法”的步驟可知被測物體與觀測點(diǎn)的距離是橫向距離的10倍．觀察圖形，橫向距離大約是汽車長度的2倍，為8米，所以汽車到觀測點(diǎn)的距離約為80米，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了測量距離，正確理解“跳眼法”測物距是解答本題的關(guān)鍵．變式8-3（2022·廣西·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標(biāo)桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．【答案】12【分析】根據(jù)同時、同地物高和影長的比不變，構(gòu)造相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：設(shè)旗桿為AB，如圖所示：根據(jù)題意得：，∴∵米，米，米，∴解得：AB=12米．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影、相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．變式8-4（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．【答案】134【分析】在同一時刻物高和影子成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解：同一時刻物高和影長成正比．變式8-5（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：延長AD交BN于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．變式8-6（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點(diǎn)B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿影長為0.25m（標(biāo)桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【答案】旗桿AB的高度為12.8m【分析】設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，利用相似和銳角三角函數(shù)可以求出旗桿AB的高度．【詳解】解：如圖，設(shè)MN為豎直立在坡面DN上的1m高的標(biāo)桿，ME為標(biāo)桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點(diǎn)F，作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵DFMN，∴＝，∴＝，∴DF＝5.6，∴BH＝DF＝5.6，在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，tan∠AFH＝，∴tan80.5°＝≈6，∴AH≈7.2，∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）．所以，旗桿AB的高度為12.8m．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和相似三角形的應(yīng)用；作出相應(yīng)輔助線得到矩形是解決本題的難點(diǎn)；用到的知識點(diǎn)為：同一時刻物高與影長的比一定，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式8-7（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進(jìn)行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測角儀高為b米，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度【答案】(1)atanα+b米(2)3.8米【分析】（1）由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根據(jù)四邊形CDBE為矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，由正切函數(shù)tanα=，即可得到AB的高度；（2）根據(jù)AB∥ED，得到?ABF~?EDF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到，又根據(jù)AB∥GC，得出?ABH~?GCH，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到聯(lián)立得到二元一次方程組解之即可得；【詳解】（1）解：如圖由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α∠B=∠D=∠CEB=90°∴四邊形CDBE為矩形，則BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，tanα=，得AE=CE=CE×tanα=atanα而AB=AE+BE，故AB=atanα+b答：燈桿AB的高度為atanα+b米（2）由題意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8由于AB∥ED，∴?ABF~?EDF，此時即①，∵AB∥GC∴?ABH~?GCH，此時，②聯(lián)立①②得，解得：答：燈桿AB的高度為3.8米【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)．變式8-8（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測得阿育王塔最高點(diǎn)的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進(jìn)至處測得最高點(diǎn)的仰角，；小亮在點(diǎn)處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂、最高點(diǎn)在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解答：阿育王塔的高度約為．（2）由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考查題型九位似圖形典例9．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機(jī)手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似【答案】D【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問題．【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似的定義．變式9-1（2022·廣西·中考真題）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．變式9-2（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，與位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵與位似∴∵與的位似比是1:2∴與的相似比是1:2∴與的周長比是1:2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．變式9-3（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是_________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為，再結(jié)合三角形的周長比等于相似比即可得到結(jié)論．【詳解】解：和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，，，，根據(jù)與的周長比等于相似比可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考查題型十坐標(biāo)系與位似中心典例10．（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，A、B兩個頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，然后表示出、的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計(jì)算即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則、間的橫坐標(biāo)的差為，、間的橫坐標(biāo)的差為，放大到原來的倍得到，，解得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似比的定義，利用兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的距離等于對應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵.變式10-1（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（

）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【分析】直接利用對應(yīng)邊的比等于相似比求解即可．【詳解】解：由B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可知：OB=1，OD=3；△OAB與△OCD的相似比等于；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比的概念，同時涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長度的確定等知識；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對應(yīng)邊的比，準(zhǔn)確求出對應(yīng)邊的比即可完成求解，考查了學(xué)生對概念的理解與應(yīng)用等能力．變式10-2（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為__________________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)并結(jié)合網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)特征確定位似中心．【詳解】解：連接DB，OA并延長，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為位似中心∴M點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心是解題的關(guān)鍵．變式10-3（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線得到△A1B1C1．（2）把A、B、C的坐標(biāo)都乘以-2得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可．【詳解】（1）如圖，為所作．（2）如圖，為所作，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（-4，-6）．【點(diǎn)睛】本題考查位似變換、軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是注意位似中心及相似比、對稱軸．考查題型十一相似三角形綜合典例11．（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）30°；（2）①見解析；②；見解析；（3），見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可（2）①按要求補(bǔ)全圖即可②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明，即可得出（3）先證明，再證明，得出，從而證明，得出，從而證明【詳解】解：（1）∵，∴△ABC是等邊三角形∴∠B=60°∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)∴AB⊥DE，∴故答案為：；（2）①補(bǔ)全圖如圖2所示；②與的數(shù)量關(guān)系為：；證明：∵，．∴為正三角形，又∵繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴．（3）連接．∵，，∴．∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∵，∴．又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點(diǎn)變式11-1（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）如圖2