高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題85 幾何概型 (含解析)

PAGE微專題85幾何概型一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型2、對(duì)于一項(xiàng)試驗(yàn)，如果符合以下原則：（1）基本事件的個(gè)數(shù)為無限多個(gè)（2）基本事件發(fā)生的概率相同則可通過建立幾何模型，利用幾何概型計(jì)算事件的概率3、幾何概型常見的類型，可分為三個(gè)層次：（1）以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率。（2）以數(shù)軸，坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的題目：可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段（或坐標(biāo)平面的可行域），從而可通過計(jì)算長(zhǎng)度（或面積）的比例求的概率（將問題轉(zhuǎn)化為第（1）類問題）（3）在題目敘述中，判斷是否運(yùn)用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個(gè)數(shù)。從而可依據(jù)變量個(gè)數(shù)確定幾何模型：通常變量的個(gè)數(shù)與幾何模型的維度相等：一個(gè)變量→數(shù)軸，兩個(gè)變量→平面直角坐標(biāo)系，三個(gè)變量→空間直角坐標(biāo)系。從而將問題轉(zhuǎn)化成為第（2）類問題求解二、典型例題：例1：已知函數(shù)SKIPIF1<0，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的概率是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：先解出SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0的取值范圍：SKIPIF1<0，從而在數(shù)軸上SKIPIF1<0區(qū)間長(zhǎng)度占SKIPIF1<0區(qū)間長(zhǎng)度的比例即為事件發(fā)生的概率，所以SKIPIF1<0答案：C例2：如圖，矩形SKIPIF1<0內(nèi)的陰影部分是由曲線SKIPIF1<0及直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸圍成，向矩形SKIPIF1<0內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：落在陰影部分的概率即為陰影部分面積與長(zhǎng)方形面積的比值長(zhǎng)方形的面積SKIPIF1<0，陰影面積SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0答案：B例3：已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，在正方形SKIPIF1<0內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：SKIPIF1<0可理解為以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓的內(nèi)部，通過作圖可得概率為陰影部分面積所占正方形面積的比例?？蓪㈥幱安糠植馂橐粋€(gè)扇形與兩個(gè)直角三角形，可計(jì)算其面積為SKIPIF1<0，正方形面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B小煉有話說：到某定點(diǎn)的距離等于（或小于）定長(zhǎng)的軌跡為圓（或圓的內(nèi)部），所以從SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為定點(diǎn)便可確定SKIPIF1<0所在的圓內(nèi)例4：一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體SKIPIF1<0內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體SKIPIF1<0內(nèi)的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所求概率為棱錐SKIPIF1<0的體積與棱柱SKIPIF1<0體積的比值。由三視圖可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0兩兩垂直，可得SKIPIF1<0，棱錐體積SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。從而SKIPIF1<0答案：D例5：如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0等可能分布在菱形SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0的概率是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：對(duì)SKIPIF1<0聯(lián)想到數(shù)量積的投影定義，即SKIPIF1<0乘以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，不妨將投影設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即可，由菱形性質(zhì)可得，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且垂足四等分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)位置應(yīng)該位于SKIPIF1<0內(nèi)。所以SKIPIF1<0答案：D例6：某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待時(shí)間不多于15分鐘的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所涉及到只是時(shí)間一個(gè)變量，所以考慮利用數(shù)軸輔助解決。在一個(gè)小時(shí)中，符合要求的線段長(zhǎng)度所占的比例為SKIPIF1<0，所以概率SKIPIF1<0答案：B例7：已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0都是區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的數(shù)，則使SKIPIF1<0成立的概率是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：題目中涉及SKIPIF1<0兩個(gè)變量，所以考慮利用直角坐標(biāo)系解決。設(shè)SKIPIF1<0為“SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)”，則SKIPIF1<0要滿足的條件為：SKIPIF1<0，設(shè)事件SKIPIF1<0為“SKIPIF1<0成立”，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0要滿足的條件為：SKIPIF1<0，作出各自可行域即可得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例8：在區(qū)間SKIPIF1<0上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為事件“SKIPIF1<0”的概率，SKIPIF1<0為事件“SKIPIF1<0”的概率，SKIPIF1<0為事件“SKIPIF1<0”的概率，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：分別在坐標(biāo)系中作出“SKIPIF1<0”，“SKIPIF1<0”，“SKIPIF1<0”的區(qū)域，并觀察或計(jì)算其面積所占單位長(zhǎng)度正方形的比例，即可得到SKIPIF1<0的大?。篠KIPIF1<0答案：B例9：小王參加網(wǎng)購(gòu)后，快遞員電話通知于本周五早上7:30-8:30送貨到家，如果小王這一天離開家的時(shí)間為早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到郵件的概率為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本題中涉及兩個(gè)變量，一個(gè)是快遞員到達(dá)的時(shí)刻，記為SKIPIF1<0，一個(gè)是小王離開家的時(shí)刻，記為SKIPIF1<0，由于雙變量所以考慮建立平面坐標(biāo)系，利用可行域的比值求得概率。必然事件SKIPIF1<0所要滿足的條件為：SKIPIF1<0，設(shè)“小王走之前拿到郵件”為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0要滿足的條件為：SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的可行域，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：D例10：已知一根繩子長(zhǎng)度為SKIPIF1<0，隨機(jī)剪成三段，則三段剛好圍成三角形的概率為______思路：隨機(jī)剪成三段，如果引入3個(gè)變量SKIPIF1<0，則需建立空間坐標(biāo)系，不易于求解。考慮減少變量個(gè)數(shù)，由于三段的和為SKIPIF1<0，設(shè)其中兩段為SKIPIF1<0，則第三段為SKIPIF1<0。只用兩個(gè)變量，所以就可以建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解決。設(shè)SKIPIF1