中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國通用）：專題17 三角形基礎(chǔ)(原卷版)

專題17三角形基礎(chǔ)【專題目錄】技巧1：三角形三邊關(guān)系的巧用技巧2：三角形的三種重要線段技巧3：三角形內(nèi)角和與外角的幾種常見應(yīng)用類型【題型】一、三角形的分類【題型】二、構(gòu)成三角形三邊的條件【題型】三、確定三角形第三邊的取值范圍【題型】四、與三角形高有關(guān)的相關(guān)計(jì)算問題【題型】五、與三角形重心有關(guān)的計(jì)算【題型】六、與三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)的計(jì)算【題型】七、利用直角三角形兩個(gè)銳角互余進(jìn)行相關(guān)計(jì)算【題型】八、利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算【考綱要求】1、了解三角形和全等三角形有關(guān)的概念，掌握三角形的三邊關(guān)系．2、理解三角形內(nèi)角和定理及推論．3、理解三角形的角平分線、中線、高的概念及畫法和性質(zhì)．【考點(diǎn)總結(jié)】一、三角形的概念三角形的概念三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形特性（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。三角形按邊分類

：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。等邊三角形：底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，即三邊都相等。三角形三邊的關(guān)系（1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（這兩個(gè)條件滿足其中一個(gè)即可）

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)就是：記三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。（2）

已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b

【考點(diǎn)總結(jié)】二、三角形中的重要線段和有關(guān)的角三角形中的重要線段和有關(guān)的角三角形的高概念從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。三角形的中線概念在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。性質(zhì)：三角形三條中線的交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的重心”。三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個(gè)小三角形。三角形的角平分線概念三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。三角形的內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。三角形的外角和定理三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角性質(zhì)：1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

2.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)?！炯记蓺w納】技巧1：三角形三邊關(guān)系的巧用【類型】一、判斷三條線段能否組成三角形1．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，不能擺成三角形的一組是()A．4，4，8B．5，5，1C．3，7，9D．2，5，42．有四條線段，長度分別為4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，試問可以組成多少個(gè)三角形？分別寫出來．【類型】二、求三角形第三邊的長或取值范圍3．一個(gè)三角形的兩邊長分別為5cm和3cm，第三邊的長是整數(shù)，且周長是偶數(shù)，則第三邊的長是()A．2cm或4cmB．4cm或6cmC．4cmD．2cm或6cm4．如果三角形的兩邊長分別為3和5，則周長l的取值范圍是()A．6＜l＜15B．6＜l＜16:C．11＜l＜13D．10＜l＜165．若三角形的三邊長是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10＜m＜22，則這樣的三角形有________個(gè)．【類型】三、三角形的三邊關(guān)系在等腰三角形中的應(yīng)用6．等腰三角形的一條邊長為6，另一條邊長為13，則它的周長為()A．25B．25或32C．32D．197．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝8cm，|AC－BC|＝2cm，則AC＝________．8．若等腰三角形的底邊長為4，且周長小于20，則它的腰長b的取值范圍是____________．【類型】四、三角形的三邊關(guān)系在代數(shù)中的應(yīng)用9．已知三角形三邊長分別為a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．10．已知a，b，c是△ABC的三邊長，b，c滿足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a為方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周長．【類型】五、利用三角形的三邊關(guān)系說明邊的不等關(guān)系11．如圖，已知D，E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，說明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.技巧2：三角形的三種重要線段【類型】一、三角形的高題型1：找三角形的高1．如圖，已知AB⊥BD于點(diǎn)B，AC⊥CD于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)E.△ADE的邊DE上的高為________，邊AE上的高為________．題型2：作三角形的高2．(動(dòng)手操作題)畫出圖中△ABC的三條高．(要標(biāo)明字母，不寫畫法)題型3：應(yīng)用三角形的高3．如圖，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC邊上的高AD＝4.(1)求△ABC的面積及AC邊上的高BE的長；(2)求AD∶BE的值．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G.試說明：DE＋DF＝BG.【類型】二、三角形的中線題型1：利用中線求長度5．如圖，AE是△ABC的中線，已知EC＝4，DE＝2，則BD的長為()A．2B．3C．4D．66．如圖，已知BE＝CE，ED為△EBC的中線，BD＝8，△AEC的周長為24，則△ABC的周長為()A．40B．46C．50D．567．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分成15cm和6cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的三邊長．題型2：利用中線求面積8．圖，△ABC的三邊的中線AD，BE，CF的公共點(diǎn)為G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是________．9．操作與探索：在圖①～③中，△ABC的面積為a.(1)如圖①，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD＝BC，連接DA，若△ACD的面積為S1，則S1＝________(用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖②，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD＝BC，AE＝CA，連接DE，若△DEC的面積為S2，則S2＝________(用含a的代數(shù)式表示)，請說明理由；(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF＝AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF，若陰影部分的面積為S3，則S3＝________(用含a的代數(shù)式表示)．【類型】三、三角形的角平分線題型1：三角形角平分線定義的直接應(yīng)用10．(1)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上的三點(diǎn)，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE為角平分線的三角形有__________；(2)如圖，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，計(jì)算∠3的度數(shù)，并說明AE是△DAF的角平分線．題型2：三角形的角平分線與高線相結(jié)合求角的度數(shù)11．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分線，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)．題型3：求三角形兩內(nèi)角平分線的交角度數(shù)12．如圖，在△ABC中，BE，CD分別為其角平分線且交于點(diǎn)O.(1)當(dāng)∠A＝60°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；(2)當(dāng)∠A＝100°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)；(3)當(dāng)∠A＝α°時(shí)，求∠BOC的度數(shù)．技巧3：三角形內(nèi)角和與外角的幾種常見應(yīng)用類型【類型】一、直接計(jì)算角度1．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，點(diǎn)D，E分別在BC，AC的延長線上，則∠1＝________．2．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C滿足∠B－∠A＝∠C－∠B，則∠B＝________．【類型】二、三角尺或直尺中求角度3．把一個(gè)直尺與一塊三角尺按如圖所示的方式放置，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為()A．125°B．120°C．140°D．130°4．一副三角尺ABC和DEF如圖放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使點(diǎn)E落在AC邊上，且ED∥BC，則∠CEF的度數(shù)為________．5．一副三角尺如圖所示擺放，以AC為一邊，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，邊AF交DC的延長線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．【類型】三、與平行線的性質(zhì)綜合求角度6．如圖，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度數(shù)．【類型】四、與截角和折疊綜合求角度7．如圖，在△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2等于()A．360°B．250°C．180°D．140°8．△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，AC上的兩點(diǎn)．(1)如圖①，如果沿直線DE折疊，則∠BDA′與∠A的關(guān)系是____________；(2)如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由；(3)如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由．【題型講解】【題型】一、三角形的分類例1、已知△ABC中，則△ABC一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【題型】二、構(gòu)成三角形三邊的條件例2、三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長可能為（）A． B． C． D．【題型】三、確定三角形第三邊的取值范圍例3、如圖，的對(duì)角線，交于點(diǎn)，若，，則的長可能是（）A． B． C． D．【題型】四、與三角形高有關(guān)的相關(guān)計(jì)算問題例4、如圖，在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，已知，，則的長是（）A．5 B． C．6 D．【題型】五、與三角形重心有關(guān)的計(jì)算例5、如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點(diǎn)F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c2【題型】六、與三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)的計(jì)算例6、如圖所示，直線EFGH，射線AC分別交直線EF、GH于點(diǎn)B和點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，如果∠A＝20°，則∠ACG＝（）A．160° B．110° C．100° D．70°【題型】七、利用直角三角形兩個(gè)銳角互余進(jìn)行相關(guān)計(jì)算例7、如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，則∠DCA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°【題型】八、利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算例8、如圖，已知直線和相交于點(diǎn)若，則等于（）A． B． C． D．三角形基礎(chǔ)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，在△ABC中，D為BC的延長線上一點(diǎn)，若∠B=70°，∠1=110°，則∠A=（

）A．35° B．40° C．55° D．70°2．如圖，已知直線AE∥BD，且∠C＝15°，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)是（

）A．45° B．55° C．65° D．75°3．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們在作中AC邊上的高時(shí)，共畫出下列四種圖形，其中正確的是（

）．A．B．C．D．4．某班級(jí)計(jì)劃在耕讀園里搭三角形圍欄，可以選擇三種長度的木條組合是（

）A．3、4、8 B．4、4、8 C．3、5、6 D．5、6、115．如圖，人字梯中間設(shè)計(jì)一“拉桿”，在使用梯子時(shí)，固定拉桿會(huì)增加安全性．這樣做蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間線段最短C．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 D．垂線段最短二、填空題6．如圖，點(diǎn)B、C、D在同一直線上，AB∥CE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，則∠1為___°．7．如圖，在中，，點(diǎn)E、F分別是邊上，且．若，則_________°．三、解答題8．如圖，在四邊形中，，，平分交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求的大小；(2)若，求的大?。切位A(chǔ)（提升測評(píng)）一、單選題1．如圖，點(diǎn)C，D在直線AB上，，若，則∠BDO的大小為（

）A． B． C． D．2．一把直尺和一塊三角板ABC（含45°角）如圖所示擺放，直尺一邊與三角板的兩直角邊分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)A，∠CED=25°，則∠BFA的大小為（

）A．105° B．110° C．115° D．125°3．如圖，BE是的中線，交BE于點(diǎn)F，且，，則的度數(shù)為（

）A．30° B．25° C．20° D．15°4．如圖