2022-2023學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市民安中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市民安中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，若關(guān)于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得0≤2mx﹣lnx≤6對(duì)x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤對(duì)x∈[1，3]恒成立．求得相應(yīng)的最大值和最小值，從而求得m的范圍．【解答】解：∴定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∵函數(shù)數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）對(duì)x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）對(duì)x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3對(duì)x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6對(duì)x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤對(duì)x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，則g′（x）=，在[1，e）上遞增，（e，3]上遞減，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上遞減，∴h（x）min=．綜上所述，m∈[，]．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．2.已知橢圓與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，A為橢圓第一象限上的點(diǎn)，直線OA交橢圓于另一點(diǎn)B，橢圓的左焦點(diǎn)為F，若直線AF平分線段BC，則橢圓的離心率等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】橢圓【試題解析】設(shè)AF交BC于點(diǎn)M，設(shè)右焦點(diǎn)為G，

由橢圓的對(duì)稱性知：A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以MF//BG．

因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以F是CG的中點(diǎn)，

所以a-c=2c，即a=3c，所以

故答案為：A3.這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是

（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C4.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（） A．（﹣∞，+∞） B． [，+∞） C． （﹣∞，] D． （﹣∞，1）參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題： 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 畫出f（x）的圖象，函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx有零點(diǎn)，即為y=f（x）的圖象和直線y=kx有交點(diǎn)，作出直線y=kx，由圖象觀察k≤0，直線和曲線有交點(diǎn)，設(shè)直線y=kx與曲線y=log2x相切的切點(diǎn)為p（m，n），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由圖象觀察即可得到k的取值范圍．解答： 解：函數(shù)f（x）=，畫出f（x）的圖象，函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx有零點(diǎn)，即為y=f（x）的圖象和直線y=kx有交點(diǎn)，作出直線y=kx，由圖象觀察k≤0，直線和曲線有交點(diǎn)，設(shè)直線y=kx與曲線y=log2x相切的切點(diǎn)為p（m，n），由于（log2x）′=，即切線的斜率為=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，則k＞0時(shí)，直線與曲線有交點(diǎn)，則0＜k，綜上，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是：（﹣∞，]．故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，屬于中檔題．5.如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知a＞0,且a≠1,f(x)=,當(dāng)x∈時(shí),均有,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B．

C．

D．參考答案：C略7.命題：函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限．那么命題的逆命題、否命題、逆否命題這三個(gè)命題中假命題的個(gè)數(shù)是（）A.2

B．3

C．1

D．0參考答案：A8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如輸入的值為1，則輸出的的值為（

）

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B.9.已知點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足，設(shè)z為在上的投影，則z的取值范圍是(

) A． B．[﹣3，3] C． D．參考答案：B考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：常規(guī)題型．分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=x+y，再利用z的幾何意義求范圍，只需求出向量和的夾角的余弦值的取值范圍即可，從而得到z值即可．解答： 解：==，∵，∴當(dāng)時(shí)，=3，當(dāng)時(shí)，=﹣3，∴z的取值范圍是[﹣3，3]．∴故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．10.已知集合（

）A． B． C． D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如右圖所示.若該四棱錐的側(cè)視圖為直角三角形，則它的體積為__________．參考答案：略12.函數(shù)的定義域是．參考答案：13.平面向量的夾角為，，則____________．參考答案：略14.已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，則3+2=．參考答案：（14，7）【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示，求出m的值，再計(jì)算3+2即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（m，2），且∥，∴1?m﹣2×2=0，解得m=4，∴=（4，2）；∴3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）．故答案為：（14，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行和線性運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．15.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，若，則角A=

。參考答案：或由正弦定理可知，即，所以，因?yàn)?，所?所以或。16.已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，則的取值范圍是.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．B9解析：令f（x）=0，則，作出和在R上的圖象，可知恰有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為x1，x2且，x1＜1，x2＞1，故有＞x2，即x1x2＜1．又f（）＜0，f（1）＞0，∴＜x1＜1，∴x1x2＞．故答案為：（，1）．【思路點(diǎn)撥】作出和在R上的圖象，可知恰有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為x1，x2且，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得結(jié)論．17.設(shè)關(guān)于x的不等式的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則的值為_____▲______.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知F（1，0），過點(diǎn)A（﹣1，t）作y軸的垂線，與線段AF的垂直平方分線交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的軌跡為曲線E．（Ⅰ）求曲線E的方程；（Ⅱ）自直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)N作曲線E的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】（I）由中垂線的性質(zhì)可知MF=MA，故而E為以F為焦點(diǎn)的拋物線；（II）設(shè)N（x0，y0），過N點(diǎn)的直線方程為x=m（y﹣y0）+x0，聯(lián)立拋物線方程，令△=0得出切點(diǎn)P，Q坐標(biāo)及m1，m2的關(guān)系，代入兩點(diǎn)式方程化簡即可得出直線PQ的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（I）∵M(jìn)在AF的中垂線上，∴|MA|=|MF|，∵M(jìn)在直線y=t上，∴|MA|等于M到直線x=﹣1的距離．∴M的軌跡為以點(diǎn)F（1，0）為焦點(diǎn)，以x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線．∴曲線E的方程為y2=4x．（II）設(shè)N（x0，y0），過N的切線方程為x=m（y﹣y0）+x0，聯(lián)立方程組，得y2﹣4my+4my0﹣4x0=0．∵直線與拋物線相切，∴△=16m2﹣16my0+16x0=0，即m2﹣my0+x0=0．∴m1+m2=y0，m1?m2=x0．∴方程組的解為y=2m，x=m2．設(shè)P（m12，2m1），Q（m22，2m2）．則直線PQ的方程為：=，∴（m1+m2）（y﹣2m1）﹣2（x﹣m12）=0．即（m1+m2）y﹣2m1m2﹣2x=0．∴y0y﹣2x0﹣2x=0．∵N（x0，y0）在直線y=2x+3上，∴y0=2x0+3．∴直線PQ方程為2x0y+3y﹣2x0﹣2x=0．∴當(dāng)y=1時(shí)，x=．∴直線PQ過定點(diǎn)（，1）．19.如圖所示，在三棱錐中，平面，分別為線段上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：（1）證明：由平面，平面，故由，得為等腰直角三角形，故，又，故平面.（2）由（1）知，為等腰直角三角形，，過作垂直于，易知，又平面，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，即為三棱錐的高，由得， 即，所以，所以到平面的距離為.20.（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)．

（1）若在處的切線與直線平行，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

求證：．參考答案：（1）;（2）時(shí)，在上單調(diào)遞增,②時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（3）見解析（1）由題知的定義域?yàn)?，且．又∵的圖象在處的切線與直線平行，∴，即解得………4分（2），由，知>0．①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，在上單調(diào)遞增。②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為……9分（3）不妨設(shè)，且，由（2）知，則要證成立，只需證：即．∵，，兩式相減得：，即，∴，故只需證，即證明，即證明，變形為，設(shè)，令，則，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=0，∴在上是增函數(shù)．

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，總成立，命題得證．…14分21.如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6,高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記,用表示四棱錐P-ACFE的體積.（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)x為何值時(shí),取得最大值？(Ⅲ）當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值參考答案：(Ⅰ)即;

(Ⅱ),時(shí),

時(shí),

時(shí)取得最大值.(Ⅲ)以E為空間坐標(biāo)原點(diǎn),直線EF為軸,直線EB為軸,直線EP為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則;

,設(shè)異面直線AC與PF夾角是略22.（本小題滿分12分）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)。以為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長度是否發(fā)生變化