2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)z表示出來(lái)，再通過(guò)復(fù)數(shù)平面與復(fù)數(shù)的模的關(guān)系即可求出答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，則故選:B．2．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各式一定為正的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得在第四象限，根據(jù)各象限三角函數(shù)值的正負(fù)情況判斷即可.【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以在第四象限，所以，，，，故C正確．故選：C．3．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】在中，，即，由余弦定理可得，由于，故．故選：A．4．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由，然后結(jié)合正弦的和差角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則．故選：D．5．已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．（【答案】C【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解，再根據(jù)投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，，，得，解得．所以，，所以，，所以在上的投影向量為故選：C．6．已知m，n是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若m，n是異面直線，且，，，則【答案】A【分析】由線面平行，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)和判定分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，與可能平行，可能相交不垂直，也可能垂直，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，與可能垂直，可能平行，可能在平面內(nèi)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)m，n是異面直線，且，，時(shí)，與平面可能平行，可能相交，所以D錯(cuò)誤，故選：A7．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時(shí)后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】由題設(shè)作示意圖，應(yīng)用正弦定理求B，C兩點(diǎn)間的距離即可.【詳解】由題設(shè)可得如下示意圖，且，即，由圖知：，則，又，所以，則海里.故選：A8．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱求出的值，最后判斷的最小值.【詳解】，則，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，，，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C．二、多選題9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．任意兩個(gè)虛數(shù)都不能比較大小 B．在復(fù)平面中，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)C．已知，，則 D．【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可判斷A正確；根據(jù)復(fù)平面的概念可判斷B不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式計(jì)算可判斷C正確；根據(jù)虛數(shù)單位的概念計(jì)算可判斷D不正確．【詳解】對(duì)于A，任意兩個(gè)虛數(shù)都不能比較大小，A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面中，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，不正確，因?yàn)樵c(diǎn)在虛軸上，原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0，B不正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，，，C正確；對(duì)于D，，D不正確．故選：AC．10．在中，，，，則（

）A． B．C．的面積為 D．外接圓的直徑是【答案】AB【分析】利用余弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合余弦定理及三角形的面積公式，再利用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知，，故A正確；在中，，由余弦定理得，解得，故B正確；，故C錯(cuò)誤；設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出變換后的解析式，再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求出答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，所以的值可以是，．故選：AD．12．如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱錐．設(shè)CD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，BD的中點(diǎn)，M為線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使B．存在某個(gè)位置，使C．當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，AD與平面ABC成角的正切值為D．當(dāng)AB＝AD時(shí)，CM+FM的最小值為【答案】ACD【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理即可判斷A；先假設(shè)存在，利用線面垂直的判定定理可得平面ABD，可得，即△ACD是以CD為斜邊的直角三角形，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，互相矛盾，即可判斷B；由三棱錐體積取得最大值時(shí)知面面垂直，得出線面垂直，即可求出線面角，即可判斷C；由側(cè)面展開(kāi)圖及余弦定理可判斷D【詳解】解：對(duì)于A：存在平面平面，使得，證明如下：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，故存在平面平面，使，故A正確，對(duì)于B：若，又平面，則平面ABD，因?yàn)槠矫鍭BD，則，則是以CD為斜邊的直角三角形，因?yàn)?，所以，，又由題意知，故不存在某個(gè)位置，使，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，平面平面BCD，即AE是三棱錐的高，又，平面平面BCD＝BC，平面BCD，所以平面ABC，所以∠DAC是直線AD與平面ABC所成的角，所以，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，得到，使其與在同一平面內(nèi)且在內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，在中，，則，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值為，故D正確，故選：ACD．三、填空題13．已知向量，滿足，，，則與的夾角為．【答案】【分析】先設(shè)與的夾角為，再根據(jù)由向量夾角公式即可求解．【詳解】設(shè)與的夾角為，則，又，所以與的夾角為．故答案為：．14．已知，則．【答案】【分析】利用二倍角公式結(jié)合弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則，.故答案為：.15．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，某數(shù)學(xué)興趣小組探究該類三角形時(shí)，得出以下四個(gè)結(jié)論，甲：；乙：；丙：；丁：．則上述四個(gè)論斷中恒成立的是．【答案】丙【分析】由a，b，c的大小和B，C的大小不確定，判斷甲乙；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷丙；由差角公式結(jié)合B，C的大小判斷丁.【詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，但不確定a，b，c的大小，也不確定B，C的大小，故甲，乙均錯(cuò)誤；由題意得且B，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，丙正確；可能大于0，也可能等于0，可能小于0，即與的大小關(guān)系不確定，丁錯(cuò)誤．故答案為：丙16．已知兩平行的平面截球所得截面圓的面積分別為9π和16π，且兩截面間的距離為1，則該球的體積為．【答案】【分析】求出球心到兩截面圓的距離，再討論“兩截面在球心的同一側(cè)”和“球心在兩截面之間”兩種情況，得出半徑，進(jìn)而得出球的體積.【詳解】設(shè)球的半徑為R，依題意，截面圓的面積分別為9π和16π，則截面圓的半徑分別為3，4，可得球心到兩截面圓的距離分別為，．當(dāng)兩截面在球心的同一側(cè)時(shí)，因?yàn)閮山孛骈g的距離為1，所以，解得或（舍）；當(dāng)球心在兩截面之間時(shí)，可得，即，該方程無(wú)解．綜上，，故該球的體積為．故答案為：四、解答題17．已知向量，的夾角為，且，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)3(2)【分析】（1）由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算；（2）把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算．【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，的夾角為，且，，所以．所以．（2）．18．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，交于點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)是棱上一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，若平面平面，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理證得結(jié)果；（2）由面面平行的性質(zhì)定理得及平行線對(duì)應(yīng)線段成比例得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，平面，故，又，，，平面，故平?/p>

又平面，故平面平面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以?/p>

因?yàn)椋遥?/p>

在中，由，，得，

即．19．已知角，，角和的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)．

(1)若，求的值；(2)若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由，得，再結(jié)合的范圍可得，然后代入式子利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）對(duì)化簡(jiǎn)可得，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合任意角的三角函靈敏的定義可求出的值，再利用兩角和與差的正余弦公式可求出，從而可求出的值．【詳解】（1）由，得，又，，所以，所以，（2）由，得，，又，所以，則

因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，

所以20．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求角；(2)若，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由正弦定理邊角互化、兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角的關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算，從而得角的值；（2）由正弦定理計(jì)算的值，根據(jù)結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算，再利用正弦定理計(jì)算的值，從而得的周長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋瑒t，故．因?yàn)?，所以．?）根據(jù)正弦定理有，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以的周長(zhǎng)為．21．已知向量，，設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算及恒等變換可求的表達(dá)式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）由已知可求，利用換元，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值問(wèn)題，通過(guò)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類討論求解即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2），令，因?yàn)?，所以，且，所以，?dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)，解得不合題意；當(dāng)即，當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)，解得符合題意；當(dāng)即，當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)，解得符合題意；綜上，的值為或．22．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為矩形，AB＝PD＝2，，O是AD的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD．(1)求證：AC⊥平面POB；(2)設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l．①求證：；②求l與平面PAC所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）由已知線面垂直得線線垂直，再在底面中證明AC⊥BO，然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）①由線面平行判定定理證明線面平行，然后由性質(zhì)定理得線線平行；②轉(zhuǎn)化求與平面所成的角，用體積法求得B到平面PAC的距離，再根據(jù)線面角的定義得結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，則∠ACB＝∠ABO，于是，所以AC⊥BO．因?yàn)镻O⊥平面ABCD，AC平面ABCD，則AC⊥PO．又，PO，OB平面POB，所以A