新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第44講解析幾何中的極點(diǎn)極線問題學(xué)生版

第44講解析幾何中的極點(diǎn)極線問題一．選擇題（共4小題）1．（2021?柯橋區(qū)模擬）過點(diǎn)的兩條直線，分別與雙曲線相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，滿足，且．若直線的斜率，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．2．（2021?武漢模擬）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，過的兩條直線，分別與橢圓交于，和，兩點(diǎn)，且滿足（其中，且，若變化時(shí)，的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．（2021?武漢模擬）已知，分別為雙曲線實(shí)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，異于，，則直線，的斜率之比A． B． C． D．4．（2021?湖北月考）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，過軸上點(diǎn)作一直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于，，若直線和的交點(diǎn)為，記直線和的斜率分別為，，則A． B．3 C． D．2二．填空題（共4小題）5．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓相交于．和，兩點(diǎn)若，若直線的斜率為，則該橢圓的離心率為6．（2021?龍鳳區(qū)校級月考）已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于，和，兩點(diǎn)，且滿足（其中且，若變化時(shí)直線的斜率總為，則橢圓的離心率為．7．設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的軌跡方程為．8．（2021?南通模擬）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是．三．解答題（共32小題）9．（2021?朝陽區(qū)校級期中）已知，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，已知，是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．若弦過橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．10．（2021?常熟市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)（與軸交點(diǎn)除外），直線交橢圓于另一點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線過橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，求的面積．11．（2021?邗江區(qū)校級期中）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，的面積分別為，，若，求的值；（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．12．（2021春?射洪市期末）如圖，已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，短軸為，長軸長是焦距的2倍，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．（1）若時(shí)，記、的面積分別為、，求的值；（2）記直線、的斜率分別為、，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．13．（2021?全國模擬）橢圓的右焦點(diǎn)為，規(guī)定直線為橢圓的右準(zhǔn)線，橢圓上的任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與其到右準(zhǔn)線的距離之比為．已知橢圓．（1）若點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的最小值；（2）若，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，非頂點(diǎn)），證明：直線與的交點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上．14．（2021?南平二模）已知橢圓．（Ⅰ）若橢圓的離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得弦長為．①求橢圓方程；②過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，若，求直線的斜率；（Ⅱ）設(shè)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，且，類比（Ⅰ）②直接寫出直線的斜率．（不必證明）15．（2021?安徽模擬）設(shè)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)的兩直線分別與橢圓交于，和，，若．（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；（Ⅱ）過點(diǎn)作的平行線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)平分線段．16．（2021?安陽三模）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其短軸長為2，離心率為．點(diǎn)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)的兩直線分別與橢圓交于點(diǎn)，和，，且．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：直線的斜率為定值．17．（2021?南昌一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的動直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，且點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，．（1）求拋物線的方程，并證明直線是拋物線的切線；（2）過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．18．（2021?金華模擬）如圖，已知拋物線，過點(diǎn)的直線斜率為，與拋物線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求斜率的取值范圍；（Ⅱ）直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，是否存在這樣的，使，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．19．（2021?新津縣校級月考）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作與直線相切的圓，求圓的半徑，判斷圓與直線的位置關(guān)系，并說明理由．20．（2015?四川）如圖，橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（2021秋?西城區(qū)校級期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為直線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)．22．（2021秋?西城區(qū)校級期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；（Ⅲ）過（Ⅱ）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．23．（2021?越秀區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)在拋物線上且，求拋物線的方程；（2）證明為定值．24．（2021?浙江）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在上．（Ⅰ）設(shè)中點(diǎn)為，證明：垂直于軸；（Ⅱ）若是半橢圓上的動點(diǎn)，求面積的取值范圍．25．（2021?金安區(qū)校級期末）如圖所示，已知點(diǎn)，是軸左側(cè)一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，，中點(diǎn)為，，的中點(diǎn)均在上．（1）求證：；（2）若是半橢圓上的動點(diǎn)，求長度的取值范圍．26．（2021?楊浦區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，，滿足，的中點(diǎn)均在拋物線上（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（2）設(shè)中點(diǎn)為，且，，，，證明：；（3）若是曲線上的動點(diǎn)，求面積的最小值．27．（2021?懷化一模）如圖，已知點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，．（1）若中點(diǎn)為，且滿足，的中點(diǎn)均在上，證明：垂直于軸；（2）若點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），且與的面積分別為和，求最小值．28．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．29．（2013?江西）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為．（1）求橢圓的方程；（2）是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，．問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．30．（2021?張掖期末）如圖，橢圓的兩頂點(diǎn)，，過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于，兩點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)之積為定值．31．（2021秋?棗強(qiáng)縣校級期末）橢圓的兩頂點(diǎn)為，如圖，離心率為，過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)異于，兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值．32．（2015秋?成都校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為．設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，，，，其中，，．（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅲ）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．33．（2021春?南開區(qū)校級月考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，若．求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．34．（2021?北京）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．若，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．35．（2012?福建）如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)動直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．證明以為直徑的圓恒過軸上某定點(diǎn)．36．（2013?崇明縣一模）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長為8，且△面積最大時(shí)，△為正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．試探究：①以為直徑的圓與軸的位置關(guān)系？②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．37．（2021?江西）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，分別在的兩條漸近線上，軸，，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點(diǎn)，的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．證明：當(dāng)點(diǎn)在上移動時(shí)，恒為定值，并求此定值．38．（2021?青浦區(qū)三模）曲線．（1）若曲線表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設(shè)，曲線與軸交點(diǎn)為，在上方），與