勾股定理整章知識(shí)點(diǎn)+例題

1、 探索勾股定理基本知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一勾股定理（1） 勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=C2。（2） 勾股定理公式a2+b2=C2的變形有：a=C2-b2，b=C2-a2及c=a?+b2。（3） 勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中。（4） 應(yīng)用勾股定理時(shí)，要注意確定哪條邊是直角三角形的最大邊也就是斜邊。在RTAABC中，斜邊未必是c，當(dāng)ZA=90°時(shí)，a是斜邊，a2=b2+c2；當(dāng)ZB=90°時(shí)，b是斜邊，b2=a2+c2。例1在^ABC中，/C=90°（1） 若a=5，c=13，則b=（2） 若a：b=3：4.且c=30，^ljb=知識(shí)點(diǎn)二勾股定理的驗(yàn)證（1） 勾股定理的證明方法有很多種，如采用了拼圖的方法證明的。先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理。（2） 證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理如圖是美國(guó)總統(tǒng)Garfield于1896年給出的一種驗(yàn)證勾股定理的辦法，你能利用它證明勾股定理嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程.（提示：如圖三個(gè)三角形均是直角三角形）如圖，四個(gè)全等的直角三角形的拼圖，你能驗(yàn)證勾股定理嗎？試試看.知識(shí)點(diǎn)三勾股定理的應(yīng)用例2、如圖9,在海上觀察所A,我邊防海警發(fā)現(xiàn)正北6km的B處有一可疑船只正在向東方向8km的C處行駛.我邊防海警即刻派船前往C處攔截.若可疑船只的行駛速度為40km/h,則我邊防海警船的速度為多少時(shí)，才能恰好在C處將可疑船只截??？8km C6kmA經(jīng)典例題全解一、勾股定理與面積的綜合運(yùn)用在AABC中，/ACB=90°,AC=4,BC=3,求RTAABC斜邊上的高CD的長(zhǎng)度如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量.小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知ZB=90度.那么這塊土地的面積為多少平方米？如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是3,5,2,3,則最大正方形E的面積是二、翻折問(wèn)題1、 翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換。2、 折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等。3、 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系.首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件。解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案。我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)。如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿著直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,BC=3,將其沿直線MN折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則CN的長(zhǎng)為多少？如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=10cm,E是CD上的一點(diǎn)，沿直線AE把^ADE折疊，點(diǎn)D恰好落在邊BC上一點(diǎn)F處，則DE的長(zhǎng)度為多少？三、構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題如圖，小明在廣場(chǎng)上先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米.求小明到達(dá)的終止點(diǎn)與原出發(fā)點(diǎn)的距離.出發(fā)點(diǎn)1040、

20 、4070終止點(diǎn)如圖，一巡邏艇在A處，發(fā)現(xiàn)一走私船在A處的南偏東60°方向上距離A處12海里的B處，并以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西30°方向行駛，若巡邏艇以每小時(shí)25海里的速度追趕走私船，則追上走私船所需時(shí)間是多少？2、能得到直角三角形嗎基本知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一掌握判定直角三角形的條件，即勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)b,c滿足a2+b2=C2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題。注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是。例判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形在^ABC中，/A=15°，/B=75°在ABC中，AC=12，AB=20，BC=16知識(shí)點(diǎn)二知道勾股數(shù)的意義，能識(shí)別一組數(shù)是否是勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。說(shuō)明：三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)。一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)。記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度。如3,4,5；6,8，10；5，12，13； 經(jīng)典例題全解一、直角三角形的判定例1、正方形網(wǎng)格中的^ABC，若小方格邊為1，則^ABC是二、直角三角形的判定方法的實(shí)際意義例2、有一塊空白地，/ADC=90°,CD=6米，AD=8米，AB=26米，BC=24米，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上進(jìn)行綠化，若平均每平方米投資100元，那么該空白地綠化需要多少投入？例3、在西部開發(fā)建設(shè)中，政府為了方便A、B兩個(gè)村莊，決定從A向B修筑一條筆直的公路，公路長(zhǎng)為13km，而C地有一個(gè)半徑為4.8km的魚塘，并且A與C的距離為5km，B與C的距離為12km，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)幫助計(jì)算這條公路是否會(huì)穿過(guò)魚塘？螞蟻怎么走最近知識(shí)點(diǎn)一直角三角形的判斷條件的應(yīng)用例1、工人師傅將門砌到一定高度時(shí)，質(zhì)檢人員要測(cè)一下門上的四個(gè)角是否為直角，請(qǐng)幫質(zhì)檢人員想一個(gè)檢驗(yàn)辦法，并說(shuō)明理由。知識(shí)點(diǎn)二平面展開-最短路徑問(wèn)題平面展開-最短路徑問(wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑。一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短。在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型。1、求圓柱側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短路線問(wèn)題例2、如圖，有一個(gè)圓柱，它的高為15cm，底面半徑為湍cm，在A點(diǎn)的一只螞蟻想吃到B點(diǎn)的食物，爬行的最短路程為2、求長(zhǎng)方體（或正方體）表面上兩點(diǎn)間的最短路線問(wèn)題例3如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別是6,4,4,在底面A處有一只螞蟻，它想吃到長(zhǎng)方體上面B處的食物，需要爬行的最短路程是多少？例4、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm.A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最