2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市鍋爐中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市鍋爐中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知函數(shù)在區(qū)間[3，5]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是（）A．3 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=在[3，5]上是減函數(shù)，求其最小值，可得滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的最大值．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=＜0在[3，5]上恒成立，∴f（x）為[3，5]上的減函數(shù)，∴．∴實(shí)數(shù)a的最大值是．故選：D．3.已知數(shù)列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性質(zhì)P：對(duì)任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)、現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列0，1，3具有性質(zhì)P；②數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)P；③若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則a1=0；④若數(shù)列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性質(zhì)P，則a1+a3=2a2，其中真命題有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】根據(jù)數(shù)列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性質(zhì)P：對(duì)任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，逐一驗(yàn)證，可知①錯(cuò)誤，其余都正確．【解答】解：∵對(duì)任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的項(xiàng)，①數(shù)列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3﹣a2=3﹣1=2都不是該數(shù)列中的數(shù)，故①不正確；②數(shù)列0，2，4，6，aj+ai與aj﹣ai（1≤i≤j≤3）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項(xiàng)，并且a4﹣a3=2是該數(shù)列中的項(xiàng)，故②正確；③若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則an+an=2an與an﹣an=0兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴0是該數(shù)列中的項(xiàng)，∴a1=0；故③正確；④∵數(shù)列a1，a2，a3具有性質(zhì)P，0≤a1＜a2＜a3∴a1+a3與a3﹣a1至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，且a1=0，1°若a1+a3是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是該數(shù)列的項(xiàng)∴a3﹣a2=a2，∴a1+a3=2a22°若a3﹣a1是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則a3﹣a1=a1或a2或a3①若a3﹣a1=a3同1°，②若a3﹣a1=a2，則a3=a2，與a2＜a3矛盾，③a3﹣a1=a1，則a3=2a1綜上a1+a3=2a2，故選B．4.函數(shù)f（x）在（﹣4，7）上是增函數(shù)，則使y=f（x﹣3）+2為增函數(shù)的區(qū)間為（）A．（﹣2，3） B．（﹣1，7） C．（﹣1，10） D．（﹣10，﹣4）參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】綜合題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知函數(shù)f（x）在（﹣4，7）上是增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象的平移，可得y=f（x﹣3）+2為增函數(shù)的區(qū)間．【解答】解：∵f（x）在（﹣4，7）上是增函數(shù)，而y=f（x﹣3）+2是把f（x）的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，∴y=f（x﹣3）+2為增函數(shù)的區(qū)間為（﹣1，10）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的圖象平移，是基礎(chǔ)題．5.sin15°cos15°=（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A6.（5分）A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，則該球的體積為（） A． B． 48π C． D． 參考答案：A考點(diǎn)： 球的體積和表面積；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；球內(nèi)接多面體．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 由題意把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的體積．解答： 由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、D擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE==．AO==2．所求球的體積為：=．故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．7.如圖1，的兩直角邊、，將它繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知向量，則(

)A.

B.

C.

D．參考答案：D略9.cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于（）A．0 B． C． D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】利用誘導(dǎo)公式得出cos24°=cos（90°﹣66°）=sin66°，cos54°=cos（90°﹣36°）=sin36°，然后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式得出結(jié)果．【解答】解：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=sin66°cos36°﹣cos66°sin36°=sin（66°﹣36°）=sin30°=故選B．10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）終邊上，則函數(shù)y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的單調(diào)減區(qū)間為．參考答案：[，π]【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：∵點(diǎn)P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）終邊上，∴φ=﹣，函數(shù)y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函數(shù)的減區(qū)間為[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再結(jié)合x(chóng)∈[0，π]，可得函數(shù)y=3cos（x+φ）的單調(diào)減區(qū)間為[，π]，故答案為：[，π]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．12.已知log54=a，log53=b，用a，b表示log2536=．參考答案：+b考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則求解．解答：解：∵log54=a，log53=b，∴l(xiāng)og2536=log56=log52+log53=+log53=．故答案為：+b．點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)、運(yùn)算，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．13.化簡(jiǎn)求值：

參考答案：1014.1海里約合1852m，根據(jù)這一關(guān)系，米數(shù)y關(guān)于海里數(shù)x的函數(shù)解析式為

參考答案：y=1852x(x>0)15.執(zhí)行如圖的程序，若輸出的結(jié)果是2，則輸入的x=．參考答案：0或2【考點(diǎn)】偽代碼；選擇結(jié)構(gòu)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；分類(lèi)討論；算法和程序框圖．【分析】本題考查條件語(yǔ)句，先根據(jù)算法語(yǔ)句寫(xiě)出分段函數(shù)，然后討論x的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)值求出自變量即可．【解答】解：根據(jù)條件語(yǔ)句可知程序的功能是計(jì)算y=，當(dāng)x＜1時(shí)，2x+1=2，解得：x=0，當(dāng)x≥1時(shí)，x2﹣x=2，解得：x=2或﹣1（舍去），故答案為：0或2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分段函數(shù)，以及條件語(yǔ)句，算法語(yǔ)句是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，在近兩年的新課標(biāo)地區(qū)高考都考查到了，這啟示我們要給予高度重視，屬于基礎(chǔ)題．16.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.

參考答案：[-1，1）略17.不等式的解集為_(kāi)_______．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若a=4，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；偶函數(shù)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立恒等式f（﹣x）=f（x）在R上恒成立，從而求出a的值即可；（2）將a=4代入，令f（x）=0然后解對(duì)數(shù)方程，先求出4x的值，然后利用對(duì)數(shù)表示出x的值即可．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0﹣2x+2ax=0即a=1（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x令f（x）=0，log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0或（舍）∴【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)方程的求解，屬于中檔題．19.定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|lgx|．（1）求x＜0時(shí)f（x）的解析式；（2）若存在四個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)a，b，c，d使f（a）=f（b）=f（c）=f（d），求abcd的值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)方程的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（﹣x）=|lg（﹣x）|，因f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，即f（x）=f（﹣x）=|lg（﹣x）|，所以，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=|lg（﹣x）|．（2）不妨設(shè)a＜b＜c＜d，令f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m，（m＞0），則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|lgx|=m，可得lgx=±m(xù)，即x=10m或10﹣m，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=|lg（﹣x）|=m．可得lg（﹣x）=±m(xù)，即x=﹣10m或﹣10﹣m，因a＜b＜c＜d，所以a=﹣10m，b=﹣10﹣m，c=10﹣m，d=10m，abcd=10m.10﹣m．（﹣10m）．（﹣10﹣m）=1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．20.（本題滿(mǎn)分12分）如圖，ABCD是正方形，O是該正方形的中心，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．

求證：(1)PA∥平面BDE；(2)BD⊥平面PAC．

參考答案：證明：(1)連接EO，∵四邊形ABCD為正方形，∴O為AC的中點(diǎn)．∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE是△APC的中位線(xiàn)．∴EO∥PA．∵EO平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PO⊥BD．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵PO∩AC＝O，AC平面PAC，PO平面PAC，∴BD⊥平面PAC．

略21.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且.（1）求角A；（2）若，，求a.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）由題設(shè)條件和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)，解得，即可求解的值；（2）由正弦定理，求得，再由三角形的面積公式，求得，聯(lián)立方程組，求得，，利用余弦定理，即可求解的值.【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，則，整理可得：，因?yàn)?，，解得?（2）因?yàn)?，由正弦定理可得：?/p>

①因?yàn)?，解得：，②所以由①②可解得：，，由余弦定理可得?【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)