2021年黑龍江省綏化市青岡第六中學高二數(shù)學理期末試題含解析

2021年黑龍江省綏化市青岡第六中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列性質(zhì)，你認為比較恰當?shù)氖牵ǎ俑骼忾L相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．A.① B.② C.①②③ D.③參考答案：C【分析】類比正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正四面體的幾何特征，依次分析答案，即可?！驹斀狻空拿骟w中，各棱長相等，各側(cè)面是全等的等邊三角形，因此，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；①正確；對于②，正四面體中，各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角中，它們有共同的高，底面三角形的中心到對棱的距離相等，相鄰兩個面所成的二面角都相等，②正確；對于③，各個面都是全等的正三角形，各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等，③正確．①②③都是合理、恰當?shù)模蔬x：C．【點睛】本題考查類比推理，關(guān)鍵在于對每個選項都要考查其正誤，才能得到正確結(jié)論，屬于基礎題．2.籃子里裝有2個紅球，3個白球和4個黑球。某人從籃子中隨機取出兩個球，記事件A=“取出的兩個球顏色不同”，事件B=“取出一個紅球，一個白球”，（

）A. B. C. D.參考答案：B試題分析：事件A的選法有種，事件B的選法有，所以。故選B?？键c：條件概率點評：求條件概率，只要算出事件B和事件A的數(shù)量，然后求出它們的商即可。3.已知M（x0，y0）是雙曲線x2﹣=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個焦點，若?＜0，則y0的取值范圍為（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出焦點坐標，得到，的坐標，根據(jù)數(shù)量積小于零列出不等式解出．【解答】解：∵M（x0，y0）是雙曲線x2﹣=1上的一點，∴x02=1+．F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），∴=（﹣﹣x0，﹣y0）=（﹣x0，﹣y0）．∴?=（﹣﹣x0）（）+y02=x02+y02﹣3=y02﹣2＜0．解得﹣＜y0＜．故選：D．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題．4.在正方體中，直線與所成的角的大小為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.已知命題

p:；q:；r:∥平面，則直線；s:同時拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)一正一反的概率為，則下列復合命題中正確的是(

)A.r或s

B.p且q

C.非r

D.q或s參考答案：A略6.12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.函數(shù)的大致圖象為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A由函數(shù)，則滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B、D項；由當時，，排除C，故選A．

8.拋物線的焦點坐標是

（

）A.(a,0)

B.

(－a,0)

C.(0,a)

D.(0,－a)

參考答案：A

9.①從牛奶生產(chǎn)線上每隔30分鐘取一袋進行檢驗；②從本年級20個班中任取三個班進行學情調(diào)查。則下列說法正確的是（

）A.①是分層抽樣，②是簡單隨機抽樣;

B.①是系統(tǒng)抽樣，②是簡單隨機抽樣;

C.①是系統(tǒng)抽樣，②是分層抽樣;

D.①是分層抽樣，②是系統(tǒng)抽樣;

參考答案：B略10.總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07 C．02 D．01參考答案：D【考點】簡單隨機抽樣．【分析】從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，依次為65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合條件，故可得結(jié)論．【解答】解：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，第三個數(shù)為08，符合條件，以下符合條件依次為：08，02，14，07，01，故第5個數(shù)為01．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={x||x﹣1|+|x+2|=3}，B={x||x﹣a|＜1}，若A∩B=B，則實數(shù)a的取值范圍是_________．參考答案：12.已知數(shù)列{an}的通項公式是，數(shù)列的通項公式是，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}．則數(shù)列{cn}的前28項的和

．參考答案：82013.已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且，，，，若存在常數(shù)u，v對任意正整數(shù)n都有，則________．參考答案：6【分析】設的公差為，的公比為，由題設條件解得時，，故，.由，知，分別令和，能夠求出.【詳解】設的公差為，的公比為，，，，，，，解方程得或，當時，，不符合題意，故舍去，當時，，，，，，當時，，，當時，，，，.所以本題答案為6.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的應用，是基礎題.解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.14.如圖，在斜二測投影下，四邊形ABCD是下底角為45°的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為，則原四邊形的面積是___

_____．參考答案：略15.已知O為坐標原點，點M的坐標為（1，-1），點N(x,y)的坐標x,y滿足則的概率為_________.參考答案：略16.已知拋物線上的任意一點到該拋物線焦點的距離比該點到軸的距離多1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如圖所示，過定點（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點．（i）求四邊形面積的最小值；（ii）設線段、的中點分別為、兩點，試問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

參考答案：（Ⅰ）由已知

∴

……………4分（Ⅱ）（i）由題意可設直線的方程為（），代入得設則，

∴

…………6分同理可得

………………7分S四邊形ABCD…8分設則

∴S四邊形ABCD∵函數(shù)在上是增函數(shù)

∴S四邊形ABCD，當且僅當即即時取等號∴四邊形面積的最小值是48.

………9分（ii）由①得

∴

∴∴，

……11分同理得

…12分∴直線的方程可表示為即當時得

∴直線過定點（4,0）.

……………………14分注：第（Ⅱ）中的第（i）問：S四邊形ABCD（當且僅當時取等號）也可.

略17.若正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則異面直線與AD所成角的余弦值是________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用數(shù)學歸納法加以證明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由題設得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用數(shù)學歸納法證明．①當n=1時，，結(jié)論成立．②假設n=k時結(jié)論成立，即，那么n=k+1時，=即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．設φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），則φ′（x）=，當a≤1時，φ′（x）≥0（僅當x=0，a=1時取等號成立），∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴當a≤1時，ln（1+x）≥恒成立，（僅當x=0時等號成立）當a＞1時，對x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上單調(diào)遞減，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即當a＞1時存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由題設知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比較結(jié)果為g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）證明如下：上述不等式等價于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得結(jié)論得證．19.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.（Ⅰ）寫出曲線C1，C2的普通方程；（Ⅱ）過曲線C2的圓心且傾斜角為的直線交曲線C1于A，B兩點，求.參考答案：（Ⅰ）即曲線的普通方程為，∵，，曲線的方程可化為，即.（Ⅱ）曲線的圓心為直線的傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為（參數(shù)）將其代入曲線整理可得，所以.設對應的參數(shù)分別為則所以，.所以.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)=（，（1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖像有兩個不同的交點，求的取值范圍。（3）設點和（是函數(shù)圖像上的兩點，平行于的切線以為切點，求證.參考答案：（3）由已知：，所以